S voisin l'état du voisin choisi Trois cas sont possibles :

● (1)

S

voisin

≡S

node

1[M ]

Dans ce cas, les deux nœuds passent dans l'état

S

voisin

● (2)

S

node

≡S

voisin

1[M ]

Dans ce cas, les deux nœuds passent dans l'état

S

node

● Le cas où on a ni la relation (1), ni la relation (2). Dans ce cas, il n'y a pas d'évolution.

La donnée de l'évolution du système est donc équivalente à la donnée d'une séquence de couples de nœuds. L'aléa introduit dans le système correspond seulement au choix aléatoire des couples. Dans tout le reste du chapitre, on pose M=3 par défaut.

Avec ce mécanisme, le phénomène de synchronisation se maintient si on prend pour G un graphe complet. Le graphique suivant donne l'évolution du temps moyen de convergence vers un état stationnaire en fonction de la cardinalité pour un graphe complet évoluant selon le mécanisme qui vient d'être défini, la convergence se faisant systématiquement vers des états monomorphes.

Figure A.2 : Pour chaque niveau de cardinalité, le temps moyen de convergence vers un ES à une unique stratégie sur un graphe complet

La vitesse de convergence augmente moins rapidement que proportionnellement à la cardinalité. Les graphiques A.3 et A.4 illustrent le phénomène de synchronisation.

Figure A.4 Évolution des fréquences par état pour le système présenté en A.3

A partir de l'équirépartition des effectifs, les tirages aléatoires amènent à ce qu'une stratégie i devienne majoritaire. La présence de cette stratégie majoritaire i va lancer la croissance de la stratégie i+1[M]. La fréquence de la stratégie i+1[M] croît alors tant que la probabilité de tirer des couples (i,i+1[M]) reste supérieure à la probabilité de tirer des couples (i+1[M], i+2[M]). A partir du moment où la croissance des i+1[M] sature la condition précédente, il y a croissance des stratégies i+2[M]. La figure A.5 présente des évolutions obtenues sur des graphes complets de cardinalité N=105 et N=106 respectivement.

(a) (b)

Figure A.5 Évolution sur des graphes complets de taille 105

(a) et 106

(b) nœuds. Les figures correspondent à l'évolution de la fréquence d'un état, l'évolution de la fréquence des autres états ayant une forme très similaire. Les exemples donnés sont prototypiques des évolutions observées.

Le phénomène est similaire à celui observé sur la figure A.4. A l'instar de ce qui apparaît sur la figure A.4, l'amplitude des cycles peut diminuer : on se rapproche ponctuellement de l'état (1/3,1/3,1/3). Ceci est dû au fait que les chocs aléatoires peuvent "desynchroniser" le système. Soit

x

i

t

x

1t

, x

2t

, x

3t



tel que

x

1t

x

t2

x

3t

.

Cette situation est intermédiaire entre un état du système où les stratégies

ayant adopté le comportement 1 étaient majoritaires et à une fréquence maximale

x

1

t −k

,

et un état à venir où les stratégies de comportements 2 seront majoritaires et à un maximum. Dans l'état

x

1t

, x

2t

, x

3t

,

l'effectif associé au

comportement 2 est en situation de croissance, les 1 et les 3 sont en situation de décroissance. A partir de ces fréquences, on pourrait calculer les fréquences

x

1t1

, x

2t1

, x

3t 1



de la génération suivante. En effet, en moyenne,

on a

x

i t 1

−x

i t

=x

i t

∗x

i−1 t

−x

i t

∗x

i 1 t

,

d'où il est possible de calculer le vecteur

x

1

t1

, x

2 t1

, x

3 t 1



qu'on

obtient en moyenne à partir de

x

1t

, x

2t

, x

3t

.

Comme l'évolution est aléatoire, un tirage aléatoire peut conduire à

des fréquences

x

1

/x

1

x

1

t 1

, x

3

/x

3

x

3

t 1

.

Dans ce cas, la fréquence maximale future des stratégies 2 sera inférieure à ce qu'elle aurait été en moyenne, voire elle sera inférieure à

x

1

t −k

.

La fréquence maximale peut donc diminuer ponctuellement. Néanmoins, il y a autant de chances de tirer un choc aléatoire provoquant une désynchronisation qu'un choc accélérant le phénomène de synchronisation : en moyenne, la fréquence maximale augmente et le phénomène de synchronisation se maintient.

B.

Répartition spatiale et limites à la synchronisation

En conservant le mécanisme d'évolution, mais pour d'autres topologies que le graphe complet, différents régimes dynamiques sont susceptibles d'émerger. Un premier résultat :

Théorème B.1

Les systèmes finissent toujours par s’uniformiser.

Démonstration

On montre d'abord que pour tout graphe connexe et pour toute configuration initiale donnée, il existe un tirage d'arcs conduisant l'un des états à tout envahir. Le raisonnement se fait par récurrence. Prenons un graphe connexe de talle n et une configuration initiale donnée. Nous allons montrer que pour tout entier p inférieur ou égal à n, il existe une suite de tirages d'arcs conduisant (quand on effectue dans l'ordre tous les combats déterminés par les arcs) à un paquet de p nœuds formant un sous-graphe connexe de même état S. Cette propriété est vraie pour p=1.

Supposons que la propriété est vraie pour p<n et considérons la séquence de choix d'arcs qui conduit à un paquet connexe de p état S identiques. Montrons qu'on peut en déduire une suite de choix d'arcs qui conduit à un

paquet connexe de p+1 états identiques (d'après le principe du raisonnement par récurrence cela nous donnera le résultat). Soit un nœud N, voisin de ce paquet : il y en a au moins un, car le graphe entier est connexe. Si ce nœud N est d'état S, nous avons un paquet connexe de p+1 états S et le raisonnement est terminé. Supposons alors que N soit d'état S' différent de S. Si S' est battu par S (S'=S+1[3]), on tire l'arc liant le nœud N au paquet de S et on a une suite de choix d'arcs qui conduit à un paquet connexe d’état S de taille p+1 : le raisonnement est terminé. Si S est battu par S', on choisit la même séquence d'arcs que celle qui conduisait au paquet de p symboles S, suivi d'une suite de tirages progressifs de ces arcs de proche en proche qui font que S' envahit tout le paquet de S, lequel devient donc un paquet connexe de p+1 états S'. Cela est possible, car le paquet de p états S est connexe. On a alors un paquet de p+1 états S'. Dans chaque cas possible, on dispose d'une suite des choix d'arcs conduisant à un paquet connexe de p+1 états identiques. Le raisonnement par récurrence est terminé.

Notons que la longueur de la suite d'arcs qui fait passer d'un paquet de p nœuds identiques à un paquet de p+1 nœuds identiques s'obtient en ajoutant au plus p arcs à celle nécessaire pour avoir un paquet de p nœuds identiques. Au total si le graphe possède n nœuds, on sera certain d'avoir un graphe uniforme en utilisant une suite d'arcs déterminant les combats successifs de longueur au plus

123...n=n×n−1₂

.

Montrons maintenant que l'uniformisation survient avec une probabilité de 1. Cette seconde partie du raisonnement utilise l'évidence probabiliste qu'en répétant un tirage au hasard dans l'attente d'un événement ayant une probabilité non nulle de se produire, il finit par se réaliser, ou plus exactement, il se réalise “à l'infini” avec une probabilité de 1.

Partant d'un graphe de n nœuds dans une configuration donnée, nous savons qu'il existe une suite d'arcs qui uniformise le graphe. Cette suite a une longueur inférieure à

n×n−1₂

.

La probabilité qu'un arc donné soit choisi

lors d'une étape du processus d'évolution aléatoire est plus grande que

_nk1

(un nœud est choisi avec une probabilité

1

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