En considérant des réseaux de communautés pour la répartition topologique de la population, on fait apparaître de nouvelles formes dynamiques et notamment, on met en évidence de nouvelles hypothèses au maintien de la biodiversité.
Dynamique de populations RP S sur des réseaux de communautés
La répartition consiste à placer K stratégies sur chacune des N communautés du réseau. Chaque communauté est initialisée par un vecteur aléatoire, en tirant au hasard le nombre de stratégies de comportement 1, le nombre de stratégies de comportement 2 et le nombre de stratégies de comportements 3 de sorte que la somme du nombre des stratégies soit K.
La dynamique est divisée en générations. Dans la première phase d'une génération, chaque communauté évolue selon le mécanisme présenté dans la partie A. Cette évolution se produit au sein des communautés : on tire N couples de stratégies de la communauté et il y a évolution si l'une est d'état i et l'autre d'état i+1[M]. Dans la seconde phase, les liens entre les communautés sont pris en compte et les stratégies se diffusent d'une communauté à l'autre. Pour tout lien d'une communauté C1 vers une communauté C2, on tire T stratégies de C1 au hasard, on les retire de la population de C1 et on les ajoute à celle de C2.
A chaque génération, chaque communauté conserve une population constante : soit d le degré d'une communauté, elle perd T×d stratégies et en gagne T×d. Le mécanisme est illustré à la figure suivante.
Figure C.1 : Exemple d'évolution d'une communauté pour M=3, T=10 et 1000 stratégies par communauté
Pour une communauté qui ne serait liée à aucune autre, elle convergerait vers une population monomorphe sous l'effet du phénomène de synchronisation. Dans ce qui suit, on montre que les liens entre les communautés "desynchronisent" les communautés et la biodiversité se maintient sur chaque communauté.
Résultats
On considère N=500, M=3, T=10 et K=5000 par défaut. On donne l'évolution pour différentes topologies sous la forme de l'évolution de la fréquence d'un comportement dans la population globale.
Figure C.2 : grille Von Neumann et graphe aléatoire Erdős Rényi de degré moyen 4 (probabilité de connexion de 0.008)
On constate que la fréquence se stabilise. Cette homogénéité au niveau global cache éventuellement une hétérogénéité au niveau des situation des communautés qui n'est pas évoquée ici. En testant des graphes aléatoires avec différents niveaux de degré moyen :
(a) (b)
(c) (d)
Figure C.3 : Évolution de la fréquence d'un comportement pour un graphe d'Erdős et Rényi avec différentes probabilités de connexion. (a) p=0.5, (b) p=0.9, (c) p=0.95, (d) Graphe complet
et dans le cas des graphes aléatoires à la Erdős et Rényi dont la probabilité de connexion est proche de 1. L'amplitude des cycles de la population totale reste ici constante : on ne constate pas de phénomène de synchronisation. Il convient cependant de noter que les valeurs des paramètres correspondent à un rapport particulier dans le cas des graphes complets, comme dans ce cas, le degré de chaque nœud est
N =500
et comme on a choisiT =10
etK =5000
, on a l'égalité :T ×Degre=K
Toutes les stratégies d'une communauté sont redistribuées vers les autres communautés à chaque génération du fait des paramètres retenus ici. En sortant du cadre de cette égalité, on constate que les évolutions périodiques des fréquences mises en évidence sur les figures C.3 (c) et C.3 (d) ne se retrouvent pas. En effet, sur la figure C.4, on fait respectivement varier les paramètres
T
etK
:(a) (b)
Figure C.4 : (a) Situation de graphe complet avec population de K=10000 par nœuds. (b) Situation de graphe complet, population de K=5000 par nœud mais transfert de T=5 agents d'une communauté à l'autre seulement.
La diminution de
T
ou l'augmentation deK
jouent un rôle similaire de stabilisation ici : en ne supposant plus la redistribution de l'ensemble des comportements depuis chaque communauté vers ses voisins, on n'a plus la convergence du système vers un cycle limite.Peut-on alors provoquer un phénomène cyclique depuis les autres topologies en prenant des paramètres tels que
T ×Degre=K
? Dans la figure suivante, on mène une telle démarche sur des grilles :(a) (b)
Figure C.5 : (a) : Grille de Von Neumann, K=40, T=10. (b) : Grille de Moore, K=80, T=10. Pour les deux topologies, on a T×degré=K
Il apparaît des évolutions cycliques comme dans le cas du graphe complet, mais les cycles sont d'amplitude fluctuante. Dans tous les cas testés, il y a convergence vers des situations où la biodiversité se maintient et notamment dans le cas des graphes complets. Les résultats sur la topologie sont ici différents de ceux obtenus dans la partie B : si l'évolution continue d'être dépendante de la forme de la topologie retenue, ce n'est plus le même type de dépendance, notamment ici, on n'a pas trouvé de conditions à la synchronisation dans des réseaux de communautés. Les liens entre les communautés tendent à désynchroniser chaque communauté et la convergence se fait, pour une large plage des paramètres, vers une situation d'état stationnaire où les 3 comportements sont d'égales fréquences. Il est également possible de faire apparaître un régime cyclique d'évolution des fréquences associées aux différents comportements en redistribuant l'ensemble des stratégies vers les communautés voisines à chaque génération.
La possibilité de passer à plusieurs stratégies par nœud a été évoquée dans [Szollosi 07]. Cet article justifie de l'intérêt biologique d'une telle modélisation en envisageant que le maintien de la biodiversité au sein d'une population de bactéries, type Escherichia Coli, pourrait reposer sur les interactions d'une population support ou population méta : par exemple les bactéries existent au sein d'une population de souris qui s'échangent des populations de bactéries dans leurs contacts permettant, de fait, la survie de la biodiversité des populations de bactéries.