Visión general de los programas de matemáticas para las CCEE

Partiremos de una muestra de los programas de la asignatura de matemáticas que, desde el curso 2005/06 al 2008/09, se vienen impartiendo en las licenciaturas de Biología, Geología, Química y Ciencias Ambientales de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) y de otras universidades españolas: Universitat d’Alacant (UA), Universitat de Barcelona (UB), Universidad Complutense de Madrid (UCM), Universidad de Granada (UDG), Universidad de Jaén (UJ), Universidad de Oviedo (UO), Universidad del País Vasco (UPV/EHU), Universidad de Salamanca (US) y Universidad de Vigo (UV)².

Después de comparar estos programas, se observa que todos ellos presentan una estructura y unos contenidos muy similares. Cabe señalar que, en el curso académico 2008/09, algunas carreras ya se han visto afectadas por la última reforma educativa universitaria dirigida a la construcción del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) y a la conversión de las licenciaturas en grados, lo que ha provocado un cambio

2 Esta muestra de programas se presenta en el Anexo 1.1.

Capítulo 1 – El papel de la modelización en la enseñanza universitaria de las matemáticas

considerable en la formulación de los programas en términos de “competencias”. Pero, incluso en este caso, tanto la orientación de las asignaturas como la descripción de los contenidos específicos siguen siendo bastante invariables por ahora.

En cada programa se especifican primero cuáles son los objetivos de la asignatura, el número de créditos u horas de clase presencial que se le dedican y la distribución entre “créditos teóricos” (clases magistrales donde un profesor expone en la pizarra) y

“créditos prácticos” (clases en grupos reducidos donde un profesor, generalmente diferente al que imparte las clases magistrales, ayuda a los alumnos a resolver problemas en clase). A esta presentación general le sigue una descripción de los contenidos específicos organizados en una lista de temas o de bloques temáticos de la asignatura y algún comentario sobre la metodología de la enseñanza y los dispositivos de evaluación.

Si nos centramos en los pequeños párrafos que indican los objetivos de cada asignatura, encontramos que, generalmente, se justifica el diseño del programa en base a un doble propósito: por un lado el de proporcionar a los estudiantes una formación matemática básica y, por otro, el de introducir a los estudiantes en la modelización matemática aplicada a la especialidad científica correspondiente (biología, geología, química o ciencias ambientales). Así, por ejemplo, en el programa de la licenciatura de Biología (2005/06) de la Universidad de Salamanca (US), encontramos especificados los objetivos siguientes:

Se pretende conseguir de manera general que el alumno se familiarice con las herramientas matemáticas básicas que va a precisar a lo largo de la carrera. En particular se busca conseguir que el alumno comprenda los conceptos fundamentales involucrados en la Modelización Matemática, fundamentalmente en los modelos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias que tengan aplicación a procesos biológicos.

En la misma dirección, el programa de la licenciatura de Geología (2006/07) de la UAB propone³:

Este programa pretende un doble objetivo. El primero y más importante es el de dar al estudiante una formación matemática básica, centrada en el álgebra lineal y en el cálculo de funciones de una variable, que le permita comprender el lenguaje de la Ciencia. El segundo es el de introducirle en el

3 Original en catalán. La traducción es nuestra.

1. La problemática docente en torno a la enseñanza de las matemáticas en CCEE

campo de la Geología, es decir en la modelización matemática, por medio de ejemplos sencillos que puedan ser analizados con las herramientas matemáticas introducidas previamente.

Destacamos ya, como común denominador de la mayoría de los programas, que la parte que hace referencia a la modelización matemática se plantea siempre con posterioridad y como una consecuencia (o aplicación) de lo que se presenta como la formación matemática básica. Con la reciente transformación de los programas para ser adaptados al EEES, los objetivos tienden a formularse en términos de capacidades y competencias a desarrollar, con lo que se consigue hacer mucha más referencia al uso de las matemáticas dentro del estudio de cada disciplina. En el programa que presenta la licenciatura de Geología (2008/09) de la UB encontramos un buen ejemplo de ello:⁴

Competencias que se desarrollan en la asignatura:

! Capacidad de analizar e interpretar funciones matemáticas de variable real que aparecen en diferentes entornos geológicos,

! Capacidad para poder aplicar el concepto de integración al cálculo de áreas y de volúmenes,

! Poder modelizar diferentes situaciones en tiempo discreto usando los conceptos de sucesiones y de series.

La referencia a las “aplicaciones” queda más explícita al examinar la estructura de los programas en bloques temáticos y en contenidos, donde, aunque nos centremos en analizar los programas de cursos más recientes, a menudo se observa que la parte del programa dedicada al estudio de modelos matemáticos es pobre, cuando no inexistente.

Así, por ejemplo, en un programa reciente (curso 2007/08) propuesto para la licenciatura de Biología de la UAB, podemos encontrar que éste está estructurado en dos secciones. La primera se dedica a lo que se denomina “Matemática Fundamental”

con los temas de: “Funciones de una variables” (Tema 1); “Cálculo integral” (Tema 2);

y “Álgebra lineal” (Tema 3). La segunda sección, con el título de “Biomatemática”, integra los temas referentes a las respectivas aplicaciones: “Aplicación del álgebra lineal al crecimiento lineal de poblaciones” (Tema 4); “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Ejemplos: crecimiento exponencial, desintegración radioactiva, ecuación logística” (Tema 6). Este hecho es menos explícito en el caso de la licenciatura de Geología de la misma universidad. Dentro del bloque de Álgebra Lineal encontramos el último apartado “2.4. Aplicaciones y ejemplos” y dos menciones menos específicas de

4 Original en catalán. La traducción es nuestra.

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aplicaciones en el apartado dedicado al cálculo diferencial (“Aplicaciones: problemas de optimización”) y en el apartado de cálculo integral (“4.2. Técnicas elementales de integración. Aplicaciones”).

Hay casos en los que las referencias a la modelización y aplicaciones son más importantes. Por ejemplo, en el programa de la universidad de Salamanca (US) aparece todo un tema dedicado a los “Modelos Matemáticos basados en E.D.O. de primer orden” y una lista de aplicaciones en el tema de “Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones”: “modelos de crecimiento de poblaciones para dos especies que interaccionan”, “modelos epidemiológicos”, etc. cuya extensión contrasta con los pocos créditos de la asignatura, sólo 4,5. Insistimos en que, sobre el papel, el programa parece ser demasiado extenso: sólo 45 horas de clase presencial para 9 temas, partiendo del estudio de funciones, límites y continuidad, cálculo diferencial e integral en una variable hasta los sistemas de ecuaciones diferenciales pasando por los espacios vectoriales, las matrices y los determinantes, etc., lo que nos hace suponer que seguramente serán las

“aplicaciones” lo que primero se sacrificará por falta de tiempo.

Queremos mencionar finalmente, también como caso excepcional dentro de la muestra de programas recogidos, el caso de la licenciatura de biología de la universidad de Jaén (cursos académicos 2005/06 y 2006/07). El programa también es bastante largo, está dividido en 9 temas, para una asignatura de 6 créditos (correspondiente a 60 horas de clase presencial). En 6 de estos 9 temas se hace referencia al estudio de modelos matemáticos aplicados a la biología. De forma bastante general, en el primer tema dedicado al estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales aparecen las siguientes “Aplicaciones: Programación lineal, administración de recursos”. En los tres siguientes temas dedicados al álgebra lineal, se incluye la aplicación hacia “Modelos discretos en Biología. Cadenas de Markov. Aplicaciones en genética. Modelo de Leslie.

Explotación racional de animales”. En el tema de estudio de funciones de una variable se incluye el apartado de “Aplicación hacia modelos trigonométricos: Movimientos migratorios”; en el de derivación el de “Depredadores y presas. Metabolismo basal”; y, finalmente, en el tema 9 dedicado a las ecuaciones diferenciales, se incluye: “Modelos de interacción entre especies. Modelos continuos de crecimiento de poblaciones.

Crecimiento exponencial. Modelos logísticos. Genética de población.”. El programa más reciente, el del curso 2007/08, conserva una estructura muy similar aunque ahora se

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distribuyen en 10 temas, en lugar de 9, con los mismos contenidos y las respectivas aplicaciones.

Con los nuevos planes de estudio surgidos de la última reforma universitaria, encontramos ya para el curso 2008/09 algunas propuestas que las diversas facultades de ciencias empiezan a redactar ciñéndose a la nueva propuesta descriptiva de las asignaturas en base a: competencias que se deben desarrollar, objetivos de aprendizaje, bloques temáticos de la asignatura, metodología y organización general de la asignatura y evaluación acreditativa de los aprendizajes de la asignatura. Un buen ejemplo lo presenta el programa de la asignatura “Matemàtiques I – Anàlisi i càlcul” de la licenciatura en Geología de la Universitat de Barcelona (UB) en el cual encontramos incluidos dentro del bloque de “competencias a desarrollar” algunas referentes a la aplicación de conceptos y a la modelización (nuestra traducción): “Capacidad de analizar e interpretar funciones matemáticas de variable real que aparezcan en diferentes entornos geológicos. Capacidad para poder aplicar el concepto de integración al cálculo de áreas y de volúmenes. Poder modelizar diferentes situaciones a tiempo discreto usando los conceptos de sucesión y serie”.

En general, lo que queda claro es que la organización habitual de los programas no se estructura en torno a los “problemas de modelización” o “aplicaciones”, sino en torno a un listado de temas o bloques temáticos de naturaleza matemática cuya organización es muy estándar. Podríamos distinguir, en casi todos los programas, tres grandes bloques temáticos o áreas de contenido: álgebra lineal, cálculo diferencial e integral en una variable y ecuaciones diferenciales. En algunos casos encontramos la inclusión de una tercera área: probabilidad y estadística, que aquí no consideraremos.⁵ Cabe destacar que la estructura detallada de los contenidos dentro de cada uno de los bloques temáticos no aparece siempre de forma explícita y, cuando lo hace, no siempre presenta las mismas subdivisiones. Por ejemplo, el álgebra lineal puede aparecer con esta denominación⁶, o repartida en dos bloques⁷ o, incluso, en tres⁸. Y lo mismo ocurre

5 Lo más habitual es que aparezca como una asignatura distinta de la de matemáticas.

6 Como es el caso de los programas de geología y biología de la UAB, biología de la UGR, biología de la UPV y ciencias ambientales de la UJ.

7 Como es el caso de biología de la UPV “Vectores y matrices” y “Vectores y valores propios”; “Teoría de matrices.

Sistemas de ecuaciones lineales” y “Espacios vectoriales. Transformaciones lineales” en el caso de química de la UGR.

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con otros bloques temáticos. La subdivisión de estos bloques depende ligeramente de la asignatura considerada: en algunos casos, se mantiene a un nivel bastante general aunque, en otras ocasiones, puede llegar hasta niveles de concreción bastante detallados⁹. El común denominador de todos los programas es que los contenidos se describen siempre haciendo referencia a una lista de conceptos matemáticos clave que aparecen de forma invariante en cada programa. Al lado de esta lista de conceptos, sólo algunos de los programas detallan además las “aplicaciones” y hacen cierta referencia al tipo de cuestiones extra-matemáticas que se tratarán a lo largo del curso.

Esta organización tradicional de los contenidos de enseñanza tiene el inconveniente de esconder las cuestiones problemáticas que constituyen la razón de ser de los conceptos, propiedades, técnicas y teoremas que han acabado cristalizando en el saber matemático que se pretende enseñar. Debido a que esta organización sitúa los contenidos matemáticos (definiciones, propiedades, técnicas, teoremas, etc.) en el origen de la actividad matemática, los tipos de problemas matemáticos que los alumnos aprenderán a resolver deberán inscribirse siempre en uno de estos temas y, por lo tanto, mantendrán un carácter relativamente “cerrado” y “aislado”. Y es muy probable que lo mismo ocurra con las “aplicaciones”, que aparecen al final de cada tema como ejemplificaciones específicas de cada uno de los contenidos.