Síntesis del posible recorrido matemático a través de los modelos discretos unidimensionales unidimensionales

Resumiendo a grades rasgos en qué ha consistido el proceso desarrollado, podemos distinguir diversas etapas que coinciden con las descritas en el capítulo 2 (Cf.§ 2) sobre los procesos de modelización matemática y sus respectivas etapas:

1) Podemos distinguir una primera etapa que se centra en la formulación de hipótesis y conjeturas (Hi) y en la formulación de cuestiones problemáticas (Qi) que nos proponemos estudiar. Esta primera etapa se caracteriza por la delimitación del sistema o ámbito de la realidad y el planteo inicial de cuestiones problemáticas a tratar, lo cual comporta una selección de ciertos aspectos del sistema que se simbolizan mediante variables.

2) En una segunda etapa, nos centramos en la construcción del modelo matemático (Mi) a través de la descripción de las relaciones matemáticas entre las variables del sistema consideradas. Es usual que aparezca la reformulación de las cuestiones iniciales, planteadas en fases anteriores, en términos del lenguaje propio que se haya establecido.

3) Pasamos entonces al trabajo técnico con el modelo e interpretación de los resultados obtenidos en relación a las cuestiones planteadas. La obtención de respuestas, aunque sean parciales o provisionales, es el interés principal en esta etapa.

4) En la última etapa, ligada al trabajo técnico con el modelo, aparece el planteamiento de nuevas cuestiones problemáticas que difícilmente podrían haber sido planteadas sin la construcción de los modelos y cuyo estudio va a

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

proporcionar nuevos conocimientos sobre el sistema. En el caso desarrollado, hemos visto cómo en esta etapa aparecen nuevas cuestiones difíciles de abordar con las herramientas construidas hasta el momento. Estas limitaciones de los modelos iniciales constituyen el motor del proceso y requerirán la elaboración de modelos cada vez más amplios y completos.

Comprobamos que el proceso descrito se puede caracterizar como un proceso de modelización el cual, a nuestro entender, se puede reformular como un proceso de reconstrucción de organizaciones matemáticas de complejidad y completitud crecientes (puntuales, locales, regionales) que necesariamente deben responder a las razones de ser de aquellas organizaciones matemáticas que deseamos (re)construir y recubrir.

Con el siguiente esquema queremos sintetizar el diseño descrito hasta ahora, indicando principalmente la evolución de las cuestiones problemáticas, la construcción de los modelos matemáticos y la completación progresiva de éstos. Podemos distinguir tres unidades principales que corresponde a las tres organizaciones matemáticas locales, cuyos elementos quedarán resumidos en las tablas que mostraremos a continuación para facilitar así al lector una síntesis del proceso desarrollado.

Q

₀

OM funcional

OM _logística

OM

maltusiana

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

H¹:r_n !r,r"!yQ₁ M₁: Modelo maltusiano discreto

xn=r!x_n"1=rⁿ!x0 conx0 =c

%

R₁

H²:r_n=a!b"x_n,a,b#!yQ₂ M2: Modelo logístico discreto

x_n+1=! "x_n" 1#x_n

K

$%& '

() con x₀=c

%

R₂

Q_2.1: Problemática de la convergencia de _x

{ }n n!!

Q2.2: Problemática de la velocidad de convergencia de _x

{ }n n!!

H₃:r_n=g(x_n)yQ₃ M₃:x_n+1= f(x_n) con

Q_3.1: f lineal Q3.2: f cuadrática

Q3.3: f función cualquiera de clase C¹

OM

maltusiana

OM

logística

OM

funcional Q_1.1: Paradoja maltusiana Generaciones separadas (H₀):

xt sólo depende de xt - 1

Q

₀

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

UNIDAD 1 - OM maltusiana

Objetivos de la unidad

! Elaboración de la primera respuesta a partir de la construcción y estudio del primer modelo matemático: el modelo maltusiano discreto.

! Primer proceso de modelización matemática: formulación de hipótesis sobre la población (H₁), reformulación de la cuestión central a tratar (Q₁), construcción del modelo maltusiano discreto (M₁), desarrollo del trabajo técnico dentro del modelo, interpretación de los resultados en relación al sistema estudiado, redacción de la primera respuesta provisional (R₁) y planteamiento de nuevas cuestiones problemáticas a estudiar.

Herramientas ^! Estudio de sucesiones (x_n)_n!! definidas por recurrencia, simulación numérica y representación gráfica de sus iterados.

! Estudio de la convergencia de sucesiones y, en caso de convergencia, aproximación numérica de su límite.

Formulación Hi yQi H₁: Suponemos que la tasa relativa de variación de X es constante: r_n !r, r"!

Q1: ¿Cuál es la dinámica de una población con r_n!r, r"!? ¿Qué propiedades tiene la evolución de ( )x_n n!! a corto y largo plazo? ¿Qué factores determinan de forma más decisiva esta evolución?

Construcción del modelo matemático

Construcción del modelo maltusiano discreto (M₁):

Podemos sintetizar la hipótesis realizada como:

r_n = x_n+1!x_n

x_n =r,r"!

relación que equivale a considerar la ecuación recurrente:

x_n+1=(r+1)^!xn =" !xn

que admite la siguiente expresión cerrada del tipo x_n = f(n) al suponer que la anterior ecuación recurrente es válida para cualquier generación:

DESCRIPCIÓN DEL RECORRIDO MATEMÁTICO A PRIORI (RM) Trabajo técnico con Mi

Medio experimental utilizado: Técnica de simulación numérica de sucesiones Respuesta R₁ a Q₁: Se distinguen los siguientes casos según el valor del parámetro ! ^:

! Si 0 < ! < 1, la población tiende a su extinción: lim

n!"x_n =0.

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

Trabajo técnico con Mi

! Si ! = 1, el tamaño de la población se mantiene constante independientemente del tiempo transcurrido: x_n!x₀ "n#!^.

! Si ! > 1, entonces la población crece indefinidamente: lim

n!"x_n= +".

Nuevas cuestiones a estudiar

Problemática de ajuste (Q_0.3): Se ajustan bien las predicciones realizadas con el modelo M₁ a la evolución de las poblaciones reales? ¿Cuáles son las principales diferencias que se observan? ¿Qué predicciones resultan más alejadas de la realidad?, etc.

De las cuestiones planteadas se deriva la limitación principal de M₁:

El caso ! > 1, supone la existencia de recursos infinitos, hecho que se conoce como la

“paradoja maltusiana”. Surge una nueva cuestión problemática no abordable con M1:

Q_1.1: ¿Cómo podemos superar la limitación que formula la paradoja maltusiana e introducir la restricción de no disponer de recursos infinitos?

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

UNIDAD 2 - OM logística

Objetivos de la unidad ^! Dadas las limitaciones que presenta M₁ y que han quedado expresadas en la cuestión Q_1.1^,

esta unidad se centra en la construcción y estudio de un nuevo modelo matemático (M₂) que, incluyendo el estudio realizado en OMmaltusiana consigue, después de reformular las hipótesis con H2, superar la limitación de no disponer de recursos infinitos.

! Será muy importante estudiar las relaciones que existen entre M₁ y M₂ y hasta qué punto M₂ nos permite superar las limitaciones de M1.

Herramientas ^! Estudio de sucesiones (x_n)_n!! definidas por recurrencia, simulación numérica y representación gráfica de sus iterados.

! Estudio de la convergencia de sucesiones y, en caso de convergencia, aproximación numérica de su límite.

Formulación Hi yQi

Hipótesis sobre el crecimiento de X (H2): Suponemos que la razón de variación r_n (o i_n= x_n+1

x_n ) decrece linealmente en función de x_n y que la población x_n no puede sobrepasar un cierto valor máximo K.

Cuestiones problemáticas centrales a tratar (Q2): ¿Cuál es la dinámica de una población cuya tasa relativa de variación decrece linealmente en función de x_n? ¿Qué propiedades tiene la evolución de

( )

x_{n n!!} a corto y largo plazo? ¿Qué factores son más importantes y determinan de forma más decisiva esta evolución?

DESCRIPCIÓN DEL RECORRIDO MATEMÁTICO A PRIORI (RM) Construcción del modelo matemático

Construcción del modelo logístico discreto (M₁): (resumimos aquí el caso más sencillo) Podemos sintetizar las hipótesis realizadas con la relación:

x_n+1

x_n =! "b#x_n

Este modelo es equivalente a considerar la ecuación recurrente:

x_n+1=

(

!"b#x_n

)

^#xn

donde, si consideramos que b = ! / K se obtiene el modelo denominado modelo logístico o de Verhulst:

x_n+1=! "x_n" 1# x_n

K

$%& '

()

donde ! > 0 se interpreta como el coeficiente de reproducción de X y K la capacidad máxima del hábitat, esto es, el número máximo de individuos que pueden vivir en cierto hábitat.

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

Trabajo técnico con Mi

Medio experimental utilizado: técnica de simulación numérica

Respuesta R₂ que proporciona M₂ a Q₂: La exploración numérica del modelo permite distinguir los siguientes casos:

! Si 1 < ! < 3, la población tiende a una situación de equilibrio (l).

! Si ! > 3 aparecen situaciones difíciles de analizar que requerirán considerar otras herramientas. Por ahora, se detecta que: la sucesión puede oscilar entre varios valores (órbitas periódicas), o bien, puede presentar un comportamiento caótico en el que la dinámica de la población pasa a depender completamente de las condiciones iniciales (sensibilidad respecto de las condiciones iniciales).

Otras cuestiones derivadas y tratadas con M2:

! ¿Qué relación hay entre los dos modelos matemáticos M₁ y M₂ hasta ahora construidos?

! ¿Qué propiedades podemos destacar de M2?

! ¿Cuáles son los factores o parámetros que tienen mayor influencia en la posible dinámica de ciertas poblaciones? ¿Cuál es la interpretación de estos factores?

¿Cómo los podemos aproximar?

! ¿Se ajustan bien las predicciones (o simulaciones) realizadas con los modelos a los datos que pueden extraerse de la evolución de poblaciones “reales”? ¿A partir de qué modelo se generan las simulaciones más “realistas”, las generadas por M1 o por M₂?

Nuevas cuestiones Q2.1: En el caso del modelos logístico, ¿qué condiciones nos aseguran que la sucesión x_n

( )

n!!

esté bien definida y sea convergente a cierto límite l ? Q_2.2: Fijado cierto margen de error !>0,

¿a partir de qué n podemos asegurar que xn!l <"?

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

UNIDAD 3 - OM funcional

Objetivos de la unidad ! Introducción del modelo analítico–funcional (M3) para el estudio de modelos discretos definidos por ecuaciones recurrentes. Introducción de técnicas de simulación gráfica.

! Aplicación de M₃ al modelo maltusiano (M₁) y comprobación de los resultados encontrados con la construcción de OMmaltusiana y descritos en R1.

! Aplicación de M₃ al modelo logístico (M₂), comprobación de los resultados descritos en R₂ y búsqueda de respuestas a las cuestiones Q_2.1 y Q_2.2..

Herramientas

! Representación gráfica de funciones elementales: lineales y cuadráticas.

! Método de aproximación numérica de puntos fijos, simulación gráfica y, fijado cierto margen de error, determinación del número de iterados necesarios para la aproximación de un punto fijo.

! Estudio general de funciones de clase C¹.

DESCRIPCIÓN DEL RECORRIDO MATEMÁTICO A PRIORI (RM) Formulación Hi yQi

Cuestiones problemáticas centrales a tratar (Q₃):

¿Cuál es la dinámica de la sucesión (x_n)_n!! generada por la relación x_n+1= f(x_n) con f una función de clase C¹?

! Aplicación al modelo maltusiano (M₁):

Q_3.1: ¿Cuáles son las principales conclusiones que nos proporciona M₃ si estudiamos el caso concreto de f una función lineal?

! Aplicación al modelo logístico (M₂):

Q_3.2: ¿Cuáles son las principales conclusiones que nos proporciona M₃ si estudiamos el caso concreto de f una función cuadrática?

Q2.1: ¿Qué condiciones nos aseguran, en el caso concreto del modelo logístico, que la sucesión (x_n)_n!! esté bien definida y sea convergente con cierto límite l?

Q_2.1.1 : ¿Podemos eliminar algún caso que no tenga sentido?

Q_2.1.2 : ¿Se pueden encontrar regularidades en las trayectorias de (x_n)_n!!

dependiendo de los valores tomados por los parámetros ! ^{y K?}

Q_2.1.3 : ¿Cómo se comporta la sucesión (x_n)_n!! cerca de los puntos fijos?

Q_2.1.4 : ¿Podemos asegurar localmente la convergencia de (x_n)_n!! hacia los puntos fijos x₀^{* y} x₁^*?

Q2.1.5 : ¿Qué podemos decir del comportamiento de la sucesión (x_n)_n!! divergente en los casos en que !>3?

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

Formulación Hi yQi

Q_2.2 : Fijado un cierto margen de error !>0, ¿a partir de qué n podemos asegurar que xn!l <"?

! Ampliación del tipo de problemas a estudiar:

Q_3.3 : ¿Podemos generalizar alguno de los resultados encontrados y/o técnicas utilizadas para el estudio de los casos concretos de modelos maltusiano y logístico al caso de una función f (x) cualquiera?

Construcción del modelo matemático

Construcción del modelo funcional (M3):

x_n+1= f(x_n) con f una función de clase C¹

Nueva técnica de simulación de la sucesión (x_n)_n!!^: Técnica de simulación gráfica (método de la tela de araña)

Trabajo técnico con Mi

Respuestas proporcionadas por M₃ a Q_2.1 y Q_2.2 (R_2.1 y R_2.2):

1) Calcular los puntos fijos de la función f(x), en nuestro caso, f(x) es una función cuadrática,

2) Encontrar el intervalo invariante I tal que f (I) ! ^{I ,}

3) Determinar el subintervalo I’ de I, I ’! I, tal que f'(x) <1 para todo valor de '

I x! ^,

4) CalcularM =sup

x!I( f'(x))^conI=[^0,K]^,

5) Determinar el mínimo número de iteraciones necesarias para encontrar una aproximación del límite de la sucesión con un error fijado !>0^.

R3 : Generalización de la técnica principal R2.1 + R2.2 con f cualquier función de clase C¹.

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

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