Una segunda organización para el estudio del problema del cálculo de potencias de matrices potencias de matrices

Surge aquí una nueva cuestión Q₃^{( 2 )}:

Q^{( 2 )}₃ : Dada una matriz cuadrada M de orden d, nuestro objetivo es ahora el de estudiar

la sucesión generadas por las potencias n-ésima de M:

{ }

Mⁿ n!!. Más en concreto, nos proponemos tratar las siguientes cuestiones:

Q_3.1^{( 2 )}: ¿Cuál es y cómo podemos determinar la expresión general de los términos

de la sucesión

{ }

Mⁿ n!!?

Q_3.2^{( 2 )}: ¿Qué propiedades podemos destacar de

{ }

Mⁿ n!!? ¿Cómo podemos

describir lim

n!"

{ }

Mⁿ n#!? ¿Hay algún caso en el que podamos asegurar que Mⁿ

{ }

n!!converge? En caso que sea convergente, ¿podemos predecir cuál será este límite?

Una de las primeras tareas que se deben proponer para el estudio de Q₃^{( 2 )} es la que, mediante simulación numérica, se plantee el cálculo de las potencias sucesivas de matrices de diferente naturaleza. Con la exploración y simulación numérica que se realice, podremos introducir el siguiente resultado:

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

R_3.1(1)^{( 2 )} : Si D es una matriz diagonal, entonces Dⁿ sigue siendo una matriz diagonal que se obtiene al elevar a la potencia n-ésima los elementos

{ } ( )

d_ii 1!i!dde la diagonal principal de la matriz D.

Centrándonos en el caso de matrices diagonalizables, podemos introducir el siguiente resultado:

R_3.1(2)^{( 2 )} : Si M es una matriz diagonalizable entonces se pueden encontrar las matrices D y K que satisfacen la siguiente relación:

M =K!D!K^"1, equivalente a, D=K^!1"M"K (2.18)

donde D es una matriz diagonal que contiene los valores propios (!_i) asociados a M y K la matriz de cambio de base que contiene los vectores propios (vi) asociados a cada !_i de M.

De esta forma, el problema del cálculo de la potencia n-ésima de M nos lleva al problema de encontrar las matrices D y K que satisfacen la relación descrita en (2.18) que, aplicando n veces, llegamos a la expresión equivalente para calcular Mⁿ:

Mⁿ =K!Dⁿ!K^"1 (2.19)

Podemos reformular entonces la cuestión problemática Q_3.1^{( 2 )} en los términos siguientes según las propiedades (2.18) y (2.19):

¿Cómo podemos determinar la matriz diagonal D y la matriz de cambio de base K asociadas a M que satisfacen M =K!D!K^"1 y obtener así Mⁿ =K!Dⁿ!K^"1?

Notemos que la respuesta a esta cuestión supone la elaboración de una organización matemática local entorno a la diagonalización de matrices. En esta organización, quedan incluidos, entre otros elementos: el cálculo del polinomio característico asociado a M, el cálculo de valores y vectores propios, la construcción y justificación de las matrices D, K y K^!1.

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

Relacionada con la cuestión Q_3.2^{( 2 )} relativa al estudio de la posible convergencia de la sucesión

{ }

Mⁿ n!!, recordemos que han quedado planteadas, y pendientes de ser estudiadas, las cuestiones que han motivado y requerido la construcción de esta segunda praxeología matemática. Primero, vamos a estudiar Q_2.3^{( 2 )} que ha surgido de la construcción de OMtransición para después pasar a completar el estudio de Q_1.3^{( 2 )} relativa a OMLeslie. Fijémonos que estas cuestiones quedan incluidas en el estudio de Q_3.2^{( 2 )} presentada al inicio de este apartado.

! El caso de las matrices de transición:

Utilicemos las herramientas previamente descritas para acabar de estudiar el ejemplo concreto introducido en la sección anterior:

Considerando el caso particular de la matriz de transición:

M= 0.7 0.1

el polinomio característico asociado a M es:

p_M(!)= 0.7"! 0.1 iguales correspondientes al vector propio asociado a "¹. Tenemos así que,

limn!"Mⁿ =K# 1 0 distribución en cualquier tiempo n suficientemente grande es, tiende a:

n!"limMⁿ a

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

Con este resultado probamos que la evolución a largo plazo es independiente de las componentes a y b de la distribución inicial pero sí dependiente del volumen total de la distribución inicial V = a + b.

Vamos ahora a justificar los resultados que hemos observado al desarrollar nuestro ejemplo concreto e indagar sobre otras propiedades generales de las matrices de transición y de las consecuencias para el estudio de la sucesión matricial

{ }

Mⁿ n!! y, consecuentemente, para la evolución de

{

m(n)

}

n!!.

Centrémonos primero en estudiar el caso general de matrices de transición de orden 2 para, posteriormente, generalizar los resultados al caso de las matrices de cualquier orden.

Q_3.2.1^{( 2 )} : Consideramos el caso de M una matriz de transición de orden 2, ¿en qué casos podemos asegurar que

{ }

Mⁿ n!!converge? En caso que sea convergente,

¿podemos predecir cuál será este límite?

Sea M una matriz de transición de orden 2,

M = p 1!q 1! p q

"

#$ %

&

'

el polinomio característico asociado a M es:

p_M(!)= p"! 1"q

1" p q"! =!² "(p+q)#!+(p+q"1)

Los valores propios "i que resultan de discutir las soluciones de p_M(!) son:

! = (p+q)± (p+q)² "4(p+q"1)

2 = (p+q)±

(

(p+q)"2

)

2

#!1 =1 y!2 = p+q"1 donde "1$ p+q"1$1

Obtenemos así que las matrices de transición de orden 2 siempre tienen: un valor propio

"1 = 1 y un segundo valor propio "2 tal que !2 "1. Esta propiedad nos permite

asegurar que,

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

podemos dar la expresión general de la matriz a la que tiende M ⁿ introducida en (2.19),

n!"limMⁿ = q#1 1 Si consideramos y redefinimos el caso particular o solución particular de vector fijo:

m^e= 1

¿Podemos generalizar las propiedades obtenidas con el estudio de Q_3.2.1^{( 2 )} en el caso de considerar M matrices de transición de orden d ?

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

– Si consideramos M es una matriz de transición de orden d, entonces ésta siempre tiene asociados un vector propio de valor propio¹⁴ "1 = 1, y el resto de valores propios "i de M satisfacen que !_i <1. Observemos además que el vector propio asociado al valor propio "1 = 1, corresponde al cálculo del vector fijo o distribución estable: m^e.

– Conociendo estas propiedades de los valores propios asociados a M, tenemos que:

limn!"Dⁿ = correspondiente al valor propio 1 o componentes del vector fijo m^e de M, tal que

m_i^e

Con los resultados que acabamos de describir, podemos dar una respuesta a la cuestión que había quedado pendiente:

14 Notemos que esta propiedad se demuestra utilizando la propiedad de las matrices de transición que hemos introducido en R_2.2^{( 2 )}: Dado que la suma de todos los elementos de cada una de las columnas de la matriz de transición M suman 1, entonces la suma de los elementos de cada una de las columnas de la matriz (M – Id) es 0, por lo que, det(M - Id) = 0. Esto nos dice que el valor "1 = 1 siempre es solución del polinomio característico de M, y, por tanto, valor propio de cualquier matriz de transición M.

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

Q_2.3^{( 2 )} : ¿Toda trayectoria de

{

m(n)

}

n!! converge a este vector fijo m^e? ¿Cuál es la

dependencia entre el vector fijo m^e, la matriz de transición M y la condición inicial m(0)?

propiedad que nos permite asegurar que, a la larga, la población X siempre tiende a un vector fijo o distribución de equilibrio m^e, que depende del volumen inicial V_i = a_i

i=1

!

d ^,

pero que es independiente de los componentes de la distribución inicial (concreta) de los elementos de m(0).

! El caso de las matrices de Leslie:

De nuevo, primero de todo, utilicemos las herramientas descritas al inicio de este apartado para acabar de estudiar el ejemplo introducido en la sección anterior, OMLeslie:

Considerando el caso particular de la matriz de Leslie:

L= 1 1.5

con la que la expresión matricial del modelo de Leslie quedaba expresado de la forma siguiente:

X(n)= x₁(n)

Para estudiar el comportamiento a largo plazo de la sucesión generada por los iterados de X(n), esto es, para estudiar su comportamiento en el límite es necesario en primer lugar hallar las soluciones del polinomio característico, es decir, hallar los valores propios de L:

L!" #I =0$ 1!" 1.5

0.5 !" =0$"1=1.5; "2 =!0.5

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

Si calculamos los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios de L,

v_!1 = 1

Si consideramos como condición inicial: X(0) = (a, b) con a $ 0 y b $ 0, tenemos que la distribución en cualquier tiempo n suficientemente grande se aproxima a:

limn!"X(n)=lim

Donde probamos que la evolución a largo plazo de la sucesión X(n) viene completamente determinada por el hecho que hemos encontrado un valor propio "¹=1.5 cuyo vector propio correspondiente (con todas sus componentes positivas) “domina” el comportamiento al límite de X(n),

limn!"X(n)=c#( )1.5 ^n#v$1#(a+b)

Esto nos indica que, de encontrarnos en este caso (una valor propio mayor que 1 con vector propio con componentes positivas y otro valor propio menor que 1), ambos grupos de la población crecen siempre y además el comportamiento en el límite de cada componente de X(n) es directamente proporcional a la n-ésima potencia del valor propio dominante multiplicada por la componente que le corresponda del vector propio dominante y por el volumen total de la distribución inicial a + b.

Vamos ahora a indagar sobre las posibles propiedades generales de las matrices de Leslie y de sus consecuencias para el estudio de la sucesión matricial

{ }

Lⁿ n!! y, consecuentemente, para la evolución de

{

X(n)

}

n!!. Igual que en el caso de las matrices de transición, centrémonos primero en estudiar el caso general con matrices de Leslie de orden 2 para, posteriormente, poder generalizar los resultados al caso de las matrices de Leslie de orden d.

Q_3.2.2^{( 2 )} : En el caso concreto de las matrices de Leslie (L) de orden 2, ¿qué propiedades podemos destacar de

{ }

Lⁿ n!!? ¿Qué forma tiene _lim

n!"

{ }

Lⁿ n#!?

¿Podemos generalizar las propiedades y consecuencias en el caso de considerar L de orden d ?

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

En el caso de considerar L una matriz de Leslie de orden 2 y así completar las conclusiones del estudio desarrollado con nuestro ejemplo concreto, tenemos que:

L= F₁ F₂ p₁ 0

!

"

## $

%&&

y sus valores propios se obtendrán al hallar las raíces del polinomio característico:

p_L(!)= F₁"! F₂

p₁ "! ⁼ !² "F₁!"F₂p₁ =0 (2.23) que equivale a resolver la ecuación q(") = 1,

q(!)= F₁

! + F₂p₁

!² =1 (2.24) La representación gráfica de esta función q(!) para!>0,

Figura 13. Respresentación de q (") para F1 = 1, F2 = 2 y p1 = 0.5

nos asegura que existe un único valor de "1 positivo, tal que q("1) = 1. Esto es, la matriz de Leslie L, tiene un único valor propio "1 para el cual q("1) = 1. Además de que "1 es un valor propio simple, esto es, su grado de multiplicidad es 1. Si ahora calculamos el vector propio asociado al valor propio "1 resulta:

v_!

1 = 1, p₁

!₁

"

#$ %

&

' (2.25)

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

cuyas coordenadas son positivas. Sobre el segundo valor propio "2 lo que podemos asegurar de la resolución de la ecuación planteada en (2.23) y en (2.24) es que,

!₂ "!₁ (2.26)

hecho que convierte al valor propio !₁, y a su vector propio asociado v_!

1, en el valor propio dominante, lo que nos lleva a la conclusión que de estar trabajando con el modelo definido a través de (2.6):

X(n)=L!X(n"1)

En el caso de considerar L una matriz de Leslie de orden d, tenemos que:

L=

Los valores propios se obtendrán de resolver la siguiente ecuación:

p_L(!)=

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

!^d "F₁!^d"1"F₂p₁!^d"2"F₃p₁p₂!^d"3"..."F_dp₁p₂...p_d"1=0 (2.29) Para resolver esta ecuación anterior, como hemos hecho en (2.23) y (2.24), es conveniente introducir la ecuación equivalente:

q(!)= F₁

! + F₂p₁

!² + F₃p₁p₂

!³ +...+ F_dp₁p₂...p_d"1

!^d =1 (2.30) cuya representación y propiedades nos indican que:

Figura 14. Representación de q (") para n = 5 con F1 = F2 p1 = … = F5 p1 p2 p3 p4 p5 = 1

! La función q(") es monótonamente decreciente y positiva para valores de " > 0 ya que si: 0<!1<!2 " q

( )

!2 ^<q

( )

^{!1 ,}

! lim

!"0⁺q(!)= +#,

! lim

!"#q(!)=0.

Las propiedades de la función q(") aseguran la existencia y unicidad de único valor de

"1 positivo, tal que q ("1) = 1. Esto es, la matriz de Leslie L de orden n, tiene un único

valor propio "1 para el cual q("1) = 1. Además de que "1 es un valor propio simple, esto es, su grado de multiplicidad es 1. Si ahora calculamos el vector propio asociado al valor propio "1 resulta:

Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI

v_!

1 = 1, p₁

!₁, p₁p₂

!₁² , ..., p₁p₂p₃...p_d"1

!₁^d"1

#

$

%%

&

'

(( (2.31)

cuyas componentes son todas positivas. En resumen, de las propiedades (2.28) a (2.31), tenemos que:

R_3.2.2(1)^{( 2 )} : Una matriz de Leslie L de, tiene un único valor propio positivo "1, que obtenemos de solucionar las ecuación presentada en (2.28) o sus expresiones equivalente (2.29) y (2.30). Este valor propio "1 es simple y tiene un vector propio asociado v_!

1 (2.31) cuyas componentes son todas positivas.

R_3.2.2(2)^{( 2 )} : Si "1 es el único valor propio positivo de una matriz de Leslie L, para cualquier otro valor propio (real o complejo) de L, tenemos que:

!i "!1 (2.32)

En este caso, "1 será el valor propio dominante de L.

Con los resultados que acabamos de obtener, podemos dar una respuesta a la cuestión pendiente:

Q_1.3^{( 2 )}: ¿Es siempre posible encontrar una constante c y un instante de tiempo ne a partir

de la cual la trayectoria de la sucesión vectorial

{

X(n)

}

n!! satisface la relación (2.8),

{

X(n+1)!c"X(n),n>n_e

}

^?

Así, en caso que la matriz L tenga un valor propio dominante, entonces esto nos lleva a la conclusión que, de estar trabajando con el modelo definido a través de (2.6),

X(n)=L!X(n"1)

o su expresión equivalente (2.7),

X(n)=Lⁿ!X(0)

Para n suficientemente grande tenemos y partiendo de cierta distribución inicial X(0),

2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones

que nos permite asegurar que, para n suficientemente grande, cada vector distribución de la sucesión vectorial

{

X(n)

}

n!! tiende a un múltiplo escalar de la distribución inmediatamente anterior,

{

X(n+1)!c"X(n),c#!

}

siendo esta constante c igual al valor propio positivo dominante "1 de la matriz de Leslie L.

2.2.4. Síntesis del posible recorrido matemático a través de modelos discretos d –

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