El impulso reciente de la enseñanza de la modelización matemática

Durante muchos años, la enseñanza de la “modelización y aplicaciones” se ha limitado a la aplicación de conocimientos matemáticos previamente introducidos a determinadas situaciones más o menos “reales” con el objetivo de servir de motivación a los estudiantes. Como ya hemos indicado, este uso de la modelización sigue siendo aún el más extendido en los sistemas de enseñanza universitarios.

En el trabajo de tesis de Javier García (2005) se pone de manifiesto que durante los últimos 25 o 30 años ha aparecido un intento, por parte de la comunidad de investigadores en Educación Matemática y también de las sucesivas reformas educativas en los diversos niveles, de recuperar las matemáticas aplicadas o las relaciones entre las matemáticas y el mundo real. Parece imponerse así un acuerdo social, reforzado por programas internacionales como PISA (Programme for International Student Assessment) a nivel preuniversitario y los desarrollos del pacto de Bolonia para la enseñanza superior, sobre la conveniencia de introducir en todos los niveles de enseñanza aspectos relacionados con las aplicaciones de las matemáticas y con la modelización.

El interés de la comunidad investigadora en Educación Matemática por este dominio, al cual es usual referirse como “Modelización y aplicaciones”, ha ido en aumento tal como se describe en diversos trabajos (ver, por ejemplo, Burkhardt, 2006).

El movimiento parece iniciarse con el estudio de la Comisión Internacional para la Instrucción Matemática (ICMI), celebrada a Kuwait el 1986, estudio que promovió el impulso mundial para la inclusión en los currículum de matemáticas de contenidos o temas relacionados con las aplicaciones de las matemáticas, tanto en relación a otras disciplinas como sus aplicaciones a la vida cotidiana. Lo reforzaron grupos de investigación internacionales como el ICTMA (The International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications) cuyo primer congreso bienal se celebró en 1982 (www.ictma.net) y, más recientemente, el ICMI Study 10 coordinado por investigadores de reconocido prestigio como Mogens Niss, Werner Blum, Peter

Capítulo 1 - El papel de la modelización en la enseñanza universitaria de las matemáticas

Galbraith y Hans-Wolfang Henn, en el que han participado un número muy importante de investigadores (Blum et al., 2007). Desde 2005, la sociedad europea de investigación en educación matemática ERME creó un grupo específico sobre el tema liderado por la investigadora alemana Gabriele Kaiser que, a su vez, es la editora de dos números especiales de la revista internacional ZDM dedicados exclusivamente a este tema (Kaiser et al., 2006a y 2006b).

Debemos destacar con especial atención los trabajos del investigador danés Mogens Niss que también es el precursor de introducir la noción de competencia matemática como herramienta de diseño y análisis de los actuales curriculums en todos los niveles educativos, rompiendo así con la descripción “conceptualista” tradicional.

En Niss (1999), el autor introducía el término de competencia (o de ser competente) en el dominio particular de las matemáticas de la siguiente manera:

[…] Mathematical competence then means the ability to understand, judge, do, and use mathematics in a variety of intra- and extra-mathematical context and situations in which mathematics plays or could play a role. Necessary, but certainly not sufficient, prerequisites for mathematical competence are lots of factual knowledge and technical skills, in the same way as vocabulary, orthography, and grammar are necessary but not sufficient prerequisites for literacy. (Ibid., p.7)

Él mismo lideró posteriormente el proyecto danés KOM: Competences and the Learning of Mathematics (Niss, 2003), proyecto iniciado por el ministerio de educación danés con el objetivo de impulsar una reforma en la enseñanza de la educación matemática desde primaria hasta la universidad. Sirvió para identificar e introducir un total de ocho competencias para describir la actividad matemática, entre las cuales se incluye la competencia de la modelización como una de las competencias que los estudiantes deben desarrollar. Más concretamente:

Modelizar matemáticamente (analizando y construyendo modelos), que incluye:

! Analizar las bases y propiedades de los modelos existentes, incluyendo la evaluación de su dominio de validez;

! Descifrar modelos existentes, es decir, traducir e interpretar los modelos elementales en términos de la “realidad moldeada”;

Realizar modelización en un contexto dado que incluya:

2. La modelización matemática en la investigación en Educación Matemática

! Estructurar el campo de estudio o la situación que se quiere moldear,

! Matematizar los diversos componentes de la realidad, traduciendo estos componentes en estructuras matemáticas,

! Trabajar con y en los modelos,

! Validar el modelo (internamente y externamente),

! Analizar y criticar las posibles limitaciones de los modelos (en ellos mismos o en comparación a posibles alternativas),

! Comunicar hechos relativos al modelo y a sus resultados,

! Controlar y dirigir el proceso global de modelización.

Más allá de la reforma en los diferentes niveles educativos daneses que resultó de este proyecto, cabe destacar el impacto e influencia que ha tenido, y sigue teniendo, en las reformas a diversos niveles educativos europeos que es consecuencia, en parte, de haber sido escogido como marco teórico del Programa Internacional de Evaluación de Alumnos PISA (OECD, 2003a y 2003b). Por no hablar del diseño de las asignaturas de los nuevos grados en las universidades españolas.

Al asumir este punto de vista, ampliamente aceptado actualmente por la sociedad y por la comunidad investigadora en educación matemática, el ámbito de la

“modelización y aplicaciones” pasa a ser considerado un instrumento privilegiado para conseguir los objetivos que la enseñanza de las matemáticas se propone. En esta misma dirección y, en cierto sentido, fortaleciendo la hipótesis que ya hemos introducido en el anterior apartado sobre el papel privilegiado que tiene la modelización para hacer frente a la problemática de la desarticulación de la matemática enseñada, lo apuntan esta vez Muller & Burkhardt (2007):

[…] the multiple connections that are essential to robust understanding of mathematics do not arise naturally – they require learning activities specifically designed to develop them.

Mathematical models of authentic situations do this well. They reveal more readily than do artificial textbook problems that, to be effective, mathematics must be approached holistically rather than as an accumulation of bits and pieces of de-contextualized knowledge. […] In “doing mathematics” the whole is much more than the sum of the parts.

(Ibid., pp. 268 - 269)

Capítulo 1 - El papel de la modelización en la enseñanza universitaria de las matemáticas

En España, el interés por la enseñanza de la modelización es mucho más reciente y se ha sentido desde sus inicios en los diferentes niveles educativos y, en especial, en el nivel universitario. Como muestra de este interés, la revista de didáctica de las matemáticas UNO publicó en 2002 un número especial sobre “Modelización y matemáticas”, donde encontramos textos representativos en la dirección mencionada, por ejemplo, el trabajo de Gómez & Fortuny (2002) contribuyendo al estudio de los procesos de modelización en la enseñanza de las matemáticas en escuelas universitarias.

Otra muestra de dicho interés lo constituye la presentación de la primera revista electrónica “Modelling in Science Education and Learning” que publicó su primer volumen en 2008 cuyo objetivo es la difusión de trabajos relacionados con el uso de modelos matemáticos en la enseñanza de las ciencias¹³.

2.2. La “modelización como contenido” versus la “modelización como