EN TORNO AL ESTUDIO DE LA DINÁMICA DE POBLACIONES
1. PROPUESTA DESCRIPTIVA DE LOS RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN
En el capítulo anterior hemos presentado las características básicas en las que se fundamenta la propuesta de los Recorridos de Estudio e Investigación (REI). En el momento de diseñar, poner en marcha y evaluar algunos de estos REI para un primer curso universitario de CCEE, es necesario tomar en consideración tres niveles de análisis. Los dos primeros corresponden a lo que llamamos niveles de ingeniería matemática y didáctica, esto es, al diseño a priori de los REI, primero desde el punto de vista de su “potencial matemático” y después especificándolos a una institución docente y unas condiciones de organización escolar particulares. El tercer nivel corresponde a lo que podemos designar como el nivel empírico o experimental en el que se presenta una descripción completada con un análisis a posteriori de una puesta en marcha real de los REI.
Este capítulo se centra en el primer nivel de análisis que corresponde a un trabajo de ingeniería matemática y que incluye una presentación de la cuestión inicial así como un “mapa” de posibles trayectorias a recorrer durante su estudio. Es lo que designamos como el Modelo Epistemológico de Referencia (MER) del REI considerado. Este análisis de un “universo de los posibles” permite, por un lado, poner en evidencia el potencial de la cuestión inicial como cuestión generadora de un proceso largo de estudio. Y, por otro lado, constituye un punto de referencia tanto para el diseño de los recorridos concretos (nivel de ingeniería didáctica) como para el análisis de su puesta en marcha (nivel experimental).
1.1. Primer nivel de análisis: mapa de posibles recorridos (nivel de ingeniería matemática)
Toda investigación en didáctica supone que se fije, de manera explícita, una posición desde la cual observar e interpretar los hechos didácticos. Desde la TAD, esta condición va a requerir del estudio y construcción de la organización matemática de referencia o, lo que hemos introducido como Modelo Epistemológico de Referencia (MER) que va a constituir, para el investigador y para la propia disciplina, un instrumento de emancipación de la excesiva sujeción a las diferentes instituciones que
Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI
forman parte de su objeto de estudio. La construcción del MER constituye un instrumento imprescindible para la descripción y el análisis de las diferentes Organizaciones Matemáticas (OM) que intervienen en el proceso de transposición didáctica (ver Figura 1):
En el caso de los REI, el diseño del MER consistirá en el diseño matemático a priori de las OM que van apareciendo con el fin dar respuesta a la cuestión generatriz del proceso de estudio Q0 y a sus correspondientes cuestiones derivadas, mostrando a la vez la relación que hay entre las diversas OM que pueden aparecer en el proceso de estudio de Q0 y la manera como se van completando y articulando en estructuras de complejidad creciente.
Respetando las características de los REI, este “mapa” se formulará en términos cuestiones y de respuestas (Qi, Ri), esto es, en términos de las posibles ramificaciones de la cuestión generatriz Q0 (reformulaciones de Q0 y cuestiones derivadas de ella) y de las respectivas respuestas intermedias o provisionales que la construcción de las OM correspondientes van proporcionando. Es aquí donde se van a detectar y describir aquellas cuestiones que van a aparecer durante o después de una “etapa” de modelización matemática, esto es, de construcción de una OM para poder dar respuesta a las cuestiones que se hayan planteado en un sistema matemático o extra-matemático, y que van a motivar y dar razón a un nuevo proceso de modelización con la construcción de una nueva OM más completa y articulada con la previamente construida.
En nuestro caso, partiremos de una cuestión generatriz (Q0) en torno al estudio de la dinámica de poblaciones que servirá de hilo conductor de todo el proceso de estudio.
Propondremos estudiar Q0 mediante la construcción y manipulación de diferentes
Saber sabio Investigación en Didáctica de las Matemáticas
Figura 1. La posición ‘externa’ que deben asumir los investigadores en didáctica (Bosch & Gascón, 2006)
1. Propuesta descriptiva de los REI
modelos matemáticos, para delimitar inicialmente la problemática e irla ampliando progresivamente. En efecto, al estudiar las relaciones entre el sistema considerado y el modelo inicial, aparecerán nuevas cuestiones que requerirán la construcción de nuevos modelos que, a su vez, generarán nuevas cuestiones que sólo podrán ser estudiadas mediante la construcción de modelos matemáticos cada vez más amplios y comprensivos. Se originará, en definitiva, un proceso de ampliaciones sucesivas de los modelos matemáticos considerados que, postulamos, permitirá recubrir y articular los diferentes contenidos matemáticos que conforman el programa de estudios considerado.
Nuestra propuesta describe los recorridos matemáticos (RM) en términos de: la formulación de hipótesis (Hi) sobre el sistema inicial X; cuestiones problemáticas (Qi) centrales a estudiar bajo dichas hipótesis; la construcción de modelos (Mi1, Mi2, …) que permitan dar respuesta a estas cuestiones Qi; el estudio y trabajo técnico con los modelos Mik para la elaboración de las sucesivas respuestas provisionales Rik a las correspondientes cuestiones Qi.
Dada la reformulación que desde la TAD se propone de los procesos de modelización en términos de integración de praxeologías de complejidad creciente, el diseño del MER se analizará a su vez en términos de praxeologías matemáticas, principalmente locales1, que irán integrándose las unas con las otras en estructuras cada vez más amplias, complejas y completas. Resultará muy importante dar nombre a estas unidades mínimas de descripción del proceso de estudio (en términos de OM) para poder así sintetizar el MER propuesto como una composición de estas unidades y poderlas utilizar en los niveles posteriores de diseño, descripción y análisis.
1.2. La cuestión generatriz de un REI sobre dinámica de poblaciones
Consideremos una población X y sea xt su tamaño (número de individuos) en el instante de tiempo t, valor que evoluciona con el paso del tiempo. El estudio de la
1 Considerando que partimos de una cuestión generatriz Q el estudio de la cual generará diversos tipos de problemas que requerirá el uso de diferentes técnicas. La respuestas a Q nos va a llevar a la construcción o reconstrucción de organizaciones matemáticas como mínimo locales OM = [Ti, !i, !, "]1 # i # n que quedarán caracterizadas esencialmente por la tecnología ! común a los diferentes tipos de problemas y a las técnicas requeridas (Bosch & Gascón, 2004).
Capítulo 3 – Diseño matemático de los REI
evolución o dinámica de la población X plantea la siguiente cuestión inicial Q0 que será la cuestión generatriz del proceso de estudio que vamos a describir en este capítulo:
Q0: Si suponemos que conocemos el tamaño de una población X en algunos periodos de tiempo, ¿podemos predecir como evolucionará el tamaño de esta población después de n períodos? ¿Será siempre posible predecir la evolución del tamaño de X a largo plazo? ¿Qué tipo de hipótesis sobre el entorno, sobre la población y sobre su crecimiento se tienen que asumir? ¿Cómo podemos hacer predicciones sobre la evolución del tamaño de X y cómo pueden ser validadas?
Podemos suponer inicialmente que el instante de tiempo t está medido en unidades discretas y que xt depende, entre otras cosas, de los d estados anteriores,
xt!1,xt!2,…,xt!d
(
0<d"t)
. Podemos suponer, además, que la población X esautónoma en el sentido que no sufre cambios debido a las condiciones externas. En esta situación, el estudio de la cuestión Q0 nos lleva a considerar dos grandes tipos de modelos según si sólo depende de xt!1 (población con generaciones separadas) o si xt depende de las d > 1 generaciones anteriores xt!1,…, xt!d (población con generaciones mezcladas).
El primer tipo de modelos nos llevará al estudio de sucesiones recurrentes de orden 1 del tipo xt+1= f(xt), con f función de variable real. El segundo tipo conducirá a considerar sucesiones recurrentes de orden d > 1 reducibles a sucesiones recurrentes vectoriales del tipo Xt+1 = f(Xt) donde X0 =
(
x0, x1,…,xd!1)
es el vector de las d primeras generaciones y Xi =(
xid,xid+1,…,xid+(d!1))
el i-ésimo vector de las d generaciones sucesivas con 0 < i " n.Si, por otro lado, suponemos inicialmente que el tiempo t está medido en unidades continuas, pasamos entonces a estudiar la evolución continua de la población, estudio en el que encontramos una estructura análoga y, en cierta manera, paralela a la anterior con modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales de orden 1 o superior.
2. Modelos discretos para el estudio de dinámica de poblaciones
2. MODELOS DISCRETOS PARA EL ESTUDIO DE LA DINÁMICA DE