4.4 Validation du code de calcul
4.4.2 Validation du glissement en couche mince
L’introduction du glissement de Navier dans NanoNem est valid´e avec l’´ecrasement d’un film en axisym´etrique. Le cas du d´ebut de l’´ecrasement, pr´esent´e sur la figure 4.11, sans tension de surface, d’un cylindre de polym`ere de hauteur h et de rayon R entre deux disques qui se
L h V/2 V/2 V/2 V/2 O x t n z
Figure4.11 – Compression d’un cylindre mince de polym`ere. Par raison de sym´etrie, seule la partie en gris fonc´e est mod´elis´ee.
rapprochent `a la vitesse V peut ˆetre trait´e de fa¸con assez pr´ecise et de fa¸con analytique. Il s’agit l`a d’une extension au cas avec glissement de la solution habituelle consid´er´ee en lubrification hydrodynamique. Pour des raisons de sym´etrie, on ne consid`ere que la partie du fluide en gris fonc´e sur la figure 4.11.
Nous traiterons ici deux situations avec une longueur de glissement b de l’ordre de 10 `a 100 nanom`etres : pour de telles valeurs, le contact sera partiellement glissant `a l’´echelle micro- scopique qui nous int´eresse mais un ´ecoulement `a l’´echelle macroscopique sera per¸cu comme s’effectuant avec un contact collant, la diff´erence avec une longueur de glissement nulle ´etant alors imperceptible. `A titre de comparaison les r´esultats pour b 0 et b seront ´egalement pr´esent´es.
La solution calcul´ee par NanoNem est compar´ee `a une solution approch´ee de ce probl`eme d’´ecrasement. En supposant que le champ de vitesse varie peu suivant l’´epaisseur, on d´etermine le champ de vitesse et le champ de pression en fonction des coordonn´ees cylindrique r et z
vr r, z 3 r V h2 4 b h 4 z2 4 h2 6 b h (4.3) vz r, z z V 3 h2 12 b h 4 z2 2 h2 6 b h (4.4) et p x, y η V 6 r 2 R2 12 z2 b h h2 2 h2 6 b h . (4.5)
Dans le domaine ces champs v´erifient les ´equations d’´equilibre quasi-statique dans le volume div &v 0 et ∆ &v& ∇ p .& (4.6) Sur le bord sup´erieur en z h 2 le champ &v v´erifie la condition de Navier et de non p´en´etration dans le solide &v r, z h 2 .&t b vr z vz r et vz r, z h 2 V 2 . (4.7)
Sur les axes de sym´etrie en r 0 et z 0 le champ v´erifie les conditions de non p´en´etration du fluide
Sur le bord libre en r Rc’est normalement une condition de contrainte normale nulle en tout point qui s’applique. Cette condition ne peut pas ˆetre rigoureusement v´erifi´ee avec une solution polynomiale et on se contente de la v´erifier en moyenne :
h 2 0
σnnr r R dz 0 . (4.9)
Avec cette condition la solution trouv´ee sera une solution tr`es bien approch´ee loin du bord libre.
Dans un premier temps on consid`ere un cylindre de polym`ere de rayon R 2,5 µm et de hauteur h 250 nm, et on ´etudie l’influence de la longueur de glissement sur les contraintes le long du solide pour b valant respectivement 0, 10, 50, 100 nm, et pour un contact parfaitement glissant (b ). La vitesse V est prise ´egale `a 200 nm/s. `A partir de la solution analytique et de la relation de comportement on calcule la contrainte normale au solide (σzz) et la contrainte
de cisaillement (σrz) dans le domaine
σzz r, z η V 2 h2 18 b h 3 R2 r2 h2 6 b h (4.10) σrz r, z η V 3 r h2 6 b h (4.11)
Les r´esultats sont pr´esent´es sur les figures 4.12 et 4.13 et l’on observe que les contraintes augmentent en valeur absolue quand la longueur de glissement diminue, avec une valeur limite atteinte dans le cas du contact collant (b 0). La composante σzz (figure 4.12) montre que le
mat´eriau est en compression avec un profil en cloche et des contraintes n´egatives, et maximales en valeur absolue au centre avec σmin
zz 3,1 MPa. Loin du centre, une bonne correspondance
est obtenue entre les deux m´ethodes. On note ici que la solution analytique est l´eg`erement sup´erieure en valeur absolue `a la solution de NanoNem, avec un d´ecalage qui s’accentue quand la longueur de glissement diminue. N´eanmoins cette diff´erence reste tr`es faible avec moins de 0,2 % d’erreur relative. Les mˆemes remarques valent pour la composante σrz (figure 4.13)
toujours loin du centre, sauf pr`es de la surface libre en r Ro`u une l´eg`ere d´eviation apparaˆıt, bien marqu´ee pour le cas b 10 nm. Cette d´eviation est en fait un d´ebut de fluctuation des contraintes dans la solution calcul´ee par NanoNem. On retrouve ce type de fluctuation dans les probl`emes de contact pour un solide rigide appuyant sur un solide ´elastique o`u il existe une singularit´e sous le coin du solide (qui serait situ´ee au point r R, z h 2 sur notre g´eom´etrie). Ces fluctuations n’apparaissent pas dans la solution analytique qui est trop simple pour d´ecrire ce ph´enom`ene et ne sont donc pas li´ees `a une erreur de code.
Pr`es du centre (r 0) des fluctuations sont aussi pr´esentes, plus visible pour les faibles longueurs de glissement, et plus marqu´ees pour la composante σrz de la figure 4.13. `A la
diff´erence des pr´ec´edentes, ces fluctuations sont dues `a la m´ethode d’int´egration des fonctions de forme. Elles sont syst´ematiquement pr´esentes dans tous les cas ´etudi´es en axisym´etrique (et pas dans le cas plan), et elles sont li´ees `a la formulation utilis´ee pour r´esoudre ce type de probl`eme. Cependant elles ne concernent que les nœuds qui sont sur l’axe et quelques nœuds pr`es de l’axe, et l’on peut consid´erer qu’elles n’influencent que tr`es peu la solution ailleurs dans le domaine comme on peut le voir sur les figures 4.12 et 4.13.
On traite ensuite le probl`eme en consid´erant la loi de Carreau (4.2) mais uniquement pour b 50 nm. Dans le cas pr´ec´edent NanoNem donne une vitesse de d´eformation maximale
sup´erieure `a 10 s 1, qui est bien sup´erieure `a la vitesse de d´eformation critique de notre mat´eriau
γ0 0,061 s 1, donc la loi de Carreau aura une influence non n´egligeable sur les contraintes et
aura pour effet de les diminuer. Ce r´esultat est observ´e sur les figures 4.12 et 4.13 o`u la solution en non lin´eaire est repr´esent´ee avec des symboles noirs. L’utilisation de la loi de Carreau annule la contrainte σrz sur la surface libre mais n’att´enue pas les fluctuations pr`es du centre. Sur
la figure 4.13 on voit que la contrainte calcul´ee avec la loi de Carreau augmente lin´eairement comme dans le cas newtonien mais avec une pente plus faible du fait d’une viscosit´e moyenne plus faible, puis qu’elle chute brusquement au voisinage du bord, la singularit´e au bord libre n’existant plus. σzz (MPa ) -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 0.5 1 position (µm) 1.5 2 2.5 b=100 nm b=50 nm b=10 nm b=0 nm b ∞ b=50 nm (Carreau, NanoNem)
Figure 4.12 – σzz le long du solide pour diff´erentes longueurs de glissement, calcul´e avec le mod`ele analytique approch´e (traits continus) et avec NanoNem axisym´etrique (symboles blancs dans le cas Newtonien et symboles noirs avec la loi de Carreau).
On compare ensuite les efforts r´esultants sur les solides qui d´ependent de la longueur de glissement, ou du coefficient de frottement si le comportement n’est pas lin´eaire. `A partir de la solution analytique on calcule l’effort exerc´e par le solide
F h, b R 0 σnn y h 2rdr η V R 2 4 h2 36 b h 3 R2 4 h2 6 b h , (4.12)
on consid`ere une longueur b 50 nm fix´ee et une hauteur h variant entre h0 500 et hf
100 nm, toujours avec R 2,5 µm et V 200 nm/s. Les simulations sont effectu´ees sans mettre `
a jour la position horizontale des nœuds pour conserver un domaine rectangulaire quelle que soit l’´epaisseur. Les r´esultats sont pr´esent´es sur la figure 4.14 o`u l’on observe un bon accord entre les deux m´ethodes pour le comportement newtonien. `A titre de comparaison l’effort calcul´e avec la loi de Carreau est pr´esent´e sur la mˆeme figure dans le cas d’une longueur de glissement b 50 nm constante et dans le cas d’un coefficient de frottement β constant tel que b soit ´egal
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 σrz (MPa ) b ∞ b=100 nm b=50 nm b=10 nm b=0 nm 0 0.5 1 position (µm) 1.5 2 2.5 b=50 nm (Carreau, NanoNem)
Figure 4.13 – σrz le long du solide pour diff´erentes longueurs de glissement, calcul´e avec le mod`ele analytique approch´e (traits continus) et avec NanoNem axisym´etrique (symboles blancs dans le cas Newtonien et symboles noirs avec la loi de Carreau).
`
a 50 nm `a tr`es faible vitesse de cisaillement. On rappelle ici que la relation b ηβ est toujours v´erifi´ee dans l’un ou l’autre cas. On constate que la diff´erence entre ces deux derniers efforts augmente quand l’´epaisseur du film diminue, l’effort avec un coefficient de frottement constant ´etant plus important que celui avec une longueur de glissement constante.
Les deux cas pr´esent´es ici nous ont permis de valider l’introduction du glissement avec la loi de Navier dans NanoNem. Les calculs avec la loi de Carreau et l’influence du comportement et de la condition de Navier avec un coefficient de frottement constant ou une longueur de glissement constante ont ´et´e pr´esent´es `a titre d’exemple.