Approche retenue dans cette th`ese

On comprend donc que le rapport des dimensions des motifs relativement `a l’´epaisseur de polym`ere et l’´epaisseur de polym`ere elle-mˆeme sont les crit`eres principaux pour choisir un type d’approche. Dans notre cas, on souhaite ´etendre les r´esultats obtenus avec les ´equations de la th´eorie de la lubrification, o`u les motifs sont relativement larges par rapport `a l’´epaisseur du polym`ere, `a des impressions de motifs de plusieurs centaines de nanom`etres de large sur un film d’´epaisseur ´equivalente, et donc un rapport sup´erieur `a 0,1, sans consid´erer des films trop minces ( 40 nm) o`u le comportement serait d´ependant de la g´eom´etrie.

Pour cela nous avons men´e une premi`ere ´etude [67] en comparant les r´esultats des diff´erents mod`eles simplifi´es de la litt´erature `a un calcul num´erique utilisant la m´ethode des ´el´ements

L/2 W/2 D h_o (a) (b) modèle de la théorie de la lubrification limite d'étude

moule peu profond

Figure <sub>3.4 – Vue en coupe d’une demi-p´eriode d’un r´eseau de lignes simples `a section rec-</sub> tangulaire pour la nanoimpression (a) et de la g´eom´etrie (zone minimale) `a consid´erer pour le mod`ele de la th´eorie de la lubrification (b).

0 0,5 1 1 2 3 1,5 2 2,5 h/L 1 10 100 F/F_L 20 40 60 80 2 4 6 8 200 h /L₀ 0,8 1,6 2,4 im p re ss ion im p re ss ion im p re ss ion imp re ssi on guide visuel remplissage complet Modèle de Schulz

Figure_{3.5 – Force appliqu´ee sur le motif calcul´ee par la m´ethode des ´el´ements finis (symboles),} et normalis´ee par le r´esultat de la th´eorie de la lubrification pour la nanoimpression avec un rapport p´eriode sur largeur de motif de 4 et diff´erents rapports initiaux h0 L. Le moule a une

profondeur D telle que D L 2 3. Comparaison avec le mod`ele de Schulz et al. (2006) pour les moules peu profonds (traits continus). Les lignes discontinues verticales d´efinissent les valeurs de h pour un remplissage complet des cavit´es. La ligne courbe discontinue n’est qu’un guide visuel.

finis sous Abaqus [68], pour un fluide visqueux en d´eformation plane. Cette derni`ere solution est prise comme solution de r´ef´erence puisqu’elle ne fait pas d’hypoth`ese particuli`ere sur la direction de l’´ecoulement comme le font les mod`eles simplifi´es et r´esout le probl`eme g´en´eral. Dans cette ´etude on cherche la valeur de l’effort du moule sur le polym`ere en fonction de la hauteur du film restant sous le motif. Cet effort peut ˆetre calcul´e dans plusieurs configurations, dont deux sont pr´esent´ees sur la figure 3.4. La simulation num´erique permet de traiter le cas g´en´eral de la figure 3.4a, avec un effort qui d´epend de la p´eriode w et de la largeur L des motifs, de l’´epaisseur initiale h0 et l’´epaisseur courante h du film de polym`ere sous le motifs, et enfin

de la profondeur du moule D. D’un autre cˆot´e, le mod`ele le plus simple pour ´evaluer cet effort est celui pr´esent´e sur la figure 3.4b, appel´e mod`ele de la th´eorie de la lubrification et adapt´e du mod`ele de Stefan [57] pour les ´ecoulement plans, o`u l’on consid`ere que l’effort de r´eaction est essentiellement dˆu `a la compression du polym`ere situ´e juste en dessous du motif. Cet effort tr`es simple ne d´epend que de la largeur L et de l’´epaisseur courante h et s’´ecrit :

FL ηV

L h

3

. (3.4)

Entre ces deux mod`eles plusieurs solutions ont ´et´e envisag´ees, comme celle de Schulz et al. [18] qui suppose le mode de remplissage pr´esent´e sur la figure 3.3a. En exploitant la conservation du volume de polym`ere, l’auteur utilise la longueur effective L , qui d´epend de la profondeur du moule D, `a la place de la longueur L, et trouve un effort qui n’est pas issu d’un champ de vitesse v´erifiant les ´equations comme FL et qui s’´ecrit :

FS ηV L h 3 ηV L h 3 _D D h₀ h 3 (3.5) Ces deux mod`eles analytiques ont ´et´e ´etablis dans le cadre de la th´eorie de la lubrification, c’est-`a-dire pour h L n´egligeable devant 0,1, et nous avons cherch´e `a savoir si ces mod`eles pou- vaient ˆetre utilis´es pour des rapports de forme plus grands tel que h L 0,1. La figure 3.5 pr´esente les r´esultats pour l’analyse ´el´ements finis (symboles) et le mod`ele de Schulz (traits continus) pour une profondeur de moule D telle que D L 2 3. Les deux efforts F sont nor- malis´es par l’effort FL. Prenons le cas o`u h0 Lvaut 0,8 et ´etudions la solution num´erique (sym-

boles). `A l’instant initial, rep´er´e par la zone 1 sur la figure 3.5, l’effort calcul´e num´eriquement est environ 7 fois sup´erieur `a l’effort FL donn´e par la th´eorie de la lubrification. Puis, au fur et

`

a mesure de l’impression, la hauteur h diminue, on progresse vers la zone 2, et l’effort F se rap- proche de FL puisque le quotient F FL tend vers 1. Cette convergence est naturelle et montre

bien que la th´eorie de la lubrification s’applique lorsque l’´epaisseur du film est n´egligeable de- vant la largeur du motif. Ce r´esultat est vrai jusqu’`a ce que le polym`ere vienne en contact avec la partie haute du moule, situation qui d´efinit la zone 2. L’effort F augmente alors brusquement passant d’une valeur de 3 `a 12 fois sup´erieure `a FL. L’impression s’arrˆete lorsque la cavit´e du

moule est compl`etement remplie, zone 3, mat´erialis´ee par la ligne discontinue verticale situ´ee `

a h L 0,3. Le mˆeme sc´enario s’applique pour les valeurs initiales h0 L 1,6 et 2,4, avec

un ´ecart de plus en plus grand quand ce rapport augmente. En somme cette figure montre que la solution des ´el´ements finis donne un effort qui peut ˆetre entre 2 et 80 fois plus ´elev´e que la solution donn´ee par la th´eorie de la lubrification dans la gamme des rapports de forme ´etudi´es et que ce mod`ele n’est pas un bon candidat pour d´ecrire notre ´ecoulement. Le mod`ele de Schulz est ´egalement repr´esent´e, et l’on voit qu’il correspond au mod`ele de la lubrification `a

l’instant initial (h L h0 L), puis qu’il augmente par rapport `a l’effort FL puisque la longueur

de contact avec le moule augmente. Cependant cet effort sous-estime ou sur-estime l’effort cal- cul´e par ´el´ements finis en fonction du point de d´epart, avec peu ou pas de recouvrement des courbes. Ce constat est fait pour tous les mod`eles qui ont ´et´e test´es par Teyss`edre et al. [67], dont celui de Hsin and Young [61] ´evoqu´e dans la partie 3.1.2. La conclusion de cette ´etude est que l’on ne peut pas utiliser des mod`eles d’´ecoulement simplifi´es pour ´etudier les rapports de forme h L 0,1. Cela nous a naturellement amen´es `a utiliser un mod`ele num´erique de type ´el´ements finis pour d´eterminer les efforts. Le code Abaqus n’a cependant pas ´et´e retenu, puisqu’il ne permettait pas de prendre en compte les effets capillaires, qui `a cette ´echelle ne sont pas n´egligeables, et nous avons donc d´ecid´e de r´ealiser notre propre code pour r´epondre au probl`eme pos´e.