R´esolutions lin´eaire et non-lin´eaire

La r´esolution du syst`eme pr´ec´edent se fait soit par inversion directe du syst`eme si le probl`eme est lin´eaire (viscosit´e constante), soit par la m´ethode du point fixe pour un probl`eme non lin´eaire. Une premi`ere r´esolution permet d’avoir un vecteur vitesse initial, qui permet de mettre `a jour la viscosit´e puis la matrice de rigidit´e Krig afin de commencer la boucle jusqu’`a

convergence. Cette m´ethode converge moins vite que des m´ethodes de type Newton ou quasi- Newton en termes de nombre d’it´erations, mais comme le calcul de la matrice tangente n’est pas n´ecessaire, le temps de calcul d’une it´eration est moins coˆuteux. Ainsi, la m´ethode du point fixe est globalement plus rapide, avec un bon taux de convergence sur l’ensemble des cas qui ont ´et´e trait´es.

La r´esolution du syst`eme nous donne le vecteur Vred, que l’on multiplie par la matrice de

passage Pred, puis par les matrices de rotation R θi pour r´ecup´erer le vecteur des vitesses

nodales dans le rep`ere global. Ces vitesses, avec les pressions nodales calcul´ees, permettent de calculer un certain nombre de grandeurs, comme les vitesses de d´eformations, les contraintes, les efforts r´esultants, la divergence du champ de vitesse, la puissance des efforts ext´erieurs, la puissance dissip´ee et la viscosit´e dans le cas non-lin´eaire. Le champ de vitesse permet ´egalement de mettre `a jour la g´eom´etrie pour avoir par exemple l’´evolution de la surface libre et des angles de contact en fonction du temps, mise `a jour qui est pr´esent´ee dans le chapitre suivant.

3.5

Conclusion

Ce chapitre a pr´esent´e les diff´erents points de vue qui ont ´et´e envisag´es dans la litt´erature pour mod´eliser le proc´ed´e de nanoimpression. Une comparaison d´etaill´ee, qui a fait l’objet d’une publication [67], a permis de comparer les mod`eles analytiques aux simulations num´eriques. Les r´esultats principaux de cette ´etude ont ´et´e pr´esent´es et ont montr´e que les mod`eles analytiques ne pouvaient pas ˆetre utilis´es pour les g´eom´etries que nous envisageons. Les limitations por- taient en particulier sur le calcul de la relation entre l’effort appliqu´e sur un motif et la vitesse d’impression, et nous avons conclu qu’il ´etait n´ecessaire d’utiliser des mod`eles plus complexes, ou des simulations num´eriques, pour simuler le proc´ed´e dans des conditions moins restrictives que ce qui se fait actuellement.

Le mod`ele retenu est celui de la m´ecanique des milieux continus, en d´eformation plane ou axisym´etrique, avec prise en compte des effets capillaires que sont la tension de surface et le mouillage du polym`eres sur le solide. Notre mod`ele pour la force appliqu´ee au point triple rejoint sur les travaux de Deganello [71] mais comporte une composante non nulle dans la direction normale au solide, ce qui n’avait pas ´et´e fait par [71], et nous avons montr´e qu’elle ´etait indispensable puisqu’elle contribuait `a l’effort r´esultant appliqu´e sur le solide dans l’exemple de la goutte qui peut tenir sur une surface tˆete en bas. On introduit ´egalement le glissement de Navier pour ´eliminer la singularit´e qui pourrait exister dans le cas d’un contact collant et du d´eplacement de la ligne de contact.

La m´ethode des ´el´ements naturels (C-NEM), qui permet la r´esolution num´erique des ´equa- tions d’´equilibre, regroup´ees dans une formulation variationnelle mixte, a ´et´e pr´esent´ee. Son utilisation pour r´esoudre un probl`eme de Stokes avec tension de surface avait d´ej`a ´et´e faite par

Defauchy et al. [87]. Notre approche est similaire `a celle de cet auteur, mais utilise l’astuce de Ruschak [78] pour ne pas calculer la courbure de l’interface au moment de l’int´egration de la tension de surface, et permet d’int´egrer naturellement les forces de mouillage aux points triples.

`

A cette nouveaut´e sont rajout´ees les forces de frottement dues au glissement de Navier, la prise en compte d’un comportement faiblement non-lin´eaire avec une m´ethode de r´esolution it´erative simple et l’´etude des probl`emes axisym´etriques.

Enfin nous avons montr´e qu’un assemblage particulier des matrices ´etait n´ecessaire, avec la projection des ´equations dans les rep`eres locaux des interfaces solide-fluide pour permettre la r´esolution du syst`eme, et la condensation du syst`eme matriciel pour effectuer des simulations `

a effort r´esultant impos´e, contribution non n´egligeable pour pouvoir simuler le proc´ed´e de nanoimpression dans des conditions proches des conditions exp´erimentales.

Chapitre 4

NanoNem, un outil de simulation

pour la nanoimpression

Les travaux pr´esent´es dans le chapitre pr´ec´edent nous permettent de calculer les champs de vitesse et de pression pour une g´eom´etrie `a un instant donn´e, et pour des conditions aux limites bien d´efinies. On souhaite alors utiliser le champ de vitesse calcul´e pour mettre `a jour la g´eom´etrie et simuler pas `a pas une impression. Nous avons donc mis en place un code de calcul, appel´e NanoNem, nous permettant de r´epondre `a ce besoin, mais nous avons ´egalement souhait´e que ce code puisse servir en dehors du contexte de cette th`ese, et ˆetre par exemple utilis´e par des chercheurs et ing´enieurs pour optimiser le proc´ed´e. Nous avons donc mis en place un cahier des charges regroupant les besoins des utilisateurs potentiels, r´edig´e une notice d’utilisation du code et propos´e des exemples de validation. Ces diff´erents documents nous ont permis de traiter deux composantes essentielles pour un logiciel, `a savoir la fiabilit´e (la solution calcul´ee est bonne) et la robustesse (le calcul aboutit toujours). La troisi`eme composante qui n’a pas ´et´e abord´ee est la performance (la rapidit´e du calcul), faute de temps et de comp´etences, mais les temps de calculs restent raisonnables avec des calculs de 1 heure `a quelques jours en fonction du probl`eme trait´e. Ce chapitre pr´esente donc dans une premi`ere partie le cahier des charges qui a motiv´e la cr´eation de NanoNem. Une seconde partie pr´esente le code et son environnement avec le logiciel de maillage et les interfaces homme-machine. Une troisi`eme partie pr´esente l’architecture de NanoNem. Enfin une quatri`eme partie pr´esente quatre exemples de validation du code.

4.1

Motivation et cahier des charges

Cette th`ese s’inscrivant dans un projet industriel, il nous semblait essentiel que les outils de simulation d´evelopp´es pendant ces trois ann´ees soient rendus accessibles aux autres chercheurs et ing´enieurs de l’entreprise. Nous avons donc ´etabli une liste de crit`eres techniques auxquels devait r´epondre NanoNem pour r´esoudre pas `a pas un probl`eme d’impression, mais ´egalement une liste de crit`eres ergonomiques permettant d’avoir un code de calcul le plus accessible et le plus robuste possible. D’un point de vue technique les crit`eres ´etaient de r´epondre au probl`eme pos´e dans le chapitre pr´ec´edent, `a savoir

– r´esoudre un probl`eme de Stokes en d´eformation plane ou en axisym´etrique avec une formulation mixte,

– prendre en compte des axes de sym´etrie et solides avec contact collant ou condition de glissement de Navier,

– prendre en compte un comportement rh´eofluidifiant avec la loi de Carreau, et – prendre en compte la variation de la viscosit´e avec la temp´erature.

Enfin on se limite `a un seul mat´eriau fluide ´eventuellement en contact avec de l’air `a pression constante. On se limite ´egalement au cas o`u le polym`ere, une fois en contact avec un solide, ne peut plus se d´ecoller.

La partie que nous souhaitons mettre en valeur ici sont les crit`eres ergonomiques pr´esent´es dans le tableau ci-dessous. Tous ces crit`eres ont ´et´e pris en compte pour la conception du code de calcul et quelques-uns sont explicit´es dans les parties suivantes.

Crit`ere Description Sp´ecification

Permettre d’´etudier une g´eom´etrie quelconque qui soit plane ou axisym´etrique

Pas de limitation sur la complexit´e de la section du motif

La fronti`ere ne doit pas pr´esenter d’angle sup´erieur `a 90˚ Permettre de prendre en

compte plusieurs solides

Les solides peuvent uniquement se translater

99 solides pris en compte au maximum

Avoir une proc´edure d’installation simple et multiplateforme

La compilation et

l’installation des fonctions utiles au code de calcul doivent se faire en une ´etape

Installation avec une commande unique sous Windows ou Unix Permettre le lancement de

plusieurs simulations en s´erie

Pouvoir charger plusieurs maillages `a l’ex´ecution de NanoNem

Pas de limite du nombre de simulations

Avoir un fichier interface qui permette d’interpr´eter le maillage pour NanoNem

Fichier texte .cnm comme interface homme-machine

Modifiable avec un ´editeur de texte Pouvoir simuler plusieurs

´etapes qui se succ`edent avec diff´erentes conditions aux limites en vitesse et en effort

On doit pouvoir simuler une impression avec par exemple un changement d’effort presseur

Pas de limitation du nombre d’´etapes

Pouvoir choisir un crit`ere d’arrˆet de la simulation en temps ou en espace

Si on ne connaˆıt pas la dur´ee de l’impression mais que l’on sait quelle ´epaisseur

r´esiduelle on veut atteindre, on doit pouvoir arrˆeter la simulation en surveillant la position d’un nœud

Crit`ere de temps, de translation d’un nœud suivant &x ou suivant &y

Crit`ere Description Sp´ecification Pouvoir g´erer le nombre de

sauvegardes par ´etape

2 sauvegardes minimum par ´etapes

Pourvoir modifier simplement l’´echelle de la simulation

Un mˆeme maillage doit pouvoir servir `a simuler le mˆeme probl`eme `a plusieurs ´echelles

Modification du fichier interpr´etation

Contrˆoler les densit´es de nœuds lors de l’´ecoulement

Les zones finement maill´ees dans la configuration initiale doivent le rester au cours de la simulation

Correction du champ des vitesses sur la fronti`ere et dans le domaine

Avoir deux fichiers journaux Suivre l’avancement du calcul, la date des

sauvegardes et les messages d’erreur de la simulation

Un fichier progression et un fichier simulation

Pouvoir extraire les r´esultats de calcul

Extraire l’historique d’une grandeur ou un champ `a un instant donn´e

Interface graphique et extraction sous forme de fichier .txt

Pouvoir faire un film des r´esultats

Film `a cadrage fixe ou mobile autour d’un nœud avec une ´echelle de couleur fixe

Fichier .avi non compress´e Pouvoir tracer un champ

scalaire `a un instant donn´e

Interface graphique avec s´election des r´esultats, du champ scalaire et de l’incr´ement de temps Enregistrer le chemin du maillage ou de la sauvegarde ´etudi´e(e) Faciliter la navigation de l’utilisateur Enregistrement centralis´e pour toute les fonctions Pouvoir r´ecup´erer et

exploiter les sauvegardes si la simulation est interrompue

Fonction de r´ecup´eration des donn´ees

Avoir une notice et des exemples de base

Dossiers contenant des exemples prˆets `a ˆetre simul´es

Exemples li´es `a la notice Calcul automatique de

l’incr´ement de temps

La stabilit´e de la simulation ne doit pas ˆetre r´egl´ee par l’utilisateur

L’utilisateur doit pouvoir acc´el´erer ou ralentir globalement le calcul