Application de la th´eorie de la lubrification aux couches minces

Polymère Moule Pression face arrière

écoulement parallèle

Substrat

Figure_{3.2 – Illustration des hypoth`eses de la th´eorie de la lubrification appliqu´ee `a la nanoim-} pression. Le champ de vitesse est suppos´e parall`ele `a la direction de l’´ecoulement.

Lorsque le polym`ere est confin´e entre le substrat et le moule, et que son ´epaisseur h est tr`es inf´erieure `a la largeur du motif L que l’on cherche `a imprimer comme illustr´e sur la figure 3.2, on peut supposer que le polym`ere s’´ecoule surtout parall`element au substrat lors de l’impression, ce qui correspond alors au r´egime de lubrification. Cette hypoth`ese sur le champ de vitesse permet d’´etablir la relation entre la variation de pression dans la direction de l’´ecoulement, l’´epaisseur du film, la vitesse de d´eplacement du moule et la viscosit´e du polym`ere. En 1874, les travaux de Stefan [57] qui consistaient `a d´eterminer la relation entre la force et la vitesse de s´eparation de deux plaques li´ees par un fluide visqueux aboutissent `a une premi`ere formulation, qui correspond `a la solution du probl`eme de lubrification axisym´etrique. Cette relation sera formalis´ee plus tard par Stokes [58] puis Rayleigh [59] en 1884 et 1885, avant de faire son apparition dans les ´etapes de dimensionnement des paliers lisses par Reynolds en 1886 [60].

Contrairement `a l’approche pr´ec´edente, cette relation pression-vitesse ne permet pas de d´eterminer la forme de la surface libre lors d’une impression, mais simplement la relation entre la vitesse d’impression, la force appliqu´ee sur le moule et les dimensions du film compress´e, dont on peut par exemple d´eduire le temps d’impression. Elle a l’avantage d’ˆetre plus simple `

a r´esoudre que les ´equations g´en´erales de la m´ecanique des fluides, et permet d’´etablir des mod`eles simplifi´es `a partir de solutions polynomiales, souvent similaires `a la loi de Stefan [57], que les auteurs adaptent en fonction des cas ´etudi´es sur la base d’observations exp´erimentales. La relation la plus simple s’´ecrit :

FL ηV

L h

3

(3.1) o`u FL est l’effort appliqu´e au motif, η la viscosit´e suppos´ee constante et V la vitesse d’im-

pression. Schulz et al. [18] en 2006 proposent une variante pour l’impression des motifs dont la largeur et la p´eriode sont grandes devant l’´epaisseur du film, comme illustr´e sur la figure 3.3a, o`u le polym`ere d´eplac´e de la r´egion A est suppos´e monter tr`es rapidement le long du flanc du

motif et remplir le moule de gauche `a droite sur le sch´ema. La relation s’´ecrit alors : FS ηV L h 3 ηV L h 3 <sub>D</sub> D h0 h 3 (3.2) o`u h0 est l’´epaisseur initiale du film et D la profondeur du moule, deux param`etres suppl´emen-

taires par rapport `a l’expression (3.1). Hsin and Young identifient en 2008 [61] un autre mode de remplissage pour les rapports de forme plus petits, o`u le polym`ere monte horizontalement dans la cavit´e comme illustr´e sur la figure 3.3b dans la zone B. La relation, non d´evelopp´ee ici, prend ne prend plus en compte la profondeur du moule D mais la p´eriode des motifs w.

Ces mod`eles de description des configurations dites confin´ees permettent de rendre compte de l’´evolution de certains param`etres tels que la vitesse d’impression, particuli`erement int´eres- sante pour nous, avec par exemple la prise en compte d’un ralentissement plus important pendant l’impression dans le cas 3.3a que dans le cas 3.3b o`u la longueur de contact L entre le polym`ere et la surface du moule tend `a augmenter. Cependant ils se limitent `a des rapports de forme h L tr`es petits devant 0,1.

b) L/2 W/2 D a) ho h L'/2 A W/2 c) W/2 2a A B

Figure _{3.3 – Illustration des modes de remplissage du moule identifi´es par Schulz et al. en} 2006 (a) et par Hsin et Young en 2008 (b) en fonction des rapports de forme du moule, et sch´ematisation d’un film structur´e par un cr´eneau puis effac´e par la tension de surface du polym`ere (c).

La relation pression-vitesse a ´et´e g´en´eralis´ee et elle permet de traiter des probl`emes tridi- mensionnels avec ´eventuellement des surface rugueuses. Dans le cas d’un contact collant elle s’´ecrit :

div h

3

12η∇p& ∆vz (3.3)

o`u h est l’´epaisseur du film de fluide, ∆vzla vitesse normale relative entre les deux solides et η la

viscosit´e. Cette ´equation a servi de point de d´epart `a deux ´etudes. La premi`ere est la simulation de l’impression de MEMS effectu´ee par Sirotkin et al. en 2006 [19], permettant d’obtenir les taux de remplissage locaux du moule ainsi que le temps d’impression. La deuxi`eme est une version am´elior´ee de la premi`ere, permettant en plus de prendre en compte les d´eformations du moule [62].

Cette ´equation a ´egalement ´et´e utilis´ee pour la simulation de l’effacement de motifs im- prim´es, pour une configuration dite support´ee, o`u le polym`ere n’est plus en contact avec un moule comme illustr´e sur la figure 3.3c. Le polym`ere est soumis `a de la tension de surface qui pr´edomine sur la pesanteur `a l’´echelle micro- ou nanom´etrique, et tend vers une configuration

d’´equilibre, o`u la surface libre est n´ecessairement un arc de cercle ou une droite (une droite dans le cas des films continus). Mod´eliser cet ´ecoulement a permis `a Orchard d`es 1962 [63] de calculer le temps n´ecessaire `a des marques de pinceaux laiss´ees sur une couche de peinture de s’effacer. Cette solution a ´et´e reprise et adapt´ee par Leveder et al. [20] et Rognin et al. [64] dans le cas de la nanoimpression pour mesurer la viscosit´e de films ultra-minces. Ces mesures r´ealis´ees pour des films support´es et confin´es ont montr´e que la viscosit´e d´ependait de l’´epaisseur dudit film en dessous d’une ´epaisseur de l’ordre de 20 fois le rayon de giration REE des macromol´ecules

[23]. Ces observations faites par Masson et Green [21] en 2002 et Bodiguel et Fretigny [22] en 2007 montrent ainsi une d´ependance du comportement `a la g´eom´etrie de l’´echantillon et une limite des mod`eles simplifi´es `a tr`es petite ´echelle. Mˆeme si les auteurs proposent des lois qui d´ependent de l’´epaisseur, les param`etres mat´eriau d´eduits de ces mod`eles sont des valeurs moyenn´ees qui ne rendent plus compte des m´ecanismes locaux. Cette limite d’exploitation est li´ee aux hypoth`eses de la m´ecanique des milieux continus, o`u le comportement du mat´eriau est suppos´e ind´ependant de la g´eom´etrie. Pour traiter plus finement de telles configurations une approche mol´eculaire doit ˆetre envisag´ee.