Formulation variationnelle faible

Les ´equations locales (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) et (3.13) pr´esentent deux difficult´es. La premi`ere ´etant les discontinuit´es du vecteur normal, aux points triples par exemple, qui n’apparaissent pas dans ces ´equations. Nous avons ici ´et´e capable de pr´esenter l’effort &fc qui

s’applique en ces points, mais sans donner la relation entre les contraintes `a l’interface et &fc.

Cette relation est difficile `a ´etablir et n´ecessite de d´efinir des tenseurs de contraintes superficielles comme propos´e par Gurtin et al. [75], et elle aurait eu un int´erˆet `a ˆetre pr´esent´ee uniquement si nous devions utiliser la formulation forte du probl`eme (avec uniquement des ´equations locales). La seconde difficult´e est l’ordre 2 de d´erivation du champ de vitesse pour satisfaire les ´equations (3.6b) et (3.7). Pour contourner cette difficult´e la m´ethode consiste `a se placer dans l’espace de Sobolev [76] pour ´etablir la formulation faible et de consid´erer l’´equation de conservation de l’´energie, appel´ee dans cet espace le principe des puissances virtuelles qui s’´ecrit :

&v, Pint σ, &v P_ext σ, &v 0 (3.14) o`u &v est une fonction de carr´e int´egrable aussi appel´ee champ test ou vitesse virtuelle qui a les mˆemes propri´et´es de continuit´e et d’admissibilit´e que le champ de vitesse &v que l’on cherche `a d´eterminer, hormis l’incompressibilit´e. Pint est la puissance virtuelle int´erieure g´en´er´ee par les

contraintes visqueuses calcul´ee sur le champ test et Pext la puissance virtuelle des efforts qui

s’appliquent sur la fronti`ere du domaine. La d´emonstration de l’´equivalence entre l’´equation (3.14) et l’´equation locale (3.6b) est admise et nous l’utilisons au mˆeme titre que Buscaglia et Ausas [77] pour mettre en œuvre nos ´equations.

En utilisant la notation Tr A.B A: B la puissance virtuelle int´erieure s’exprime de la mani`ere suivante :

Pint σ, &v

Ω

et la puissance virtuelle des forces ext´erieures de la fa¸con suivante (en l’absence de forces volumiques) : Pext σ, &v Γ &v.σ.&ndΓ Ci,Ji g &v. &fc (3.16)

o`u g vaut 1 dans le cas plan et r dans le cas axisym´etrique, et Γ Ω pour all´eger les notations. D´eterminer l’´equilibre quasi-statique du domaine d’´etude se r´esume alors `a r´esoudre l’´equation :

Ω σ: D &v dΩ Γ &v.σ.&ndΓ Ci,Ji g &v. &fc 0 (3.17)

L’int´egrale sur le bord Γ est d´ecompos´ee sur les diff´erents sous-ensembles :

Γ &v.σ.&ndΓ ΓA &v.σ.&ndΓ ΓS &v.σ.&ndΓ ΓF & v.σ.&ndΓ (3.18) et chaque terme peut alors ˆetre int´egr´e ind´ependamment avec les conditions aux limites. 3.2.4.1 Int´egration sur le volume

L’int´egrale sur le volume se d´eveloppe avec la relation de comportement (3.7) :

Ω

σ: D &v dΩ

Ω

2η γeq, T D &v : D &v pdiv &v dΩ (3.19)

Le premier terme du second membre est li´e aux dissipations visqueuses dues au cisaillement et le second terme au changement de volume et `a la pression hydrostatique du fluide.

3.2.4.2 Int´egration sur ΓA

On d´ecompose la vitesse virtuelle sur la base locale &t, &n pour appliquer la condition statique (3.9) :

ΓA

&v.σ.&ndΓ

ΓA

v_n.&n v_t.&t .σ.&ndΓ

ΓA

v_n.σnndΓ (3.20)

Comme &v est cin´ematiquement admissible, v_n est constant sur ΓA (pas de rotation de l’axe),

on peut donc le sortir de l’int´egrale. On d´efinit &FA l’effort r´esultant de l’axe de sym´etrie sur le

fluide. L’´equilibre des forces sur cet axe en projection suivant sa normale &n qui est constante s’´ecrit : & FA.&n ΓA σ.&ndΓ .&n ΓA σ_nndΓ . (3.21)

Les actions du fluide sont illustr´ee sur l’axe de gauche de la figure 3.9, avec σ.&n la contrainte appliqu´ee au fluide. On peut donc conclure que :

ΓA

&

ext

F

vSx v_Sz

σ

_nn

σ

_nn

σ

_nt

Figure _{3.9 – Illustration des contraintes normales et tangentielles qui engendrent un effort} vertical de r´eaction sur le solide (`a gauche) et des contraintes normales qui engendrent un effort horizontal sur un axe de sym´etrie (`a droite).

3.2.4.3 Int´egration sur ΓS

On applique la mˆeme d´emarche pour l’interface fluide-solide :

ΓS

&v.σ.&ndΓ

ΓS

v_n.&n v_t.&t .σ.&ndΓ

ΓS v_Sn.σnndΓ ΓS v_t.1 β vt vSt dΓ (3.23)

en appliquant les conditions (3.13). Contrairement `a l’axe de sym´etrie, la normale `a l’interface n’est pas constante et les efforts tangentiels dus aux frottements contribuent `a l’effort de r´eaction du polym`ere sur le moule comme illustr´e sur la figure 3.9. Cela impose de revenir au rep`ere global pour l’int´egration. On exprime les vitesses normales et tangentielles en fonction du vecteur vitesse &vS du solide, qui a l’avantage d’ˆetre constant sur toute la fronti`ere `a un instant

donn´e. On a alors v_Sn &v_S.&n et vSt &vS.&t. Comme pour l’axe de sym´etrie, on d´efinit l’effort

de l’ext´erieur sur le solide (autre que le polym`ere) et on ´ecrit l’´equilibre du solide avec &n la normale entrante au fluide :

& Fext

ΓS

σ.&ndΓ F&_ext

ΓS

σ_nn.&n σ_nt.&t dΓ 0

ΓS

σ_nn.&ndΓ F&_ext

ΓS

σ_nt.&tdΓ F&_ext

ΓS

1

β vt vSt .&tdΓ

(3.24)

En utilisant cette relation dans l’´equation (3.23) il vient alors :

ΓS

&v.σ.&ndΓ &v_S. F&ext ΓS

1

β vt vSt &tdΓ _ΓS 1

βvt vt vSt dΓ (3.25) &v_S. &Fext

ΓS

1

β &v &vS .&t &v &vS .&t dΓ (3.26) &v_S. &Fext

ΓS

1

β &v &vS .&t &t. &v &vS dΓ (3.27) o`u &t &t titj. Le premier terme correspond `a la puissance fournie au solide par l’ext´erieur et

le second `a la puissance dissip´ee par frottement `a l’interface. On retrouve ici le cas du contact parfaitement glissant lorsque β tend vers l’infini avec la puissance dissip´ee par frottement qui tend vers 0. Lorsque β tend vers 0, le r´esultat est moins ´evident sous cette forme, mais comme v tend vers &vS, le quotient tend vers une valeur finie, qui est la puissance dissip´ee par un

3.2.4.4 Int´egration sur ΓF

La derni`ere int´egrale se d´ecompose suivant les efforts dus `a la tension de surface et ceux dus `a la pression ext´erieure suppos´ee constante avec l’´equation (3.10) :

ΓF &v.σ.&ndΓ ΓF γ κ &v.&ndΓ ΓF p0&v.&ndΓ (3.28)

Comme notre ´etude est limit´ee `a celle d’une section, nous d´ecomposons la courbure totale en une courbure dans le plan κp et une courbure hors plan κhp qui vaut 0 dans le cas plan et 1 r

dans le cas axisym´etrique. κp est d´evelopp´ee en utilisant la formule de Ruschak [78], ce qui

´evite d’avoir `a calculer explicitement la courbure de l’interface :

κp&ndΓ gd&t (3.29)

o`u g vaut toujours 1 dans le cas plan et r dans le cas axisym´etrique. On obtient alors :

ΓF

γ κ &v.&ndΓ γ

ΓF

g &v.d&tdΓ γ g &v.&t _Γ

F γ

ΓF

&t. grad&v .&tdΓ (3.30)

Ci,Ji

ε γ g &v.&tF P_tens/loc

γ

ΓF

&t. grad&v .&tdΓ (3.31)

Toutes les int´egrales ont ´et´e d´evelopp´ees `a l’aide des conditions aux limites introduites dans la partie 3.2.3. Avant de pr´esenter la formulation finale, on effectue un regroupement pour ´eliminer les termes qui s’annulent. La somme P_tens/loc de la relation pr´ec´edente et la somme de la relation (3.17) se simplifient en remarquant que &v &v_S aux points triples et en utilisant la formule (3.12) : Ci,Ji ε γ g &v.&tF Ci,Ji g &v. &fc Ci,Ji

g&v. ε γ &tF f&c (3.32) 3.12

Ci,Ji

ε γ cos θS vSt (3.33)

Ci

ε γ cos θS vSt (3.34)

3.2.4.5 Formulation Variationnelle compl`ete

En regroupant les d´eveloppements (3.19),(3.22),(3.27),(3.28),(3.31) et (3.34) on obtient la formulation variationnelle faible de notre probl`eme d´efinie par la fonction L :

v, L &v, p, &v

Ω

2η γeq, T D &v : D &v pdiv &v dΩ &vn.FAn &vS. &Fext

ΓS

1

β &v &vS .&t &t. &v &vS dΓ _ΓFp0&v.&ndΓ γ

ΓF

&t. grad&v .&tdΓ

Ci

εγcos θS vSt 0

Cette formulation, similaire `a celle trouv´ee par Buscaglia et Ausas [77] pour traiter le mˆeme genre de probl`eme, ne prend pas en compte l’incompressibilit´e de l’´ecoulement donn´ee par l’´equation (3.7a). Pour l’int´egrer dans notre probl`eme, on applique la mˆeme d´emarche que pr´ec´edemment avec le champ des vitesses virtuelles mais pour un champ de pression, en d´efinissant la forme lin´eaire Q :

p, Q &v, p

Ω

pdiv &v dΩ 0

Le probl`eme initial est donc ramen´e `a la recherche d’un couple v, p tel que, quel que soit le couple des champs virtuels v, p admissible on ait :

A &v, p, &v, p L &v, p, &v Q &v, p 0 (3.36) o`u A est d´efinie `a partir des fonctions L et Q.

Dans le document Simulation du procédé de nanoimpression thermiquesur silicium revêtu d’un film polymère ultramince (Page 51-55)