Conditions aux limites ` a l’´echelle nanom´etrique

Le long de la fronti`ere Γ du fluide, diff´erentes conditions aux limites s’appliquent sur les ensembles ΓA,ΓF,ΓS, mais ´egalement `a leurs intersections Ci, Ji. On pr´esente les conditions

cin´ematiques et statiques sur les axes de sym´etrie, puis sur les surfaces libres et aux points triples, et enfin `a l’interface polym`ere-solide.

3.2.3.1 Conditions sur les axes de sym´etrie

Sur les axes de sym´etrie on rencontre deux conditions aux limites. La premi`ere impose la non p´en´etration du fluide `a travers l’axe et est une condition sur les vitesses :

o`u &vA est la vitesse de d´eplacement de l’axe de sym´etrie, tr`es souvent ´egale `a &0. La deuxi`eme

est une condition en effort, qui traduit l’absence d’efforts de cisaillement le long de l’axe (le polym`ere peut y glisser librement) et elle s’´ecrit :

&t.σ.&n 0 (3.9)

3.2.3.2 Conditions sur la surface libre

La surface libre est soumise `a la tension superficielle, ce qui en fait une surface singuli`ere, i.e, o`u il existe des discontinuit´es. Tr`es pr`es de la surface libre, on peut avoir des pressions diff´erentes de part et d’autre de l’interface, diff´erence compens´ee par l’´energie de surface. Ce saut de contrainte `a l’interface que l’on rencontre dans tous les probl`emes `a plusieurs phases a ´et´e ´etudi´e par Gibbs [69] et peut ˆetre pris en compte dans des mod`eles continus en utilisant des conditions d’´equilibre aux limites appropri´ees. Dans notre cas on utilise l’´equation de Laplace qui donne une relation entre le vecteur contrainte σ.&n, la pression ext´erieure p0, l’´energie de

surface γ et la courbure de l’interface κ :

σ.&n γκ p₀ .&n (3.10) t C S tF solide en équilibre Polymère fc θ_S C θ solide hors équilibre Polymère θS a) b) fc tS tF

Figure _{3.7 – Sch´ema de la force concentr´ee &fc qui s’applique au point triple C. Cette force,} repr´esent´ee `a l’´equilibre (a) et hors ´equilibre (b), r´esulte des ´energies de surface du solide et de l’air sur le polym`ere et ne d´epend que des l’angles θ et θS. l’angle statique est d´etermin´e par la

position d’´equilibre du polym`ere en l’absence d’´ecoulement forc´e.

3.2.3.3 Conditions aux points triples

Aux points Ci sur la figure 3.6, ou au point C sur la figure 3.7, la surface libre du polym`ere

entre en contact avec un solide. En ces points, le vecteur tangent ´etant discontinu, on d´efinit un angle de contact θ et une force concentr´ee qui correspond `a la somme des forces capillaires s’appliquant sur le point triple :

&

fc ε γ&tF γSO γSL &tS en Ci (3.11)

En supposant les ´energies de surface solide-air (γSO) et solide-liquide (γSL) constantes, on peut

utiliser la formule de Young [70], et se ramener `a l’expression suivante : &

o`u θS repr´esente l’angle de contact statique, qui est obtenu lorsque le polym`ere est `a l’´equilibre.

Dans la d´efinition pr´ec´edente, ε vaut 1 si &tF est dirig´e `a l’int´erieur de ΓF (points C1, C3 sur la

figure 3.6 et points C sur la figure 3.7), et 1 sinon. Habituellement cette force est r´eduite `a sa composante tangente au solide qui vaut z´ero lorsque &tF.&tS cos θS . Cela laisse l’angle

de contact stable en absence d’´ecoulement forc´e (figure 3.7a), sinon &fc tend `a mouvoir le point

triple de fa¸con `a ce que cet angle se rapproche de l’angle de mouillage statique (figure 3.7b). Dans notre expression on introduit implicitement une composante normale au solide, qui vaut γsin θ , et qui est visible sur les figures 3.7a et b. Cette composante, qui n’a pas besoin d’ˆetre prise en compte si les conditions aux limites sur le solide est une vitesse impos´ee, est essentielle si un effort est impos´e sur le solide, cas qui nous int´eresse. Habituellement on omet cette composante normale qui fait pourtant qu’une goutte peut tenir sur une surface tˆete en bas.

Cette approche est similaire `a celle d´evelopp´ee par Deganello et al. [71], `a la diff´erence que notre force concentr´ee ne d´epend que de θ et non de la vitesse du point triple, des param`etres d’angles dynamiques d’avance ou de recul, ou encore d’une tension de surface fonction de la position sur la surface libre. Cette fa¸con simple d’introduire le mouillage permet de ne pas utiliser le mod`ele ´elabor´e de Shikhmurzaev [72] avec une tension de surface dynamique ou une expression complexe de la force concentr´ee propos´ee par [71]. Dans notre cas, l’angle obtenu r´esultera simplement de la comp´etition entre la force de mouillage &fc et les forces de frottement

sur le solide (pr´esent´ees ci-apr`es). Avec cette formulation, comme cela ´etait pr´evu, il n’y a pas de singularit´e dans les configurations d’´equilibre, mais il y en a une dans les configurations hors ´equilibre (o`u l’angle dynamique est diff´erent de l’angle statique) induite par la force concentr´ee, et se manifeste par une pression ´elev´ee au point triple.

Cette mˆeme force s’applique aux points Ji (intersection d’un axe de sym´etrie et de la surface

libre), mais avec n´ecessairement θS π 2. On a donc &fc εγ&tF qui est la simple manifestation

de la tension de surface (force capillaire γ de part et d’autre de la coupure). Cette force tend ainsi `a maintenir un angle de 90˚ entre la surface libre et les axes de sym´etrie.

3.2.3.4 Sur l’interface polym`ere-solide

air b θ fluide solide V_fluide tS tF

Figure _{3.8 – Illustration de la longueur de glissement de Navier b, d´efinie par la tangente au} profil des vitesses `a l’interface fluide-solide.

Le d´eplacement de la ligne triple soul`eve un probl`eme de condition aux limites `a l’interface polym`ere-solide. La formulation propos´ee ci-dessus impose un effort au point triple. Pour que le probl`eme soit bien pos´e, la vitesse de ce point ne peut pas ˆetre impos´ee, et cela suppose que le point triple glisse, au moins partiellement, sur le solide. On est confront´e ici aux probl`emes de d´eplacement d’une ligne de contact, bien connus dans la litt´erature (voir Shikhmurzaev [72] pour une ´etude exhaustive), o`u la condition usuelle de contact collant `a l’interface fluide-solide implique une singularit´e non-int´egrable en pression aux points de contact comme le montrent

Huh et Scriven [73]. La proc´edure standard permettant de la rendre int´egrable consiste `a utiliser une condition de glissement comme Hocking [74]. Sur tous les points du fluide en contact avec un solide rigide, on utilise une condition de Robin (relation lin´eaire entre la vitesse et sa d´eriv´ee sur la fronti`ere, aussi appel´ee condition de Fourier), et plus particuli`erement ici la condition de glissement de Navier, qui s’´ecrit :

&

n. &v &vS 0 a et &t. &v &vS β &t.σ.&n b sur ΓS (3.13)

o`u &vS repr´esente la vitesse du solide, et β un coefficient de glissement. a traduit la condition

de non p´en´etration du fluide dans le solide comme pour les axes de sym´etrie, et b introduit un coefficient de glissement β entre les contraintes de cisaillement et le diff´erentiel de vitesse polym`ere-solide. Si le comportement est newtonien, avec une viscosit´e constante η, choisir β est ´equivalent `a choisir une longueur de glissement b β.ηillustr´ee sur la figure 3.8. Cela n’est plus n´ecessairement vrai lorsque la viscosit´e varie, pour un comportement rh´eofluidifiant par exemple o`u l’on a le choix de laisser b ou β constant. De fa¸con ´evidente, on retrouve la condition de contact collant quand β 0 et une condition de glissement parfait quand β .

Pour r´esumer, on cherche un champ de vitesse &v qui v´erifie l’ensemble des conditions cin´ematiques pr´ec´edentes (le champ est alors dit cin´ematiquement admissible), un champ de contraintes σ v´erifiant les conditions statiques (il est alors dit statiquement admissible), tels que ces deux champs v´erifient la relation de comportement (3.7).