Validation des indicateurs d’erreurs

Les indicateurs d´evelopp´es dans la section pr´ec´edente sont ainsi test´es sur la machine synchrone 2D pr´esent´ee dans la section 1.3.3, pour deux types d’essais. Le maillage a lui ´et´e pr´esent´e dans la figure 1.18. Le premier reprend un essai en charge `a vitesse constante, sur deux p´eriodes m´ecaniques, tandis que le second simule un d´emarrage du g´en´erateur en charge. Dans les deux premiers cas, la vitesse de rotation sera impos´ee (c’est-`a-dire, on ne prend pas en compte le couplage m´ecanique). Ainsi, on sera en mesure d’´evaluer la pr´ecision du mod`ele r´eduit et des diff´erents indicateurs sans avoir `a prendre en compte un quelconque d´ecalage de la position du rotor entre le mod`ele EF et r´eduit3.

Ainsi, on prend θ_rk= θk, avec θkcalcul´e avec le mod`ele EF, au lieu d’utiliser l’´equation de couplage m´ecanique (3.9). Un troisi`eme exemple avec couplage m´ecanique et ´electrique sera lui pr´esent´e dans la section 3.3.5. Cette fois-ci le d´ecalage entre les deux mod`eles sera pris en compte.

Afin de d´eterminer les snapshots lin´eaires S et non lin´eaires T, l’approche Offline/Online a ´et´e appliqu´ee (voir section 3.2.1). En particulier, une simulation `a vide, et une autre en court-circuit sur 122 pas de temps et correspondant `a une p´eriode m´ecanique ont ´et´e utilis´ees afin de d´eterminer une base de snapshots suffisamment repr´esentative. Du fait des essais bas´es sur les connaissances de l’ing´enieur, cette base r´eduite est cens´ee pouvoir prendre en compte n’importe quelle charge ´equilibr´ee au stator4.

3.3.4.1 Machine synchrone 2D `a vitesse de rotation constante

Sur le premier exemple, le rotor est entraˆın´e `a vitesse constante (sans couplage m´ecanique donc) et la simulation est effectu´ee sur deux p´eriodes m´ecaniques correspondant `a 103 pas de temps, pour une dur´ee de simulation totale T = 0,23s. La charge au stator est ´equilibr´ee et compos´ee dans chaque branche d’une r´esistance R et d’une inductance L d’une valeur respective de 5kΩ et 2H respectivement. Au rotor, l’excitation est de 24kA.tr menant `a une forte saturation du mat´eriau ferromagn´etique.

La figure 3.15 pr´esente la valeur des 3 indicateurs d’erreurs introduits dans cette section, ainsi que k, l’erreur relative issue de la comparaison de la solution EF X et de ˜X obtenu avec le mod`ele r´eduit. Sur cet exemple, λet Jsont calcul´es tous les 10 pas de temps afin de ne pas trop impacter le temps de calcul. Temps (s) Err eur r ela ve EF log1 0

Figure 3.15 – ´Evolution des indicateurs d’erreur pour une machine synchrone tournant `a vitesse synchrone

3. En effet, le couplage m´ecanique permet de calculer la position du rotor, en fonction de l’´etat magn´etique du syst`eme

(1.172). Ainsi, un ´etat magn´etique approch´e par le mod`ele r´eduit induit une certaine erreur sur l’´equation m´ecanique, et

peut donc mener `a un d´ecalage de la position du rotor entre les deux mod`eles

4. En r´ealit´e, cette m´ethodologie a d´ej`a ´et´e approuv´ee et valid´ee dans notre article [86], mais il s’agit ici de valider

Estimation d’erreur 135

La figure 3.15 montre que l’indicateur bas´e sur la Jacobienne J est conforme `a nos attentes, tr`es proche de la v´eritable erreur  pour les points calcul´es. Les indicateurs λet Rsemblent respectivement s´epar´es de l’erreur par des facteurs multiplicatifs respectifs d’environ trois et cinq ordres de grandeurs (on est en ´echelle log, un facteur multiplicatif constant se traduisant donc par un palier fixe). Puisque la complexit´e calculatoire de λ est quasiment ´equivalente `a celle de J, pour une borne d’erreur visiblement bien trop haute compar´ee `a nos attentes, on d´ecide de ne pas retenir λ par la suite.

Enfin, la figure 3.16 pr´esente l’histogramme du ratio ξ = _J entre la v´eritable erreur  et l’estimateur J, `a partir des 100 valeurs de l’indicateur calcul´e. On voit que celui-ci est majoritairement tr`es proche de 1, et reste compris entre 0,5 et 5, ce qui nous encourage `a garder J en tant que repr´esentant de l’erreur, malgr´e un coˆut de calcul assez important.

0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figure 3.16 – Histogramme pr´esentant la r´epartition du ratio ξ = _J calcul´e pour 100 valeurs

3.3.4.2 Machine synchrone 2D `a vitesse de rotation variable

Les deux indicateurs d’erreur restants, J et R vont `a pr´esent ˆetre test´es sur un cas test simulant le d´emarrage de la machine. Cependant, on ne prend toujours pas en compte le couplage m´ecanique dans le mod`ele r´eduit : la mont´ee en vitesse a ainsi ´et´e calcul´ee grˆace au mod`ele de r´ef´erence EF, puis a ´et´e inject´ee dans le mod`ele r´eduit. L’id´ee est ici de pouvoir comparer l’erreur entre les deux mod`eles pour un exemple `a vitesse variable, sans avoir `a prendre en compte le d´ephasage du rotor entre le mod`ele r´eduit et le mod`ele EF. La mont´ee en vitesse du rotor est pr´esent´e dans la figure 3.17

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 V itesse de r otation (T r/m in) Temps (s)

La simulation a ´et´e r´ealis´ee ici sur 104 _{pas de temps correspondant `a une dur´ee totale de simulation} de T = 5s. Cette fois-ci on a gard´e une r´esistance de valeur R = 5kΩ et une excitation de 24 kA.tr, mais l’inductance est d´esormais consid´er´ee nulle : L = 0H.

En prenant en compte le calcul des snapshots, le speedup obtenu sur cette simulation est d’environ 15. La figure 3.18 pr´esente les ´evolutions des deux indicateurs et de l’erreur au cours du temps. L`a encore, le calcul de J a ´et´e r´ealis´e tous les 10 pas de temps afin de ne pas trop impacter le temps de calcul. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10−5 100 Temps (s) Err eur r ela ve EF log1 0

Figure 3.18 – ´Evolution des indicateurs d’erreur au d´emarrage de la machine

On observe des r´esultats tr`es similaires au premier cas de figure : l’indicateur J est tr`es proche de l’erreur , et R est lui encore s´epar´e de l’erreur par un facteur multiplicatif semblant relativement constant.

Enfin, la figure 3.19 pr´esente l’histogramme du ratio ξ = _J calcul´e sur 1000 points au cours de la simulation. On voit que l`a encore, le ration est tr`es proche de 1 en d´ecroissant exponentiellement, ce qui nous permet de valider l’indicateur d’erreur J.

0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Figure 3.19 – Histogramme pr´esentant la r´epartition du ratio ξ = _J calcul´e pour 100 valeurs