1.3 Exemple
1.3.3 Probl` eme Magn´ etosatique non lin´ eaire coupl´ e circuit avec mouvement
La figure 1.18 pr´esente le maillage associ´e `a une machine synchrone triphas´ee `a deux paires de pˆoles, en fonctionnement g´en´erateur. Le rotor et le stator sont compos´es de mat´eriaux ferromagn´etiques non lin´eaires. Les quarante-huit encoches bobin´ees au stator sont coupl´ees `a trois circuits ´equilibr´es compos´es d’une r´esistance R et d’une inductance L variable. L’inducteur au stator est aliment´e par un g´en´erateur de courant continu d’amplitude i0. Finalement, le rotor sera mis en mouvement par un couple d’entraˆınement ΓM.
Figure 1.18 – Maillage de la machine synchrone
Les caract´eristiques des diff´erents domaines pr´esents dans la machine synchrone sont les suivantes : 1. Mat´eriaux ferromagn´etiques au rotor et au stator
— Perm´eabilit´e magn´etique non lin´eaire µB(B) repr´esent´ee dans la figure 4.65 de l’annexe B.1.
2. Entrefer
— Perm´eabilit´e magn´etique µ0 3. Inducteur au rotor
— Perm´eabilit´e magn´etique µ0 — ns,r = 200 spires
— Coupl´e `a un g´en´erateur de courant continu i0 4. Trois phases au stator
— Perm´eabilit´e magn´etique µ0 — ns,s = 100 spires
— Coupl´es `a trois r´esistances variables ´equilibr´ees R et trois inductances variables ´equilibr´ees Enfin, la figure 1.19 repr´esente le couplage de la machine avec son environnement ´electrique et m´ecanique, en fonctionnement g´en´erateur.
1.3.3.1 Mod´elisation EF
Les conditions aux limites sur le bord du domaine sont ΓB = ∂D, tandis que l’on magn´etise la ma- chine `a l’´etat initial. D’un point de vue num´erique, cela revient `a r´esoudre le probl`eme magn´etostatique non lin´eaire `a vide pour la position initiale du rotor. Ici, le probl`eme g´en´erique (1.171–1.172) d´ecrit exactement la machine synchrone, et il s’agira alors de :
MS
Figure 1.19 – Couplage de la machine synchrone avec son environnement ´electrique et m´ecanique
Trouver Xk∈ RN tel que K τ + Mθ(θ k) + M(Xk) Xk= CUk+K τ X k−1, k = 1, . . . ,N t (1.195)
et trouver (θk+1,Ωk+1) ∈ R2 tel que Ωk+1 = 1 −τ fM JM Ωk+ τ JM ΓB(Xk) + ΓM θk+1= θk+ τ Ωk+1. , k = 0, . . . ,Nt− 1 (1.196)
Ici, Xk consiste en la concat´enation de Xk
A et des 3 courants dans les phases du stator ik1, ik2 et ik3. Les grandeurs globales que nous regarderons sur cet exemple seront en particulier
1. Les courants au stator :
ij(tk), j = 1, . . . ,3. (1.197)
2. Les flux magn´etiques dans les phases du stator, ainsi que les f.e.m. associ´ees :
Φj(tk) = FtjXA, j = 1, . . . ,3, (1.198) ej(tk) = ∂tΦj(tk), j = 1, . . . ,3, (1.199)
avec Fj ∈ RNa la discr´etisation du vecteur densit´e de spires de la j`eme phase au stator. 3. Le couple ´electromagn´etique :
ΓB = XtAMΓXA (1.200)
1.3.3.2 Influence de la complexit´e
Le tableau 1.3 repr´esente l’influence du temps de calcul lorsque le nombre d’inconnues N , le nombre de pas de temps Nt, et le courant d’excitation au rotor i0 varient. Le calcul de r´ef´erence est fait avec N = 11784, Nt= 120 et i0= 5 A.
Exemple 49
Table 1.3 – Temps de calcul associ´e `a la simulation du probl`eme magn´etostaque non lin´eaire
Temps (s) Nnl Rapport / R´ef
R´ef´erence 908 3 1
N ⇒ 2N 3204 3 3,5
Nt⇒ 2Nt 1810 3 2
i0⇒ 2i0 2148 7 2,3
La complexit´e est dans le cas d’un probl`eme non lin´eaire en O Nt· Nnl· Nenl+ κ(N ) · N. On retrouve le mˆemes conclusions que pour l’exemple pr´ec´edent du transformateur triphas´e non lin´eaire : la complexit´e ´evolue lin´eairement avec le nombre de pas de pas de temps, et de fa¸con super-lin´eaire avec le nombre d’inconnues. Enfin, doubler l’amplitude de l’excitation rotorique joue sur le nombre moyen d’it´erations dans la boucle non lin´eaire Nnl, ce qui impacte le temps de calcul.
M´ethodes de r´eduction appliqu´ees `a
des probl`emes acad´emiques lin´eaires
La M´ethode des ´El´ements Finis (MEF) permet donc de mod´eliser des dispositifs ´electrotechniques constitu´es de mat´eriaux ferromagn´etiques non lin´eaires, tels que les transformateurs ou les ma- chines tournantes. De plus, il est possible de prendre en compte leur environnement ´electrique et m´ecanique. La MEF poss`ede surtout une propri´et´e pr´ecieuse pour l’ing´enierie : son erreur de discr´etisation peut ˆetre rendue arbitrairement petite `a mesure que le maillage du domaine est raffin´e. En d’autres termes, la solution ´El´ements Finis tend vers la solution exacte du probl`eme de d´epart lorsque le nombre d’inconnues augmente. La complexit´e augmentant de fa¸con super- lin´eaire avec la taille du syst`eme, elle peut alors devenir tr`es importante pour des cas d’application industriels, avec des simulations pouvant durer plusieurs semaines. Les m´ethodes de r´eduction de mod`eles semblent donc tr`es int´eressantes car elles permettent de diminuer radicalement le temps de calcul en r´eduisant le nombre d’inconnues.
Apr`es avoir introduit quelques outils math´ematiques utiles pour la suite, ce deuxi`eme chapitre pr´esentera les m´ethodes de r´eduction permettant de r´eduire le nombre d’inconnues d’un syst`eme lin´eaire. On distinguera en particulier les m´ethodes a posteriori n´ecessitant des informations pr´ealables sur le mod`ele EF avant de le r´eduire, et les m´ethodes a priori qui peuvent ˆetre vus comme des algorithmes automatiques. Enfin, ces approches seront compar´ees sur un probl`eme 2D de magn´etodynamique lin´eaire en termes de pr´ecision et de temps de calcul.
Par ailleurs, les m´ethodes de r´eduction ´etant relativement r´ecentes et pr´esent´ees majoritaire- ment dans la langue de Shakespeare, nous utiliserons dans ce m´emoire leur nom anglais afin de ne pas ´egarer le lecteur averti.
2.1
Outils
Cette premi`ere section de ce deuxi`eme chapitre vise `a pr´esenter quelques outils math´ematiques, utiles pour l’introduction de plusieurs m´ethodes de r´eduction de mod`eles. En particulier, nous d´etaillerons la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres (SVD en anglais) que l’on retrouve dans la Proper Orthogonal Decomposition (POD) et la (Discrete) Empirical Interpolation Method (DEIM) notamment. Ensuite la projection de Galerkin utilis´ee par de nombreuses m´ethodes de r´eduction sera abord´ee, ainsi que la notion de norme canonique et ´energ´etique associ´ee `a l’inconnue discr´etis´ee.
Outils 51