Ce dernier chapitre a ´et´e l’occasion d’utiliser la r´eduction de mod`eles afin de r´esoudre des probl`emes pos´es dans l’industrie. Les deux exemples de machine trait´es sont de nature diff´erente, l’un est issu d’un probl`eme magn´etostatique non lin´eaire tandis que l’autre est un probl`eme magn´etodynamique lin´eaire. N´eanmoins, quelques enseignements peuvent en ˆetre tir´es.
Premi`erement, la r´eduction de mod`eles par projection permet d’acc´el´erer fortement un calcul lorsque le syst`eme de d´epart a un tr`es grand nombre d’inconnues. Ainsi, le speedup obtenu avec la MAS, poss´edant environ 500 inconnues ne d´epasse pas 17 tandis que la MSAP permet d’obtenir un speedup allant jusqu’`a 1400. En effet, le maillage de la MSAP m`ene `a un syst`eme EF de 700000 inconnues tandis que son ´equivalent r´eduit ne poss`ede pas plus d’une cinquantaine d’inconnues. Au contraire, la r´eduction de mod`eles permet seulement de passer de 5500 inconnues `a 150 pour le probl`eme r´eduit de la MAS.
Deuxi`emement, l’approche Offline/Online qui consiste `a d´ecoupler la construction du mod`ele r´eduit de son utilisation peut permettre un gain de temps consid´erable. En effet, dans chacun des deux exemples trait´es, un seul mod`ele r´eduit a ´et´e utilis´e `a chaque fois. Ainsi, la r´eduction de mod`eles peut ne pas ˆetre particuli`erement efficace pour acc´el´erer directement un probl`eme (voir essai `a rotor bloqu´e), mais permet une acc´el´eration consid´erable si l’on parvient `a construire un mod`ele r´eduit valable pour diff´erentes valeurs de param`etres (la charge ´electrique pour la MSAP et la vitesse de rotation pour la MAS).
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jusque l`a, ´etaient beaucoup trop coˆuteux `a r´esoudre avec la MEF. Ainsi, la simulation du d´emarrage d’une machine tournante qui en ordre de grandeur, pouvait prendre jusqu’`a un an de temps de calcul peut ˆetre r´eduit `a un peu plus d’une journ´ee de calcul, calcul des snapshots compris.
Les travaux pr´esent´es dans ce m´emoire ont concern´e l’application des m´ethodes de r´eduction de mod`eles aux probl`emes d’´electromagn´etisme basse fr´equence, dans le but d’obtenir des mod`eles rapides, robustes et pr´ecis de dispositifs utilis´es dans l’´electrotechnique. En particulier, l’objectif principal de cette th`ese a ´et´e d’´etendre l’application de ces m´ethodes au cas de machines ´electriques compos´ees de mat´eriaux ferromagn´etiques non lin´eaires et o`u la rotation doit ˆetre prise en compte de fa¸con efficace au sein du mod`ele r´eduit. Enfin, un des enjeux notables a ´et´e la prise en compte avec le mod`ele r´eduit de l’environnement ´electrique et m´ecanique du dispositif ´etudi´e. Cette th`ese a ´et´e effectu´ee dans le cadre du LAMEL, laboratoire commun entre le L2EP et EDF R&D, et vise donc `a appliquer les outils d´evelopp´es sur des cas d’application industriels.
Nous avons dans un premier temps pr´esent´e la mod´elisation par ´el´ements finis des probl`emes d’´electromagn´etisme basse fr´equence. Ceux-ci sont r´egis par les ´equations de Maxwell en r´egime quasi- statique. Pour ce faire, la formulation en potentiels A − φ a ´et´e utilis´ee. La prise en compte de sous- domaines en mouvement a ´et´e rendue possible grˆace `a la m´ethode Overlapping [34], qui a l’avantage de se coupler naturellement avec les m´ethodes de r´eduction. Enfin, la prise en compte de l’environnement ´
electrique et m´ecanique a ´et´e pr´esent´ee. En particulier le couple ´electromagn´etique a ´et´e calcul´e par la m´ethode des travaux virtuels [21], laquelle s’adapte ´egalement aux m´ethodes de r´eduction par projection.
Ensuite, l’application des m´ethodes de r´eduction `a des probl`emes magneto-quasistatiques acad´emiques a ´et´e pr´esent´ee. Ainsi, les non-lin´earit´es et le mouvement ont ´et´e n´eglig´es dans un premier temps. Le domaine de la r´eduction de mod`eles ´etant particuli`erement dynamique depuis une quinzaine d’ann´ee, de nombreuses m´ethodes ont ´et´e propos´ees dans la litt´erature. Nous avons choisi de comparer celles qui sont les plus r´epandues et ´eprouv´ees, `a savoir, la POD, la CVT, la PA, la BPOD, la PGD et la m´ethode RB. Ces approches peuvent alors se classer en deux cat´egories. La premi`ere regroupe les m´ethodes dites a posteriori pour lesquelles des calculs pr´eliminaires, les snapshots, sont n´ecessaires afin de r´eduire le mod`ele EF. Au contraire, les m´ethodes a priori sont des algorithmes automatiques qui, grˆace `a des approches gloutons, permettent d’enrichir it´erativement le mod`ele r´eduit jusqu’`a ce que l’on obtienne une pr´ecision suffisante. Les diff´erentes m´ethodes ont ainsi ´et´e compar´ees sur un exemple 2D issu d’un probl`eme magn´etodynamique. Bien que les temps de calcul, la pr´ecision et la difficult´e d’impl´ementation varient en fonction des m´ethodes, la majorit´e des approches ont permis d’obtenir des r´esultats pr´ecis et robustes sur ce probl`eme d’´electromagn´etisme basse fr´equence acad´emique.
Afin de traiter des probl`emes industriels, il faut cependant que les m´ethodes de r´eduction per- mettent de prendre en compte d’une part le mouvement du rotor, mais aussi le comportement non lin´eaire des mat´eriaux ferromagn´etiques. Or ce dernier ´el´ement pose bien souvent des difficult´es avec les m´ethodes de r´eduction pr´esent´ees dans le second chapitre. D’une part, certaines m´ethodes se couplent difficilement avec les probl`emes non lin´eaires, c’est le cas des approches bas´ees sur une r´esolution harmonique et de la PGD. D’autre part, mˆeme si la m´ethode de r´eduction est compatible avec la prise en compte de la non-lin´earit´e, l’acc´el´eration offerte par le mod`ele r´eduit devient quasi-inexistante. Pour palier `a ce probl`eme, des m´ethodes par interpolation ou projection ont ainsi ´et´e mises en œuvre. Elles reposent toutes sur le mˆeme principe : grˆace `a un jeu de snapshots, on va pouvoir extraire un certain nombre de zones g´eom´etriques pour lesquelles le calcul de la non-lin´earit´e est d´eterminant ; les informations sur le reste du domaine sont alors interpol´ees. Ce faisant, l’acc´el´eration du mod`ele
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r´eduit devient importante `a nouveau. Cependant, ces m´ethodes peuvent g´en´erer des comportements divergents et/ou des impr´ecisions. Nous avons donc d´evelopp´e un indicateur d’erreur bas´e sur le r´esidu qui permet d’´evaluer si l’approximation calcul´ee avec le mod`ele r´eduit reste proche de la solution EF au cours du calcul. En comparant l’ad´equation des diff´erentes m´ethodes `a ce type de probl`eme, mais aussi leur performance, nous avons pu d´eterminer qu’une approche type POD coupl´ee `a une m´ethode d’interpolation telle que la (D)EIM permettait de r´eduire efficacement un mod`ele non lin´eaire. En ce qui concerne le choix des snapshots, une m´ethode bas´ee sur la connaissance de l’ing´enieur a ´et´e propos´ee et valid´ee.
Enfin, le dernier chapitre a ´et´e consacr´e `a l’application de la POD coupl´ee `a la (D)EIM afin de r´eduire deux mod`eles de machines utilis´es par EDF R&D, une synchrone et une seconde asynchrone. Le mod`ele de la MSAP, compos´ee de mat´eriaux ferromagn´etiques non lin´eaires et purement 3D a ainsi ´
et´e r´eduit grˆace `a un jeu de snapshots bas´e sur un essai `a vide et un autre en court-circuit. Dans un second temps, le mod`ele r´eduit a ´et´e coupl´e avec un environnement ´electrique et m´ecanique diff´erent de celui pour lequel les snapshots ont ´et´e calcul´es. Le mod`ele r´eduit a alors permis de retrouver les r´esultats sur les essais grˆace auxquels il a ´et´e construit. De plus, nous avons pu simuler en moins de 7h le d´emarrage de la MSAP `a couple constant alors que ce calcul aurait pu durer un an environ avec un mod`ele EF. Finalement, un mod`ele r´eduit de la MAS, compos´ee de mat´eriaux ferromagn´etiques suppos´es lin´eaires a ´et´e construit grˆace `a une simulation `a rotor bloqu´e et une seconde au synchronisme. Celui-ci nous a permis de calculer une caract´eristique couple-vitesse avec un speedup sup´erieur `a 10. Dans ce second exemple, le nombre d’inconnues EF ´etant faible, le gain en temps de calcul obtenu avec le mod`ele r´eduit est bien moins significatif qu’avec celui de la MSAP.
Les perspectives soulev´ees pour ces travaux sont multiples. Premi`erement, la r´eduction des mod`eles EF par la POD coupl´ee `a la (D)EIM a ´et´e appliqu´ee avec succ`es `a des probl`emes magn´etostatiques non lin´eaires (MSAP), magn´etodynamiques lin´eaires (MAS) et enfin magn´etodynamiques non lin´eaires mais sans mouvement. Il reste ainsi `a d´evelopper une m´ethodologie afin de r´eduire un syst`eme poss´edant ces trois caract´eristiques, c’est-`a-dire lorsque le probl`eme de d´epart est magn´etodynamique, non lin´eaire et avec mouvement. Dans ce cas en effet, des instabilit´es num´eriques peuvent surgir. Deuxi`emement, le couplage multi-physiques de mod`eles r´eduits n´ecessite davantage d’investigation. Par exemple, la m´ethodologie d´evelopp´ee dans ce manuscrit ne permettrait pas de r´eduire efficace- ment des mod`eles aux lois de comportement d´ependant de quantit´es m´ecaniques, car la base r´eduite obtenue d’apr`es un jeu de snapshots ne tiendrait pas forc´ement compte de cette variation. Il faudrait alors adapter la m´ethode de s´election des snapshots. De plus, des algorithmes d’interpolation comme la (D)EIM permettent de s´electionner des zones repr´esentatives de ph´enom`enes ´electromagn´etiques. Or, celles-ci ne sont pas n´ecessairement pertinentes du point de vue des autres physiques, et pourraient mener `a des erreurs d’interpolation. Troisi`emement, les mod`eles de machines ont ´et´e r´eduits dans ce m´emoire pour des points de fonctionnement id´eaux, en particulier lorsque les phases statoriques sont ´
equilibr´ees. Bien que ces simulations concernent une large partie des ´etudes r´ealis´ees au LAMEL, la prise en compte de comportement plus riches avec le mod`ele r´eduit demanderait une adaptation dans le calcul des snapshots. On peut alors envisager d’utiliser un jeu d’essais caract´eristiques plus riches mais toujours bas´e sur la connaissance de l’ing´enieur, ou bien de se servir d’algorithmes gloutons afin de compl´eter it´erativement la base d’approximation. Dans cette perspective, le d´eveloppement de meta-mod`eles temps-r´eels de dispositifs ´electrotechniques et d´efinis sur un domaine param´etrique apparaˆıt comme une application s´eduisante pour le monde industriel. En effet, cela permettrait de remplacer les traditionnels mod`eles ´equivalents de dispositifs bas´es sur des ´equations de circuit dans des logiciels tels que MATLAB-Simulink [96] ou EMTP-RV [97] par des mod`eles r´eduits, plus pr´ecis et pour lesquels on pourrait quand mˆeme calculer des quantit´es locales comme des flux magn´etiques associ´es `a des sondes, ou des efforts m´ecaniques. Bien que certains travaux ont ´et´e r´ealis´es au cours de cette th`ese, notamment grˆace `a la m´ethode PGD [98], un des enjeux notables est l’obtention d’un meta-mod`ele robuste dans le cas de ph´enom`enes non lin´eaires.
A
Application du th´eor`eme de Stokes
Nous rappelons bri`evement les deux formules d’int´egration utilis´ees dans ce m´emoire, `a savoir la formule de Green-Ostrogradsky et la formule de Stokes. Elles proviennent toutes deux du th´eor`eme de Stokes, qui est le r´esultat central de l’analyse portant sur l’int´egration des formes diff´erentielles. Son ´
enonc´e d´epasse le cadre de cette th`ese, c’est pourquoi seules les formules de Green-Ostrogradsky et de Stokes seront rappel´ees. Dans ce cadre, on introduit U ∈ C1(Ω) un champ vectoriel diff´erentiable et d´efini sur un domaine Ω ⊂ R3.