Overlapping Finite Element Method

Afin de simplifier la pr´esentation de la m´ethode, on se place sur un cas 2D mod´elisant une coupe de machine. Le principe reste identique en 3D, et le calcul explicite des fonctions de forme en 3D peut ˆ

etre trouv´e dans l’annexe D.

1.2.5.2.A Disposition du maillage avec la m´ethode Overlapping

Afin d’appliquer la m´ethode Overlapping, il faut que les maillages du rotor MDR et du stator MDS soient s´epar´es par une fine couche non maill´ee Dθ, comme le montre la figure 1.7. On appelle ΣR_θ et ΣS_θ les interfaces respectives de DR et DS, le long de Dθ. De plus, on fait l’hypoth`ese que les maillages sur ΣS<sub>θ</sub> et ΣR<sub>θ</sub> sont constitu´es de quadrangles r´eguliers ayant une mˆeme structure periodique selon θ. Ainsi, on peut supposer que le maillage de ΣS<sub>θ</sub> `a l’´etat initial est obtenu par projection normale sur ΣS_θ du maillage de ΣR_θ. Bien que la m´ethode Overlapping soit possible pour des maillages non r´eguliers, cette hypoth`ese permet de simplifier la m´ethode ainsi que son coˆut calculatoire, la rendant compatible avec la r´eduction de mod`eles.

1.2.5.2.B Extension des fonctions de forme nodale sur Dθ

Le principe de la m´ethode consiste premi`erement `a ´etendre les fonctions de forme nodales de W0(MD) sur le domaine non maill´e Dθ, et ce de fa¸con continue. Pour ce faire, le support des fonctions nodales du stator (associ´ees aux inconnues appartenant `a ΣS_θ) est ´etendu par projection normale sur ΣR_θ, comme le montre la figure 1.9(b) sur un exemple en 2D. De mˆeme, le support des fonctions nodales du rotor est ´etendu sur Dθ comme on peut le voir sur la figure 1.9(b). Finalement, la figure 1.9(c) montre qu’il existe une zone de recouvrement des deux fonctions nodales dans Dθ. Celle-ci repr´esente l’interaction entre les deux maillages, et permet donc de mod´eliser le mouvement. En consid´erant l’interaction

Figure 1.9 – Interaction Overlapping. (a) : fonction nodale statorique ´etendue sur ΓRθ. (b) : fonction nodale rotorique ´etendue sur ΓS

θ. (c) : interaction entre les deux fonctions nodales.

d’une arˆete au stator avec deux arˆetes du rotor, la figure 1.10 montre que l’on peut d´efinir deux zones d’int´egration, une gauche gauche et une autre droite.

Mod´elisation discr`ete 29

Intégration "gauche" Intégration "droite"

Figure 1.10 – Zones d’int´egration gauche et droite li´ees `a l’arˆete du stator (rouge). Les ronds repr´esentent des nœuds r´eels du maillage, tandis que les ´etoiles sont des nœuds fictifs, obtenus par projection normale des nœuds r´eels sur l’arˆete oppos´ee. Ces derniers ne servent qu’`a d´efinir la zone d’int´egration et ne sont pas des inconnues du probl`eme.

1.2.5.2.C El´´ ement de r´ef´erence Overlapping

Afin de calculer des quantit´es sur les deux zones, on introduit les deux ´el´ements de r´ef´erences pr´esent´es sur les figures 1.11 et 1.12. Il s’agit de quadrangles avec des ”pattes” dont la longueur d´epend des valeurs de a, b, c et d d´efinis dans les deux figures 1.11 et 1.12. On peut alors d´efinir un ´el´ement de

Figure 1.11 – ´El´ement r´eel et de r´ef´erence pour la zone d’int´egration gauche.

r´ef´erence g´en´erique que l’on pr´esente dans la figure 1.13. Si a = c = 1, alors il permet de retrouver l’´el´ement droit, tandis que b = d = 1 d´ecrit l’´el´ement gauche. L’extension de cet ´el´ement de r´ef´erence en 3D, ainsi que les fonctions de forme sont pr´esent´ees dans l’annexe D. Concr`etement, il s’agit d’un hexa`edre avec des ”pattes surfaciques”, par analogie avec les pattes lin´eiques de l’´el´ement de r´ef´erence en 2D.

1.2.5.2.D Gestion des inconnues d’arˆetes

Concernant les inconnues, l’´el´ement de r´ef´erence pr´esent´e dans la figure 1.13 montre que l’on peut calculer des termes d’int´egrations grˆace aux quatre nœuds r´eels, sans introduire d’inconnue nodale suppl´ementaire. Cependant, ce n’est plus exact en ce qui concerne les inconnues d’arˆetes, n´ecessaire pour des applications 3D. En effet, on voit sur la figure 1.13 les deux arˆetes verticales e3 et e4. Celles-ci

Figure 1.12 – ´El´ement r´eel et de r´ef´erence pour la zone d’int´egration gauche. (-d,1) (b,1) (c,1) (1,1) (-1,1) (1,-1) (-1,-1) (-a,1) 0

Figure 1.13 – ´El´ement de r´ef´erence g´en´erique.

relient DR `a DS sur Dθ. `A premi`ere vue, il faudrait donc associer des inconnues `a ces arˆetes. Ainsi, le principe de l’Overlapping qui est de ne pas cr´eer d’inconnues suppl´ementaires sur Dθ n’est plus v´erifi´e. Heureusement, la jauge d’arbre permet de ne pas contredire ce principe. En effet, il existe une infinit´e de vecteurs A tel que B = rotA d’apr`es (1.64). D’un point de vue num´erique, cela signifie que le probl`eme est sous-d´etermin´e et donc que l’on peut ´eliminer un certain nombre d’inconnues. Pour ce faire, il est possible d’´eliminer les arˆetes associ´ees `a un arbre couvrant le maillage [20], c’est-`a-dire passant par tous les nœuds du maillage et ne se refermant pas sur lui-mˆeme. Ainsi, on peut choisir d’´eliminer comme degr´e de libert´e les arˆetes verticales reliant DR `a DS, car elles appartiennent `a un arbre ne se refermant pas sur lui-mˆeme. Il n’y aura donc pas d’inconnues associ´ees aux arˆetes e3 et e4 reliant DR `a DS. Ceci permet finalement de mod´eliser le mouvement sans ajouter d’inconnue suppl´ementaire.

1.2.5.2.E Ecriture du syst`´ eme total avec la m´ethode Overlapping

On rappelle que l’approche est pr´esent´ee en 2D, mais peut ˆetre directement appliqu´ee en 3D si les deux maillages surfaciques du rotor et du stator sont compos´es de quadrangles r´eguliers et qui co¨ıncident l’un avec l’autre. Ainsi, l’´el´ement Overlapping en 3D ainsi que les fonctions de forme nodales et d’arˆetes sont pr´esent´ees dans l’annexe D.

Pour conclure, on peut r´esumer l’approche Overlapping en deux ´etapes :

— La d´etermination des ´el´ements de r´ef´erence Overlapping : pour chaque position rotorique, il faut d´eterminer les deux arˆetes du rotor qui vont interagir avec chaque arˆete du stator, et

Mod´elisation discr`ete 31

d´eterminer les quatre valeurs de a, b, c et d. En pratique, si le maillage des deux interfaces ΣR_θ et ΣS_θ est p´eriodique et co¨ıncidents l’un avec l’autre, cette tˆache peut n’ˆetre r´ealis´ee que pour une seule arˆete du stator (qui interagit avec seulement deux arˆetes du rotor). En effet, la structure p´eriodique sur ΣR_θ et ΣS_θ implique que les ´el´ements de r´ef´erence gauche et droit vont ˆ

etre identiques sur Dθ.

— L’assemblage des matrices ´el´ement finis sur Dθ. Comme Dθ se situe dans l’entrefer constitu´e d’air uniquement, les seuls termes `a calculer seront ceux de la matrice Rot-Rot. Ainsi, on d´efinit la matrice sym´etrique semi-d´efinie positive Movl(θ) ∈ RNa×Na telle que :

(Movl(θ)i,j = Z

Dθ

ν0rotw1i · rotw1j
dDθ. (1.127) En pratique, on calculera cette expression en assemblant dans chaque ´el´ement Overlapping les matrices ´el´ementaires. D’apr`es le point pr´ec´edent, ces derni`eres sont identiques pour l’´el´ement gauche et droit selon θ. Ainsi, il ne faut calculer qu’une matrice ´el´ementaire ”gauche” et une autre ”droite”, que l’on assemblera de fa¸con globale sur Dθ afin de calculer Movl(θ).

Dans le cas d’un probl`eme magn´etostatique lin´eaire, le syst`eme final s’´ecrit finalement : MR rr 0 0 MS_rr  + Movl(θ)  XR XS  =F R FS  , (1.128)

o`u XR _{et X}S _{d´esignent les inconnues sur D}

R et DS respectivement. Contrairement au pas bloqu´e, le syst`eme total n’est pas projet´e sur l’interface. Il suffit juste d’ajouter la matrice Movl(θ) au syst`eme original, ce qui permet de coupler les deux sous-domaines et, ainsi de mod´eliser le mouvement du rotor.