1.2 Mod´ elisation discr` ete
1.2.6 Prise en compte de l’environnement de la machine
1.2.6.2 Couplage m´ ecanique
1.2.6.2.A Equation m´´ ecanique
Que la machine soit en fonctionnement moteur ou g´en´erateur, le mouvement du rotor est r´egi par une ´
equation m´ecanique. Dans sa plus simple expression celle-ci s’´ecrit
JM d2θ(t)
dt2 + fM dθ(t)
dt = ΓB(B) + ΓM(t), (1.147)
avec JM le moment d’inertie du rotor (kg.m2), fM la constante de friction (kg.m2.s-1). ΓB (kg.m2.s-1) repr´esente le couple magn´etique tandis que ΓM (kg.m2.s-1) repr´esente le couple d’entraˆınement ou de charge selon son signe.
1.2.6.2.B Calcul du couple magn´etique par la m´ethode des Travaux Virtuels
Ainsi, il faut ˆetre en mesure de calculer le couple ´electromagn´etique afin de prendre en compte l’en- vironnement m´ecanique de la machine. Pour ce faire, deux m´ethodes sont particuli`erement utilis´ees : celle du Tenseur de Maxwell [36] et le principe des Travaux Virtuels [21]. `A la mani`ere des m´ethodes pour prendre en compte le mouvement, ces deux approches se distinguent en particulier quant au do- maine sur lequel est calcul´e le couple. Pour la m´ethode du Tenseur de Maxwell, il s’agit de calculer des
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quantit´es sur une interface (`a la mani`ere du Pas Bloqu´e) tandis que le principe des Travaux Virtuels permettent de calculer le couple dans une fine couche d’´el´ements (`a l’instar de l’Overlapping). Dans la suite de ce m´emoire, nous ne pr´esenterons que la m´ethode des travaux virtuels car elle est se couple naturellement aux m´ethodes de r´eduction de mod`eles.
Nous sommes donc int´eress´e par le calcul du couple ´electromagn´etique ΓB g´en´er´e par la rotation du rotor. Par d´efinition [37], celui-ci s’exprime comme la variation de l’´energie magn´etique WB au cours du mouvement, `a champ magn´etique constant. Cette derni`ere est d´efinie dans le domaine D [16] par WB(B) = Z D wB(B)dD, (1.148) o`u la fonctionnelle wB(B) s’´ecrit [16] wB(B) = Z B 0 H( ¯B) · d ¯B . (1.149)
Il reste donc `a exprimer comment varie cette fonctionnelle au cours du mouvement, et `a champ B constant. Pour ce faire, il convient de s’attarder sur la fa¸con dont est mod´elis´e le mouvement de corps rigide avec notre probl`eme ´el´ement fini. Si on avait adopt´e une approche eul´erienne, ce mouvement serait caract´eris´e par la rotation de tous les ´el´ements au rotor, le stator restant fixe. Or comme expliqu´e dans la section 1.2.5, nous avons pr´ef´er´e utiliser la description lagrangienne qui consiste `a se placer d’une part dans le r´ef´erentiel statique du stator, et d’autre part dans celui en mouvement du rotor, pour finalement recoller les deux domaines par la m´ethode Overlapping ou du Pas Bloqu´e. Dans ces deux approches, on a vu que le mouvement peut se r´esumer uniquement `a faire tourner les nœuds de la couche ext´erieure du rotor, par rapport `a ceux du stator, les nœuds internes du rotor restants eux immobiles par rapport `a leurs voisins (c’est-`a-dire immobiles dans le r´ef´erentiel tournant).
Ainsi, le couple peut ˆetre obtenu en calculant la variation de l’´energie magn´etique lorsque les nœuds de la couche ext´erieure du rotor sont soumis `a une rotation par rapport `a ceux du stator. On peut alors ´ecrire
ΓB = ∂θˆ(WB|B=cte) , (1.150)
o`u la notation ˆθ signifie dans cette section que nous ne d´erivons que les nœuds de la couche int´erieure du stator par rapport `a ceux du rotor. Puisque les nœuds du rotor sont immobiles les uns par rapport aux autres, on a alors
∂θˆ Z DR wB(B)dDR = 0 (1.151) et en utilisant DS= D \ DR ΓB = ∂θˆ Z DS wB(B)dDS . (1.152)
De mˆeme, les nœuds du stator ´etant immobiles, les termes non nuls de l’int´egrale pr´ec´edente seront donc issus des interactions sur DS entre les nœuds du rotor en mouvement et ceux du stator immobile. Or, la m´ethodes des ´El´ements Finis ne tient compte que des interactions entre plus proches voisins. On peut donc ramener l’int´egrale (1.152) `a une seule couche d’´el´ements finis attenante `a DRet situ´ee dans l’entrefer. On la note DΓ. On exprime alors le couple magn´etique par :
ΓB= ∂θˆ Z DΓ wB(B)dDΓ . (1.153)
L’entrefer ´etant constitu´e d’air, qui est un milieu lin´eaire, l’expression du couple se simplifie en : ΓB = ∂θˆ Z DΓ (ν0 2B · B)dDΓ . (1.154)
Apr`es l’introduction de la discr´etisation par la MEF, on peut finalement ramener le couple `a une forme quadratique sur XA:
ΓB = XtAMΓXA, (1.155)
o`u la matrice symm´etrique MΓ ∈ RNA×NA est d´efini par (MΓ)ij = ∂θˆ Z DΓ ν0 2 rotw 1 i · rotw1j dDΓ. (1.156)
Le d´etail du calcul de cette matrice en passant par l’´el´ement de r´ef´erence peut ˆetre trouv´ee dans [37].
1.2.6.2.C Couplage faible de l’´equation magn´etique avec l’´equation m´ecanique
Il reste donc `a coupler le probl`eme magnetoquasi-statique avec l’´equation m´ecanique. Puisque la constante de temps m´ecanique est pour les applications typiques de l’´electrotechnique bien plus grande que celle du probl`eme magn´etique, un couplage fort entre les deux probl`emes n’est pas n´ecessaire [38]. Pour aller plus loin, un chaˆınage entre les deux ´equations est mˆeme possible `a condition que la constante de discr´etisation temporelle soit suffisamment petite de sorte qu’elle puisse capturer la dynamique des deux mod`eles [38].
Ainsi l’´equation magn´etique et m´ecanique seront r´esolues successivement au cours de la simulation. Le sch´ema de r´esolution num´erique est d´etaill´e dans la section suivante.
1.2.7 R´esolution des probl`emes discrets
1.2.7.1 Ecriture matricielle g´´ en´erique
Dans les trois sections pr´ec´edentes, on a vu que la mod´elisation de dispositifs ´electrotechniques peut g´en´erer une quantit´e de probl`emes diff´erents, en fonction de la formulation utilis´ee et de la prise en compte ou non du couplage ´electrique ou m´ecanique. En reprenant les approches pr´esent´ees dans les sections 1.2.4, 1.2.5 et 1.2.6, l’ensemble de ces mod`eles peut ˆetre repr´esent´e par le probl`eme g´en´erique suivant :
Trouver X(t) ∈ RN tel que KdX(t)
dt + (Mθ(θ) + M(X)) X(t) = CU(t), ∀t ∈ [0,T ], (1.157) et trouver θ(t) ∈ R tel que
JM d2θ(t)
dt2 + fM dθ(t)
dt = ΓB(X) + ΓM(t), (1.158)
avec on le rappelle U(t) qui repr´esente la commande en tension et/ou en courant du syst`eme. `A partir de ces deux ´equations, certains termes vont se simplifier en fonction de l’application ´etudi´ee. Ainsi, si le probl`eme n’a ni domaine conducteur, ni couplage circuit, on a K = 0 et le probl`eme se r´esume `
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Trouver X(t) ∈ RN tel que
(Mθ(θ) + M(X)) X(t) = CU(t), ∀t ∈ [0,T ], (1.159)
et trouver θ(t) ∈ R tel que JM
d2θ(t) dt2 + fM
dθ(t)
dt = ΓB(X) + ΓM(t). (1.160)
Par ailleurs, le nombre d’inconnues N est dans ce cas N = Na, car il n’y a ni courants, ni degr´es de libert´e nodaux dans le domaine conducteur.
De mˆeme, si le probl`eme n’a pas de partie tournante, alors on r´esoudra
Trouver X(t) ∈ RN tel que KdX(t)
dt + M(X)X(t) = CU(t), ∀t ∈ [0,T ], (1.161)
Ici, le vecteur inconnu X de taille N peut repr´esenter diff´erentes inconnues. Par exemple, pour un probl`eme magn´etodynamique en formulation A∗ sans couplage circuit, on a
X = XA∈ RNa N = NA
(1.162)
Si on consid`ere au contraire un probl`eme magn´etodynamique en formulation A − φ avec couplage circuit, alors X s’´ecrit
X = XA Xφ iV1 .. . iV|V| ∈ RNa+Nn+|V| (1.163) avec N = Na+ Nn+ |V|
Ainsi, l’´equation (1.157) permet de repr´esenter l’ensemble des probl`emes pr´ec´edemment expos´es, et sera prise comme r´ef´erence dans la suite de ce m´emoire.