Projection d’Arnoldi

La projection d’Arnoldi est tr`es populaire dans la branche des math´ematiques appliqu´ees. En effet, elle aborde des th´ematiques tr`es proches de la recherche de valeurs propres sur des matrices de tr`es grande dimension. L’ingr´edient sous-jacent de cette approche est une d´ecomposition de Pad´e de la fonction de transfert du probl`eme EF dans le domaine de Laplace. Cette d´ecomposition peut ´

egalement ˆetre vue comme un calcul de snapshots fr´equentiel. Ces snapshots vont nous permettre de mettre en ´evidence un espace dans lequel on recherchera la solution r´eduite. On prendra donc comme base r´eduite une base orthonorm´ee construite sur cet espace.

La m´ethode a ´et´e appliqu´ee sur des applications vari´ees. On peut citer un probl`eme ´electro- thermique ayant pour but de mod´eliser des microsyst`emes ´electrom´ecanique [3], ou un autre d’au- tomatique appliqu´ee `a l’a´eronautique [4]. En ´electrotechnique, la m´ethode a ´et´e utilis´ee afin de r´eduire le temps de calcul de circuits ´electroniques, dans le cadre de la PEEC [52]. Enfin, elle a ´et´e appliqu´ee et compar´ee `a la POD sur des probl`emes de magn´etodynamique [53] r´ecemment.

Afin de simplifier la pr´esentation de la m´ethode, on choisit de restreindre dans un premier temps le probl`eme `a une seule source de courant ou de tension. On ´ecrit alors le vecteur source CU(t) = C1u1(t) avec u1(t) le courant ou la tension associ´ee `a cet inducteur et C1∈ RN.

2.2.1.3.A R´e´ecriture du probl`eme dans le domaine de Laplace

Dans cette section, on d´esigne par ¯· les quantit´es dans le domaine de Laplace. On a alors en notant L la transform´ee de Laplace, et p la variable associ´ee

¯

X(p) = L(X(t)) (2.89)

¯

u1(p) = L(u1(t)). (2.90)

Afin d’appliquer la m´ethode de r´eduction d’Arnoldi, il s’agit tout d’abord de r´e´ecrire le syst`eme d’´equations (2.63) dans le domaine de Laplace :

R´eduction des probl`emes lin´eaires 69

On d´esigne alors par h1_{(p) la fonction de transfert de ce syst`eme d´efinie par h}1_{(p) = ¯X(p)/¯u}

1(p). On a donc

h1(p) = (pK + M)−1C1. (2.92)

2.2.1.3.B D´eveloppement de Pad´e dans le domaine de Laplace

Dans un second temps, il s’agit d’identifier `a partir de l’´equation (2.92) les coefficients h1

j ∈ CN issus du d´eveloppement de Pad´e de h1(p) : h(p) = ∞ X k=0 h1_k(p − ζ1)k, (2.93)

o`u ζ1 est appel´e point d’expansion. En pratique, on prendra ζ1 = 2jπf1, avec f1 la fr´equence du fondamental du signal d’excitation de l’inducteur, et j la racine complexe usuelle de −1. En reportant la d´ecomposition (2.93) dans (2.92), on peut identifier apr`es un d´eveloppement en s´erie de taylor les coefficients h1_k :

h1_k=−(ζK + M)−1_Kk

(ζK + M)−1C1, ∀k ≥ 0. (2.94)

De l’expression (2.94), on peut d´eterminer la formule de r´ecurrence suivante, qui permet alors de d´eterminer h1_k simplement `a partir de h1_k−1 :

h1_k = −(ζK + M)−1Kh1_k−1, ∀k ≥ 1. (2.95)

2.2.1.3.C D´etermination de la base r´eduite Arnoldi

Il s’agit alors de r´eexprimer X(t) `a partir du d´eveloppement de Pad´e de h1(p). Premi`erement, on a d’apr`es la d´efinition de h1(p) ¯ X(p) = ∞ X k=0 h1_ku¯1(p)(p − ζ1)k. (2.96)

En repassant dans le domaine temporel, on ´ecrit :

X(t) = L−1( ¯X(p)) (2.97) = ∞ X k=0 h1_kL−1u¯1(p)(p − ζ1)k  . (2.98)

On introduit alors lj(t) = L−1 u¯1(p)(p − ζ1)k
, ce qui nous permet d’obtenir finalement

X(t) = ∞ X k=0

h1_klj(t). (2.99)

L’id´ee de la r´eduction de mod`eles par la m´ethode d’Arnoldi est donc d’approcher la solution X(t) par ˜X(t) selon une combinaison lin´eaire des s premiers moments. En d’autre terme, on recherche ˜X dans Vect(h1<sub>0</sub>, . . . ,h1<sub>s−1</sub>). Les vecteurs h1<sub>k</sub>, k = 1, . . . ,s − 1 ´etant complexes, X(t) le devient d’apr`es la d´ecomposition (2.99). Or la solution du probl`eme de d´epart ´etant r´eelle, on recherchera en pratique

˜ X tel que ˜ X ∈ s−1 [ k=0 Vect Re h1_k
,Im h1_k

, (2.100)

Il s’agira donc de construire une base orthonorm´ee Ψ ∈ RN ×m _{sur cet espace. Pour ce faire,} on pourra appliquer le proc´ed´e de Gram-Schmidt, ou mˆeme utiliser une d´ecomposition en valeurs singuli`eres sur la matrice S = (Re h1<sub>0</sub>, . . . ,h1<sub>s−1</sub>
,Im h1<sub>0</sub>, . . . ,h1<sub>s−1</sub>
), que l’on tronque `a l’ordre m (voir section 2.2.1.1.C).

Enfin, le syst`eme r´eduit (2.64) s’obtient l`a encore en appliquant la projection de Ritz-Galerkin, avec Φ = Ψ.

2.2.1.3.D Prise en compte de plusieurs inducteurs

On suppose maintenant que le syst`eme (2.63) poss`ede ni sources. On ´ecrit alors

CU(t) = ni X k=1

Clul(t) (2.101)

Afin de prendre en compte ces ni inducteurs dans la base r´eduite, il suffit d’appliquer la d´emarche pr´esent´ee ci-dessus pour chaque inducteur. Ainsi, on d´esigne par hl_k le k`eme moment associ´e au l`eme inducteur. Celui-ci s’´ecrit d’apr`es (2.94) par

hl_k=−(ζK + M)−1_Kk

(ζK + M)−1Cl, ∀k ≥ 0, ∀l ∈ {1, . . . ,ni} . (2.102)

De mˆeme, on pourra utiliser la formule de r´ecurrence suivante afin de calculer `a moindre coˆut les diff´erents moments :

hl_k= −(ζK + M)−1Khl_k−1, ∀k = 0, . . . ,s − 1, ∀l = 1, . . . ,n_i. (2.103)

L’id´ee est donc de construire une base orthonorm´ee Ψ sur l’espace des s moments associ´es `a chacun des ni inducteurs. Ainsi, cela permettra d’approcher X(t) par ˜X(t) tel que

˜ X(t) ∈ ni [ l=1 s−1 [ i=0 VectRehl_i,Imhl_i. (2.104)

L`a encore, on pourra appliquer le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ou une SVD sur la matrice S ayant pour colonnes les parties r´eelles et imaginaires des s · ni moments :

S =  Re  hl_i  ,Im  hl_i  i∈{0,...,s−1} l∈{1,...,ni} . (2.105)

2.2.1.3.E Arnoldi en pratique

L’algorithme 7 pr´esente finalement la r´eduction de mod`eles par la m´ethode d’Arnoldi. Contrairement `

a la POD et la CVT, les snapshots ne sont pas un param`etre d’entr´ee de la m´ethode. Algorithme 7 : Obtention du syst`eme r´eduit par la m´ethode de r´eduction Arnoldi

Donn´ees : i) Le nombre de moments s `a calculer pour chaque inducteur. ii) Le point d’expansion ζ.

R´esultat : Syst`eme r´eduit (2.64) de taille m. pour l = 1, . . . ,ni faire

Calcul des s moments hl_k, k = 0, . . . ,s − 1 d’apr`es (2.102) et la formule de r´ecurrence (2.103) ;

fin

Calcul de Ψ de taille m par orthonormalisation de l’espaceSni l=1

Ss−1

i=0Vect Re hli
,Im hli
.
(on peut utiliser Gram-Schmidt ou une SVD tronqu´ee `a l’ordre m);

Approximation de X(t) par ˜X(t) = ΨXr(t), avec Xr∈ Rm ;

Projection de Ritz-Galerkin sur le syst`eme (2.63) avec Φ = Ψ, menant au syst`eme r´eduit (2.64) ;

R´eduction des probl`emes lin´eaires 71

Remarque 2.9. Le choix du point d’expansion a un impact important sur la qualit´e de l’approxima- tion. D’un point de vue th´eorique, le d´eveloppement de Pad´e n’est valide qu’aux alentours du point d’expansion. En pratique, un point d’expansion ζ = 2jπf , avec f le fondamental du signal d’excita- tion permet d’obtenir une bonne approximation. De plus, il est ´egalement possible de construire une approximation d’Arnoldi `a partir de plusieurs points d’expansion [4].