Dans cette section, on d´etaille quelques astuces permettant d’am´eliorer la stabilit´e du mod`ele r´eduit. En effet, on a vu qu’avec les m´ethodes de projection (HR / MPE) ou d’interpolation ((D)EIM / GPOD), la jacobienne du syst`eme n’est plus sym´etrique, quand bien mˆeme celle du syst`eme de d´epart l’´etait. Cette dissym´etrie est alors repr´esentative d’une perte de stabilit´e, qui peut se traduire par une divergence du mod`ele.
Ainsi, si le mod`ele r´eduit rencontre des probl`emes de stabilit´e, il peut ˆetre b´en´efique d’appliquer les approches pr´esent´ees ci-dessous.
3.2.1 Choix des snapshots
D´ej`a ´evoqu´e pr´ec´edemment, le choix des snapshots est crucial dans la construction du mod`ele r´eduit. En effet, ceux-ci vont concentrer l’essentiel de l’information du mod`ele complet que l’on va injecter dans la base r´eduite. Ainsi, si cette information est trop limit´ee, le mod`ele r´eduit r´esultant a peu de chances d’ˆetre pr´ecis, et peut mˆeme dans le cas non lin´eaire mener `a des probl`emes de convergence de la m´ethode de Newton Raphson ou du Point Fixe.
Afin de construire cette base de snapshots, trois approches peuvent ˆetre appliqu´ees. La premi`ere est celle qui a ´et´e appliqu´ee jusqu’ici, `a savoir, se servir des premiers pas de temps de la simulation en tant que snapshots. Cette approche a l’avantage d’ˆetre facilement impl´ementable. Cependant, le choix du nombre de pas de temps `a consid´erer est loin d’ˆetre clair, et peut mener l`a encore `a des probl`emes de stabilit´e (par exemple le mod`ele r´eduit (D)EIM avec 20 snapshots dans la section 3.1.5.5).
La seconde approche consiste `a utiliser des algorithmes math´ematiques bas´es sur un indicateur d’erreur qui va d´eterminer it´erativement avec quel snapshot il faut enrichir le mod`ele r´eduit. Typique- ment, ce type d’approche revient `a une m´ethode a priori de type RB, o`u il s’agit de d´eterminer quel est le snapshot optimal `a ajouter `a la base r´eduite. Or, on a vu d’une part que la m´ethode RB ´etait peu adapt´ee aux probl`emes d’´evolution temporelle (voir remarque 2.13), et d’autre part que ce type de m´ethodes pouvait g´en´erer des forts coˆuts de calculs et des instabilit´es dans le cas non lin´eaire (voir section 3.1.4.2).
Enfin, la troisi`eme approche qui sera utilis´ee dans la suite de ce m´emoire est celle bas´ee sur les cas tests de l’ing´enieur. En effet, une d´emarche de mod´elisation classique en ´electrotechnique consiste `
a associer des sch´emas ´equivalents simples aux dispositifs ´electriques. Les param`etres de ces sch´emas sont quant `a eux d´etermin´es `a partir de diff´erents essais. Par exemple pour un transformateur triphas´e ´
equilibr´e, un sch´ema ´equivalent peut se d´eterminer `a partir d’un premier essai `a vide et d’un second, en court-circuit. L’id´ee est donc de simuler avec les mod`eles EF ces essais, bas´es sur la connaissance de l’ing´enieur, afin d’obtenir un jeu de snapshots suffisamment repr´esentatif. De plus, cette approche
Robustesse des mod`eles r´eduits 127
a l’avantage de proposer des mod`eles r´eduits adaptatifs. En reprenant l’exemple du transformateur triphas´e, on sait que le sch´ema ´equivalent d´eduit des essais `a vide et en court-circuit permet de prendre en compte n’importe quel charge ´equilibr´ee au secondaire. Ainsi, le mod`ele r´eduit d´etermin´e `
a partir de ces deux essais devrait ˆetre capable d’approcher de fa¸con pr´ecise n’importe quelle charge ´
equilibr´ee au secondaire. Cette m´ethodologie a ´et´e appliqu´ee avec succ`es dans [85] afin de r´eduire efficacement un mod`ele 3D non lin´eaire d’un transformateur triphas´e. De mˆeme, nous avons appliqu´e cette m´ethodologie afin de r´eduire un mod`ele 2D de machine synchrone, `a travers l`a encore un essai `
a vide et un autre en court-circuit [86]. L`a encore, le mod`ele r´eduit obtenu est adaptatif et permet de prendre en compte diff´erentes charges ´equilibr´ees au stator avec une bonne pr´ecision.
3.2.2 Relˆachement moindres carr´es (D)EIM
Bien qu’acc´el´erant la rapidit´e des calculs dans le cas non lin´eaire, on a vu dans la section 3.1.5.4 que l’application de la (D)EIM peut entraˆıner des probl`emes de convergence dans l’algorithme de Newton-Raphson. Or on a vu que la GPOD, qui se base sur le mˆeme jeu de snapshots, offre une bonne convergence et stabilise ainsi le mod`ele r´eduit. On peut l’interpr´eter de la fa¸con suivante. La (D)EIM contraint ˜G a ˆetre ´egal `a G sur les composantes du masque Z. Avec la GPOD en revanche, la contrainte est plus lˆache car il s’agit de minimiser l’erreur au sens des moindres carr´es entre ˜G et G sur Z. Ce relˆachement de la contrainte pourrait ainsi expliquer la meilleure stabilit´e du syst`eme r´eduit GPOD.
Une simple heuristique bas´ee sur cette observation peut ainsi ˆetre mise en place : lorsque l’algo- rithme de Newton-Raphson ne parvient pas `a converger sur un pas de temps, on peut diminuer la taille de la base non lin´eaire Π, tout en gardant le mˆeme nombre de composantes d’interpolations. On passe alors `a une interpolation de type GPOD car il y a plus de composantes que de vecteurs lors de l’interpolation. Pour ce faire, on d´efinit Π = Π:g, la restriction de Π `a ses g < g premi`eres colonnes. Il s’agit alors d’interpoler avec la m´ethode GPOD le terme non lin´eaire dans la base Π au lieu de Π.
3.2.3 Pr´eservation de la structure
Jusqu’ici, les diff´erents types d’inconnues dans le vecteur X n’ont pas men´e `a une quelconque modification dans la construction du mod`ele r´eduit. Cependant, il peut ˆetre judicieux de prendre en compte cet aspect dans le but d’am´eliorer la pr´ecision et la stabilit´e du mod`ele r´eduit. Ainsi, un premier point abordera comment construire un mod`ele r´eduit pr´eservant la structure et la nature du mod`ele r´eduit. Le second point concerne l’interpolation de quantit´es non lin´eaires dans deux domaines non connexes, par exemple le domaine ferromagn´etique du rotor avec celui du stator d’une machine.
3.2.3.1 Base r´eduite adapt´ee `a chaque type d’inconnue
On a vu dans le premier chapitre que le vecteur X peut repr´esenter diff´erentes inconnues `a savoir XA, Xφ et les courants i1, . . . ,iV1, . . . ,iV|V| dans le cas d’une formulation A − φ avec coulage circuit (1.163) : X = XA Xφ iV1 .. . iV|V|
L’id´ee est donc de construire une base r´eduite ΨA, Ψφ et ΨI adapt´ee `a chaque type d’inconnue, et agenc´ee dans Ψ dans la fa¸con suivante :
Ψ = ΨA 0 0 0 Ψφ 0 0 0 ΨI . (3.77)
Afin de construire ΨA, il suffit d’appliquer une POD sur la matrice SA, la restriction de la matrice de snapshots S aux inconnues EF associ´ee `a la discr´etisation de A (dans notre cas, les inconnues d’arˆete). De mˆeme, Ψφest d´etermin´ee `a partir de Sφ, la matrice de snapshots restreinte aux inconnues nodales (associ´ees `a la discr´etisation de φ). Enfin, le nombre |V| de courants `a prendre en compte au sein du couplage circuit ´etant tr`es petit devant N , on choisit de ne pas r´eduire cette quantit´e, et ainsi ΨI= I|V|, la matrice identit´e de taille |V|. Ainsi, la base r´eduite est :
Ψ = ΨA 0 0 0 Ψφ 0 0 0 I|V| . (3.78)
En plus d’am´eliorer la stabilit´e, un des avantages de l’approche est que la structure du mod`ele r´eduit est identique `a celle du mod`ele de d´epart. En effet, l’approximation ˜X de X s’´ecrit dans cette base r´eduite Ψ : X = Ψ XA,r Xφ,r iV1 .. . iV|V| ,
ce qui rappelle l’expression du vecteur de d´epart X (1.163).
Nous avons appliqu´e cette m´ethodologie sur deux exemples ce qui a donn´e lieu `a la publication d’un article [87]. Plus pr´ecis´ement nous avons appliqu´e l’approche `a un transformateur triphas´e sur un probl`eme 2D non lin´eaire en formulation A coupl´e circuit et sur un exemple 3D lin´eaire en formulation A − φ mod´elisant un inducteur bobin´e situ´e entre deux places conductrices. On a pu voir qu’effecti- vement, la r´eduction avec pr´eservation de la structure permettait d’obtenir une meilleure convergence pour le cas non lin´eaire, et une plus grande pr´ecision locale sur le potentiel scalaire φ notamment.
3.2.3.2 Base d’interpolation adapt´ee `a chaque domaine non lin´eaire
Lorsque l’on s’int´eresse `a l’interpolation du terme non lin´eaire sur une machine tournante, on r´ealise rapidement qu’il n’y a pas un seul terme non lin´eaire G(·) mais plutˆot deux GR(·) et GS(·), d´efinis de la fa¸con suivante :
GR(X) = G(XR) (3.79)
GS(X) = G(XS) (3.80)
G(X) = GR(X) + GS(X), (3.81)
avec en reprenant les notations introduites dans la section sur l’Overlapping 1.2.5.2, XR et XS la restriction de X au domaine rotorique et statorique respectivement. Ainsi, GR(·) repr´esente le terme non lin´eaire au rotor, et GS(·) au stator. En effet, les exp´eriences num´eriques montrent par exemple que dans le cas d’une machine synchrone en fonctionnement g´en´erateur, le terme non lin´eaire dans la partie ferromagn´etique du rotor est quasiment constant2 tandis que celui au stator change beaucoup au cours du temps (il tourne). Il peut ˆetre ainsi int´eressant d’associer `a chaque type de comportement un terme non lin´eaire diff´erent.
La m´ethodologie d’interpolation par la (D)EIM/GPOD s’applique alors naturellement `a chaque fonction inconnue GR(X) et GS(X). On d´etermine ainsi deux approximations ˜GR(X) et ˜GS(X), dont chacune d´epend de leur matrice de masque respective ZR et ZS.
2. On rappelle qu’on utilise une m´ethode pour prendre en compte le mouvement avec une description Eul´erienne.
Ainsi, le maillage du rotor est fixe et suit le mouvement de rotation. La solution EF apparaˆıt alors quasiment constante au rotor.
Estimation d’erreur 129
Ce type d’approches s’applique donc naturellement au rotor et au stator pour une machine syn- chrone, mais peut fonctionner dans le cas g´en´eral avec un nombre arbitraire de sous-domaines. La seule restriction r´eside dans la n´ecessit´e que ces sous-domaines soient tous disjoints les uns des autres. En effet, si cette derni`ere condition n’est pas respect´ee, alors l’interpolation du terme non lin´eaire risque d’ˆetre discontinue `a la fronti`ere des diff´erents sous-domaines.
3.2.4 Bases locales
Enfin, cette derni`ere approche permet d’am´eliorer la stabilit´e du syst`eme mais surtout d’acc´el´erer fortement le mod`ele r´eduit. L’id´ee est de construire non pas une base r´eduite pour X, mais plusieurs, en fonction de la valeur d’un certain param`etre. Par exemple, sur la machine synchrone, il peut ˆetre astucieux de construire l bases r´eduite Ψ1, . . . ,Ψl en fonction de la position θ du rotor.
Ainsi, on d´efinit Ψk ∈ RN ×mk la base r´eduite associ´ee `a θ ∈ [2(k−1)π/l,2kπ/l[. Celle-ci se construit simplement `a partir des sksnapshots calcul´es lorsque θ appartient `a [2(k − 1)π/l,2kπ/l[. Il s’agit donc de d´eterminer l bases r´eduites, chacune se basant sur sk snapshots seulement au lieu d’une seule base r´eduite construite `a partir de s = s1+ . . . + sl snapshots. L’id´ee est qu’ainsi, on va d´efinir l mod`eles r´eduits de taille m1, . . . ,ml au lieu d’un grand syst`eme r´eduit de taille m. En effet, on a en premi`ere approximation m ≈ lmk, et donc la taille moyenne d’un mod`ele r´eduit est mk= m/l << m.
De plus, l’id´ee sous-jacente est que l’on approche la solution avec plusieurs bases r´eduites adapt´ees en fonction de la position θ du rotor, au lieu d’avoir une grande base r´eduite qui concentre toute l’information, au risque de noyer cette-derni`ere.
N´eanmoins, il peut exister des probl`emes num´eriques lors du passage d’une base `a l’autre [88]. De plus, cette approche complexifie sensiblement l’impl´ementation de la r´eduction de mod`eles dans un code de calcul en langage non interpr´et´e, tel que code Carmel.
Remarque 3.11. On insiste sur le fait que cette approche ne permet pas de d´ecouper la machine en l sections, r´eduisant ainsi le taille du syst`eme de d´epart. Ici, les bases r´eduites locales Ψk, k = 1, . . . ,l sont toutes d´efinies sur l’int´egralit´e du domaine et sont donc de taille N . La diff´erence est que les matrices sont plus petites : mk<< m, menant `a des syst`emes r´eduits de plus petite taille.