Validation de l’approche proposée

Il convient d’abord de tester la méthode de correction par matrice de relaxation ainsi que sa version améliorée sur une géométrie simple de type tube long. L’idée est de se placer dans des conditions où les corrections analytiques de Moore et Evans sont valides et peuvent donc servir de comparaison fiable. Un tube ayant un rayon extérieur, un rayon intérieur et une longueur de 10, 5 et 100 mm respectivement a été choisi à cet effet. L’absence d’effet de bord est clairement garantie car la longueur est dix fois plus importante que le rayon

extérieur. Toute l’analyse qui suit est faite en considérant des points de mesure sur le diamètre extérieur et à mi-longueur.

Un modèle axisymétrique du tube a été construit dans le logiciel d’éléments finis ANSYS® V12. Les éléments sont des plans à quatre nœuds car ils sont plus adaptés que les triangles pour l’enlèvement de couches régulières. Le comportement du matériau est purement élastique pour respecter les hypothèses énoncées précédemment. Les propriétés du matériau sont celles d’un acier typique (E = 200 GPa et ν = 0,3). Les contraintes résiduelles initiales sont introduites par l’entremise de gradients thermiques fictifs. La méthode indirecte est utilisée; c’est-à-dire que le calcul structurel se fait après le calcul thermique et de façon indépendante. Une étude de convergence a montré que le nombre d’éléments par couche enlevée (six) est nettement supérieur à ce qui est requis pour atteindre la convergence. Le polissage circonférentiel complet (enlèvement de coques cylindriques concentriques) a été choisi afin de respecter toutes les hypothèses de Moore et Evans. L’enlèvement de matière est simulé tout simplement en désélectionnant les nœuds et éléments appartenant au volume de chaque couche enlevée et en relançant ensuite le calcul (commande SOLVE) pour laisser les contraintes se redistribuer. Le programme utilisé dans cette analyse pour piloter ANSYS® est fourni à l’Annexe III.

Les corrections analytiques de Moore et Evans pour les cylindres creux (équations (3.4) à (3.6)) ont également été calculées en utilisant l’intégration numérique par la méthode des trapèzes implémentée sous EXCEL®. Le calcul des matrices de correction K et K’ a été fait en utilisant un profil de contraintes en compression à très faible gradient (presque constant dans la zone étudiée) comme discuté précédemment. Huit couches de 0,3 mm chacune on été enlevées pour que la matrice soit applicable au gradient de contraintes résiduelles utilisé ci- après. La mesure dans un profil à très fort gradient pourrait requérir l’utilisation d’incréments de profondeur plus faibles. Notons qu’il est toujours possible de raffiner le pas de mesure (partout ou localement dans la zone à fort gradient) jusqu’à ce que le profil corrigé final converge. On se limite ici aux contraintes tangentielles par souci de concision sachant que les résultats sont pratiquement identiques dans la direction axiale (Savaria, Bridier et Bocher,

2012). Le calcul des coefficients avec une autre distribution d’amplitude et de signe différent a donné la même matrice (erreur maximale de 0,21 % entre deux Kds) et prouve donc l’indépendance de cette dernière dans ce cas idéal. Les résultats se sont également avérés identiques en utilisant une distribution de contraintes presque uniaxiale; ce qui tend à confirmer l’absence d’effet multiaxial pour cette géométrie et ce type de polissage.

Il est important de mentionner que les calculs ont été effectués en utilisant les résultats à la rangée de nœud à mi-longueur du tube seulement; ce qui suppose implicitement un faisceau de rayons X de taille négligeable. Cette façon de faire ne change pas de façon significative les corrections calculées même dans le cas d’un polissage local (Savaria, Bridier et Bocher, 2012).

Afin de tester cette matrice, il est proposé de l’utiliser pour calculer les corrections requises pour un certain profil de contraintes résiduelles tangentielles fictif mais réaliste. Notons que ce profil n’est pas introduit dans le modèle éléments finis. Il correspond à une profondeur durcie d’environ 1.5 mm et est choisi pour représenter un traitement de surface typique (Bertini et Fontanari, 1999; Coupard et al., 2008; Grum, 2007; Denis et al., 2002; Komotori

et al., 2001). Ce profil permet de mettre en relief les différences entre les différentes

Figure 3.14 Comparaison des méthodes de correction pour un tube long

Comme mentionné plus haut, il s’agit ici d’un cas idéal respectant à la lettre toutes les restrictions des équations de Moore et Evans. Cette dernière méthode est donc considérée comme étant valide et précise. La figure précédente montre d’ailleurs qu’elle donne pratiquement les mêmes résultats (différence maximale de 2 MPa) que la méthode de correction par éléments finis modifiée (notée ANSYS moyenne sur la figure). D’un autre côté, la méthode de correction originellement proposée par Lambda Research semble souffrir d’une accumulation d’erreur à mesure que la profondeur augmente due vraisemblablement à la non-constance des contraintes résiduelles à travers l’épaisseur des couches. Ce résultat met clairement en évidence l’intérêt de la version améliorée de la méthode de correction proposée dans cette thèse; en particulier pour la mesure dans des forts gradients de contraintes résiduelles et lorsque des incréments de profondeur plus importants sont utilisés. Soulignons par contre qu’une quantité minimale de points de mesure sera toujours requise afin de bien décrire un gradient de contraintes résiduelles sévère et complexe. En dessous d’une certaine taille d’incrément de profondeur, la méthode améliorée donne des résultats similaires à la méthode originale. Cette taille d’incrément dépend du type de profil de contraintes à mesurer

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 0,5 1 1,5 2 2,5 σθ (M P a) Profondeur (mm) σθ mesuré Moore et Evans ANSYS constant ANSYS moyenne

et doit être déterminée par essais et erreurs pour s’assurer d’avoir la meilleure précision possible.

En résumé, la méthode améliorée de correction par matrice de relâchement des contraintes présente deux avantages principaux d’un point de vue pratique. Premièrement, elle permet d’utiliser des incréments de profondeur plus importants pour un même profil permettant ainsi des économies en temps et en coût. Deuxièmement, elle permet de conserver une haute précision de calcul des coefficients de correction même si la distribution choisie n’est par parfaitement constante entre les profondeurs de mesure. Il suffit que les contraintes à travers les couches soient relativement linéaires. Ce point représente un avantage majeur étant donné qu’il peut être ardu d’introduire un profil de contraintes résiduelles parfaitement constant sur toute la profondeur étudiée pour certaines géométries. Pour toutes ces raisons et étant donné qu’elle n’est pas plus compliquée à mettre en œuvre, la version améliorée de la méthode de correction par matrice de relaxation est utilisée pour le reste de la thèse.