Calcul des matrices de correction pour les deux géométries

Comme mentionné précédemment, deux géométries de disque sont utilisées pour les mesures de contraintes résiduelles dans ce projet. Les matrices de correction K’ doivent donc être déterminées dans les directions tangentielle et axiale pour le disque de 48 mm et dans la direction tangentielle seulement pour le disque de 106 mm afin de pouvoir corriger ces profils mesurés. Pour calculer ces matrices, deux modèles éléments finis 3D représentant ces disques ont donc été bâtis avec le logiciel ANSYS® en utilisant des éléments de type briques à 8 nœuds. La Figure 3.15 montre les deux maillages retenus.

Figure 3.15 Maillages retenus pour les calculs des matrices de correction des disques

Les maillages sont raffinés localement près de la zone polie par souci d’optimisation. Des équations de couplage sont utilisées entre les zones fines et les zones grossières. La symétrie de part et d’autre de la poche est mise à profit (avec les blocages appropriés) pour alléger le modèle et accélérer les calculs. De plus, dans le cas du disque de 106 mm le modèle ne représente qu’un quart de disque car les mesures réelles sont faites sur des demi-disques. Les blocages à ce plan de coupe virtuel sont quand même ceux d’un plan de symétrie afin de pouvoir introduire des contraintes résiduelles axisymétriques en chauffant (comme celles d’induction). Cette approximation a vraisemblablement un effet négligeable sur les coefficients K´ds considérant les résultats présentés à l’Annexe IV.

Les contraintes résiduelles sont encore une fois introduites par des chargements thermiques fictifs. Les propriétés du matériau sont les mêmes que dans la section précédente (E = 200

GPa, ν = 0,3). Dans les deux cas, une étude de convergence détaillée a été menée. Notons que la vérification de la convergence peut être plus délicate pour les poches 3D comparativement au polissage axisymétrique. En effet, la convergence sur les contraintes initiales ne garantit pas la convergence après enlèvement de plusieurs couches et nécessite donc des vérifications à plusieurs profondeurs s’étalant de la surface jusqu’à la profondeur maximale de mesure. De plus, un modèle peut être convergé pour une certaine géométrie de poche mais pas pour une autre provocant par exemple des gradients plus sévères lors du relâchement des contraintes (Savaria, Bridier et Bocher, 2012).

Une poche rectangulaire de 6 x 3 mm2 a été utilisée pour le polissage réel fait au laboratoire (section 3.2.1.5). La taille exacte de la poche dans le modèle doit elle être un multiple de la taille d’élément vu la méthode numérique utilisée pour simuler la redistribution des contraintes. De plus, dans les modèles la taille du rectangle varie légèrement avec la profondeur étant donné que les éléments sont désélectionnés angulairement. Cela ne cause pas de problème à priori car les modèles imitent en quelque sorte la tendance naturelle des poches d’électropolissage à devenir arrondies en leur fond et élargies en leur ouverture au fil des pas de mesure (parois inclinées). Les tailles réelles des premières poches dans les modèles étaient finalement de 5,85 x 3,00 mm2 pour le disque de 48 mm et de 5,55 x 3,00 mm2 pour le disque de 106 mm.

Des incréments de profondeur de 0,1 mm ont été utilisés pour les calculs. Une vérification avec des pas de 0,2 mm a donné des résultats identiques prouvant ainsi la convergence des corrections avec 0,1 mm. De plus, cet incrément est plus fin en général que les pas de mesure effectués expérimentalement. Il est donc jugé plus que suffisant pour la mesure de gradients de contraintes résiduelles dans des pièces induites. La profondeur enlevée maximale a été fixée à 2,5 mm; ce qui représente environ la limite atteignable par DRX avec ce type de poche. Le reste du calcul des matrices de correction K’ a été conduit comme expliqué dans les sections précédentes. La Figure 3.16 illustre une étape de relâchement numérique des contraintes résiduelles pour un disque.

Figure 3.16 Simulation du relâchement des contraintes résiduelles dans la direction tangentielle pour un disque de 48 mm

Les matrices K’ ont d’abord été calculées en utilisant des profils de contraintes résiduelles initiaux possédant des gradients très faibles et aucun changement de signe dans la zone étudiée (comme à la section précédente). Ce genre de distribution a été obtenu en chauffant sur plusieurs millimètres à partir de la surface extérieure. Par contre, pour ces deux géométries de disque et ce polissage local, les matrices semblaient présenter une certaine dépendance envers le profil utilisé pour les calculs. En effet, des erreurs significatives ont été observées entre les contraintes initiales (connues) et les valeurs corrigées en testant ces matrices sur des profils différents de type induction introduits numériquement dans les mêmes modèles et pour lesquels les contraintes ont été relevées au centre de la poche (le point de mesure virtuel) après chaque étape d’enlèvement de matière (écart de 50 à 70 MPa et de 48 à 87 MPa en moyenne sur les plateaux de contraintes pour le petit et le gros disque respectivement). Plusieurs simulations supplémentaires ont été menées afin de comprendre la provenance de ces erreurs. La source la plus plausible est la différence dans la distribution spatiale des contraintes résiduelles des profils de type gradient et celle des profils de type constant (choisis initialement pour éviter les problèmes liés aux changements de signe). Deux distributions de contraintes peuvent ainsi avoir exactement la même valeur de contrainte au centre de la poche mais pas nécessairement autour sur le reste de la surface de celle-ci. Cette situation pourrait alors causer différents comportement de relâchement même si la valeur

centrale est identique. Rappelons qu’une des hypothèses de la méthode est l’uniformité initiale des contraintes dans les directions perpendiculaires à la profondeur. Il est important de réaliser que cette méthode de correction tente ici de décrire un problème de relaxation 3D en n’ayant qu’une information expérimentale 1D (contrainte versus profondeur).

Afin de contourner ce problème et d’améliorer la précision des corrections, il est proposé d’utiliser des profils de contraintes de type gradient, les plus proches possibles des profils à mesurer, pour calculer les matrices K’. Les quelques coefficients erronés des colonnes des matrices autour des changements de signe peuvent être remplacés par les valeurs obtenues avec une autre distribution pour former une matrice dite « hybride ». Les colonnes erronées sont très facilement repérables car les coefficients ont des valeurs irréalistes (plusieurs centaines de %) et ne suivent clairement pas les tendances des colonnes précédentes et suivantes. Certains coefficients dans ces colonnes deviennent même positifs. Dans le cas des contraintes tangentielles, une combinaison de deux gradients ayant des changements de signe à des profondeurs différentes a été utilisée pour déterminer la matrice de correction hybride. Dans le cas des contraintes axiales, les coefficients erronés du gradient furent remplacés par ceux d’une distribution constante car dans ces géométries les distributions profondes induisent deux changements de signe pour σZ (les coefficients près de la surface sont inutilisables). Dans tous les cas, la distribution de base pour laquelle des colonnes devaient être remplacées était très proche des contraintes à corriger. La Figure 3.17 compare les résultats des tests de ces corrections avec matrices « hybrides » (notés EF-H) aux prédictions des équations de Moore et Evans sur un autre profil de type induction (différent de celui utilisé dans le calcul des matrices) et pour le disque de 48 mm. Les résultats pour le disque de diamètre 106 mm sont similaires et ne sont pas montrés pas souci de concision.

a)

b) Figure 3.17 Correction d’un gradient introduit dans le modèle du disque de

48 mm en utilisant les matrices hybrides pour σϴ (a) et σZ (b)

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 21,5 22 22,5 23 23,5 24 Co nt ra in te ( M P a) Rayon (mm) σθ initiales σθ mesurées σθ corrigées EF-H σθ corrigées M&E -1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 21,5 22 22,5 23 23,5 24 C on tr ai nte (M P a) Rayon (mm) σZ initiales σZ mesurées σZ corrigées EF-H σZ corrigées M&E

La Figure 3.17 montre clairement que les matrices K´ hybrides sont suffisamment précises pour être utilisés sur les mesures réelles du même type car les erreurs ne dépassent pas 50 MPa en général. Ces erreurs de corrections sont plus élevées dans la zone de tension étant donné l’approximation des coefficients en zone de transition et les accumulations possible d’erreur. D’un autre côté, les corrections de Moore et Evans donnent des résultats complètement faux pour ce cas d’un polissage local sur un disque mince. Ces corrections analytiques ne sont donc pas utilisées dans les sections suivantes.