Méthode de correction par matrice de relâchement des

Quelques chercheurs ont proposé l’utilisation de la méthode des éléments finis afin d’étudier la relaxation causée par l’enlèvement de matière et de repousser les limites des formules analytiques présentées à la section précédente, notamment au niveau de la complexité de la géométrie de la poche et de la pièce (Wenyu, 1988; Pedersen et Hansson, 1989). L’approche la plus récente et intéressante est la méthode par matrice de correction (FEA matrix

relaxation correction method) proposée par les chercheurs du laboratoire Lambda Research

(Hornbach, Prevéy et Mason, 1995; Lambda Research, 1996). Il convient d’abord de décrire cette méthode car elle constitue la base sur laquelle sera développée la méthode utilisée dans cette thèse.

L’idée fondamentale derrière cette approche est que la correction totale pour enlèvement de matière d’une contrainte résiduelle dans une direction donnée et à une certaine profondeur du profil de mesure dépend de deux facteurs seulement : la géométrie (pièce et poche d’électropolissage) et les contraintes résiduelles relâchées précédemment dans cette même direction. L’astuce est alors d’isoler l’effet de ces deux facteurs. Pour ce faire, il est nécessaire de mettre de l’avant plusieurs hypothèses :

• le relâchement et la redistribution des contraintes résiduelles au fil des enlèvements de matière est purement élastique,

• les contraintes résiduelles sont uniformes initialement le long de la surface de la poche d’électropolissage (directions perpendiculaires à la profondeur),

• les géométries de la pièce et de la poche utilisées au laboratoire sont identiques à celles utilisées dans les calculs numériques,

• il n’y a pas de couplage multiaxial, c’est-à-dire que le relâchement des contraintes dans une direction n’est pas affecté par le relâchement dans les autres directions, • les contraintes résiduelles sont considérées constantes à travers l’épaisseur de chaque

couche et égales aux contraintes mesurées sur le dessus de cette dernière.

Afin de faciliter la compréhension et d’introduire les différents termes qui seront utilisés dans les équations subséquentes, la Figure 3.13 schématise l’enlèvement de matière à une étape donnée.

Figure 3.13 Schématisation de l’enlèvement de matière par électropolissage. (Reproduit et adapté avec l’autorisation de

Dans cette méthode de correction, on considère que la variation locale de contrainte (Δσd)s observée à une certaine profondeur d après enlèvement de la couche s peut s’écrire comme suit pour une direction de contrainte résiduelle donnée :

(∆ ) = ( ) − ( ) = − . (3.7)

où Kds représente le coefficient de correction à la profondeur d associé à l’étape s. Le signe négatif devant ce terme signifie simplement que la correction doit être de signe opposé au relâchement. (σd)s and (σd)s-1 sont les contraintes au point d après enlèvement des couches s et s-1 respectivement. σms représente la contrainte mesurée sur le dessus de la couche s avant de l’enlever. Il est important de rappeler que, selon les hypothèses utilisées par les auteurs de la méthode originale, cette contrainte est considérée constante à travers toute l’épaisseur de la couche. Une certaine erreur dans les corrections sera alors inévitablement introduite lors d’une mesure dans un fort gradient de contraintes résiduelles.

Les auteurs de cette méthode postulent que les coefficients de correction Kds ne représentent que l’effet de la géométrie sur la relaxation et peuvent donc être calculés numériquement pour une certaine distribution de contraintes résiduelles connue et introduite dans la même structure. L’hypothèse d’indépendance des coefficients par rapport à la distribution des contraintes permet ensuite d’appliquer ces coefficients à n’importe quel profil mesuré sur cette même structure et en utilisant la même géométrie de poche pour l’enlèvement de matière. Aucune correction pour enlèvement de matière n’est nécessaire pour le premier point car ce dernier est mesuré directement à la surface initiale sans polissage. Pour tous les autres points, la valeur corrigée σcd se calcule à partir de la contrainte mesurée au point en cours σmd et des contraintes mesurées aux étapes précédentes σms comme suit :

= + .

L’utilisation d’une forme matricielle dans les calculs est clairement avantageuse dans ce cas ; d’où le nom de la méthode. L’équation précédente peut donc s’écrire :

= + (3.9)

où σc et σm représentent les vecteurs colonnes des contraintes corrigées et mesurées aux n points de mesure placés en ordre de profondeur. I et K sont la matrice identité et la matrice de correction contenant les coefficients Kds; toutes deux des matrices carrées de dimension n. La matrice K diffère d’une direction de contrainte à une autre. Tous les termes sur la diagonale et au dessus de celle-ci sont nuls car l’enlèvement d’une couche ne peut pas avoir d’effet sur les points de mesure des couches déjà enlevées.

Pour calculer cette matrice K en pratique, un modèle numérique de la pièce doit d’abord être bâti. Dans cette thèse, la méthode des éléments finis est utilisée à cette fin. Une distribution de contraintes résiduelles est ensuite introduite dans le modèle par un moyen quelconque (gradients thermiques fictifs, imposition de contraintes et déformations initiales, etc.) et les différentes étapes de polissage sont simulées une à une. Les contraintes dans les directions d’intérêt sont relevées à toutes les étapes et les coefficients de la matrice K sont calculés avec les équations précédentes (pour chaque direction de contrainte). La structure est bloquée au minimum, simplement afin d’empêcher les mouvements de corps rigide. Les forces de réaction sont donc nulles à toutes les étapes. Cela permet d’obtenir un champ de contraintes résiduelles auto-équilibrées (propriété fondamentale) qui est libre de se relaxer et redistribuer lors de l’enlèvement de matière.

En théorie la matrice K est indépendante du choix du profil de contraintes utilisé pour la calculer. Par contre, une certaine dépendance peut être observée car le parfait respect des hypothèses mentionnées ci-haut est souvent difficile. Il est préférable par exemple d’utiliser une distribution présentant un faible gradient de contraintes et qui est la plus constante possible pour le calcul des coefficients. Cela permet d’éviter d’introduire des erreurs significatives à cause du non-respect de l’hypothèse de la constance des contraintes à travers

l’épaisseur de chaque couche. Notons également que les changements de signe sont à éviter le plus possible car ils causent des erreurs lors du calcul des coefficients étant donné la division par une contrainte très proche de zéro. De plus, la présence de plasticité durant la redistribution des contraintes résiduelles est à vérifier et à éviter car elle rend également la matrice de correction dépendante du profil utilisé pour les calculs (Potdar et al., 2007). En fait, le relâchement des contraintes résiduelles à une certaine profondeur pendant une certaine étape de polissage ne sera plus linéairement proportionnel à la contrainte dans la couche enlevée si le matériau se comporte de façon non-linéaire. Pour finir, dans certains cas le relâchement dans une direction pourrait être affecté par les contraintes relâchées dans les autres directions. La présence possible de ces effets multiaxiaux est également abordée dans les sections suivantes.