UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 - The DART-Europe E-theses Portal

Ici U parcourt l’ensemble des exposants des monômes de L(ξ), c’est-à-dire le réseauMG. Donc :

W(ψ) ={V ∈W, hV, Ui ∈Z,∀U ∈MG}=

=W∩Hom(MG,Z) =WG. Nous avons obtenu :

Proposition 2.3.15 Soitf∈C{X}[Y]un polynôme quasi-ordinaire irréductible et ψ la projection quasi-ordinaire associée. Alors WG est le sous-groupe de W associé àψ, c’est-à-dire :

W(ψ) =WG.

Grâce à cette identification, la proposition 2.3.4 devient dans ce cas : Théorème 2.3.16 Pourǫsuffisamment petit,Z^ǫ(WG, σ0)est la normalisation de S^ǫ. Plus précisément, on a le diagramme commutatif suivant, dans lequel ν est un morphisme de normalisation :

(Z^ǫ(WG, σ0),0)

γW:WG

''O

OO OO OO OO OO

ν //(S^ǫ,0)

zzuuuuuuψuuu

(C²_ǫ,0)

A l’aide des propositions 2.3.8 et 2.3.15, nous obtenons la pr´ecision suivante sur les exposants des s´eries de Newton-Puiseux def :

Proposition 2.3.17 Les exposants des s´eries de Newton-Puiseux def sont des

éléments du semi-groupe(MG)+ :=MG∩σˇ0, c’est-à-dire :R(f)֒→C{(MG)+}.

2.4 Un algorithme pour les hypersurfaces quasi-ordinaires de dimension 2

Soit f ∈ C{X}[Y] un polynôme quasi-ordinaire irréductible, A l’algèbre associée etS un représentant du germeEÂ.

Nous nous proposons à présent de calculer les groupes Wk ainsi que les nombresNk, pour k∈ {1, ..., G}, en fonction des vecteurs A1, ..., AG, regardés comme des couples de nombres rationnels dans la base canonique (U⁽¹⁾, U⁽²⁾) de M, ainsi que la normalisée deS, à l’aide du théorème 2.3.16. On regarderaWk

en tant que sous-groupe d’indice fini deW, le réseau des poids étant muni de la base fixe (V⁽¹⁾, V⁽²⁾). Les résultats de ce calcul sont résumés dans le théorème 2.4.5 sous la forme d’un algorithme.

Dans le lemme qui suit, nous montrons comment paramétrer les sous-réseaux d’indice fini d’un réseau de rang 2 de base fixée, à l’aide d’un triplet d’entiers positifs. Par la suite, “calculer” un sous-réseau reviendra à calculer le triplet correspondant.

Lemme 2.4.1 Soit Wun r´eseau de rang 2 muni d’une base(V⁽¹⁾, V⁽²⁾). SiWˆ est un sous-r´eseau d’indice fini, il existe un unique triplet(R, S, T)∈N^∗×N× N^∗, avec S < R, tel que(RV⁽¹⁾, SV⁽¹⁾+T V⁽²⁾)soit une base deWˆ.

68 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Preuve : Montrons d’abord l’existence d’un tel triplet. L’intersection ˆW ∩ ZV⁽¹⁾ est non-nulle, sinon on aurait :

W ≃ˆ Wˆ/( ˆW ∩ZV⁽¹⁾)≃( ˆW+ZV⁽¹⁾)/ZV⁽¹⁾֒→ W/ZV⁽¹⁾≃ZV⁽²⁾, ce qui donnerait une injection ˆW → ZV⁽²⁾, en contradiction avec le fait que [W: ˆW]<+∞.

Soit alorsR∈N^∗,W ∩ˆ ZV⁽¹⁾=ZRV⁽¹⁾. La même suite de morphismes que précédemment montre que l’on a une injection :

Wˆ/ZRV⁽¹⁾−→ZV⁽²⁾,

et comme ZV⁽²⁾ est un Z-module libre, W/ZRV⁽¹⁾ l’est aussi, donc la suite exacte courte

0→ZRV⁽¹⁾→W →ˆ Wˆ/ZRV⁽¹⁾→0

est scindée, ce qui montre qu’il existe un vecteur SV⁽¹⁾+T V⁽²⁾ ∈ Wˆ dont l’image est un générateur de ˆW/ZRV⁽¹⁾. On peut bien sûr choisirT >0, puis S ∈ {0, ..., R−1}, en ajoutant un multiple convenable de RV⁽¹⁾. Le triplet (R, S, T) vérifie alors les propriétés de l’énoncé.

L’unicit´e est imm´ediate.

Introduisons alors la d´eﬁnition suivante :

Définition 2.4.2 Avec les hypothèses du lemme précédent, nous disons que (R, S, T)estle triplet associé à W: ˆWpar rapport à la base (V⁽¹⁾, V⁽²⁾).

Avec les mêmes hypothèses et notations que dans le lemme précédent, po-sons :

Vˆ⁽¹⁾:=RV⁽¹⁾

Vˆ⁽²⁾:=SV⁽¹⁾+T V⁽²⁾ (16)

et : T^′:= pgcd(R, S)>0,

R^′:= _T^R′, S^′ :=_T^S′,

ce qui implique que pgcd(R^′, S^′) = 1. De plus, commeS < R, on obtient :

0≤ S^′< R^′. (17)

Posons aussi : (

V⁽¹⁾ :=R^′T^′V⁽¹⁾

V⁽²⁾ :=R^′T V⁽²⁾ (18)

et introduisons le r´eseau :

W:=ZV⁽¹⁾+ZV⁽²⁾. On d´eduit imm´ediatement les relations :

(

V⁽¹⁾= ˆV⁽¹⁾

V⁽²⁾=R^′Vˆ⁽²⁾−S^′Vˆ⁽¹⁾ (19)

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 69

qui montrent que l’on a la suite d’inclusions : W ⊂W ⊂ Wˆ .

D’autre part, la relation (18) montre que V⁽¹⁾, V⁽²⁾ sont des générateurs (surR) des arêtes du côneσ. Le fait que pgcd(R^′, S^′) = 1 montre que ce sont des éléments primitifs de ˆW.

Les relations (17) et (19) permettent alors de voir, grˆace `a la proposition 2.2.4 :

Lemme 2.4.3 Si Wˆ est un sous-réseau d’indice fini de W, de triplet associé (R, S, T), que σ est le cône engendré par U⁽¹⁾, U⁽²⁾ et T^′ = pgcd(R, S), R^′ =R/T^′, S^′ =S/T^′, alors on a l’isomorphisme de surfaces toriques affines :

Z( ˆW, σ)≃ Z(R^′, S^′).

Le lemme précédent, joint au théorème 2.3.16, permet d’identifier le type de la singularité de Jung-Hirzebruch de la normalisée de (S,0) (dernière partie de l’énoncé de la proposition 2.4.5).

On se propose à présent de calculer le triplet associé à un sous-réseauW(A) deW, dual d’un réseauM(A) =M+ZA, où A∈ M^Q. C’est ce qui est fait dans le lemme suivant, en fonction des coordonnées deAdans la base canonique deM, vue comme base deM^Q.

Lemme 2.4.4 Soient M,W deux réseaux en dualité, munis des bases duales (U⁽¹⁾, U⁽²⁾), respectivement (V⁽¹⁾, V⁽²⁾). Soient A ∈ M^Q et W(A) le sous-réseau deW dual de M(A) :=M+ZA.

Ecrivons A = A⁽¹⁾U⁽¹⁾ + A⁽²⁾U⁽²⁾, avec A⁽ⁱ⁾ = ^P_Q⁽ⁱ⁾(i), P⁽ⁱ⁾ ∈ Z, Q⁽ⁱ⁾∈N^∗,pgcd(P⁽ⁱ⁾, Q⁽ⁱ⁾) = 1, pouri∈ {1,2}.

Posons D := pgcd(Q⁽¹⁾, Q⁽²⁾), Q := ppcm(Q⁽¹⁾, Q⁽²⁾), J⁽ⁱ⁾ := ^Q_D⁽ⁱ⁾ pour i∈ {1,2}. SoitK⁽¹⁾ l’unique élément de{0, ..., Q⁽¹⁾−1} qui vérifie :

• K⁽¹⁾= 0 si Q⁽¹⁾ = 1.

• K⁽¹⁾ =−J⁽¹⁾P⁽²⁾(P⁽¹⁾)⁻¹ dans l’anneau Z/Q⁽¹⁾Z(dans lequel P⁽¹⁾ est inversible) siQ⁽¹⁾6= 1.

Alors :

[W:W(A)] =Q,

et le triplet associé àW :W(A) par rapport à la base(V⁽¹⁾, V⁽²⁾) est : (Q⁽¹⁾, K⁽¹⁾, J⁽²⁾).

Preuve :On a :

W(A) ={V ∈ W,hV, Ai ∈Z}=

={C1V⁽¹⁾+C2V⁽²⁾∈ W, C1A⁽¹⁾+C2A⁽²⁾∈Z}.

De plus,Q=Q⁽¹⁾J⁽²⁾=Q⁽²⁾J⁽¹⁾, ce qui montre que l’on a la suite d’´equivalences : C1A⁽¹⁾+C2A⁽²⁾∈Z⇔C1

P⁽¹⁾J⁽²⁾ Q +C2

P⁽²⁾J⁽¹⁾

Q ∈Z⇔

⇔C1P⁽¹⁾J⁽²⁾+C2P⁽²⁾J⁽¹⁾∈QZ. (20)

70 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Par dualité, [W : W(A)] = [M(A) : M]. A son tour, l’indice de M dans M(A) est égal à :

min{m∈N^∗, mA∈ M} = min{m∈N^∗, mA⁽¹⁾∈Z, mA⁽²⁾∈Z}=

= ppcm(Q⁽¹⁾, Q⁽²⁾) =Q.

La première affirmation de l’énoncé est démontrée.

Posons :

W¹(A) :=W(A)∩ZV⁽¹⁾.

Alors : C1V⁽¹⁾ ∈ W¹(A) ⇔ C1A⁽¹⁾ ∈ Z ⇔ Q⁽¹⁾ | C1, ce qui montre que W¹(A) =ZQ⁽¹⁾V⁽¹⁾.

SoientC1, C2∈Ztels queQ⁽¹⁾V⁽¹⁾ etC1V⁽¹⁾+C2V⁽²⁾forment une base de W(A). Il existe de tels nombres d’apr`es le lemme 2.4.1. Alors :

det

Q⁽¹⁾ 0 C1 C2

= [W :W(A)] =Q, ce qui implique queC2= _Q^Q(1) =J⁽²⁾.

La propri´et´e (20) devient, avecC2=J⁽²⁾ :

C1P⁽¹⁾J⁽²⁾+J⁽²⁾P⁽²⁾J⁽¹⁾∈Q⁽¹⁾J⁽²⁾Z ⇔C1P⁽¹⁾+P⁽²⁾J⁽¹⁾∈Q⁽¹⁾Z⇔

⇔C1P⁽¹⁾ =−P⁽²⁾J⁽¹⁾ dansZ/Q⁽¹⁾Z.

Si Q⁽¹⁾= 1, commeK⁽¹⁾≤Q⁽¹⁾−1 ⇒K⁽¹⁾= 0.

Sinon, comme pgcd(P⁽¹⁾, Q⁽¹⁾) = 1,P⁽¹⁾ est inversible dansZ/Q⁽¹⁾Z, et la dernière égalité devient :

C1=−J⁽¹⁾P⁽²⁾(P⁽¹⁾)⁻¹ dansZ/Q⁽¹⁾Z.

Le lemme est d´emontr´e.

Le lemme précédent permet de calculer par récurrence croissante sur kles réseauxWk, en posant à chaque fois M=M_k−1, A=Ak, ∀k∈ {1, ..., G}.

Plus précisément, d’après le lemme 2.4.1, pour chaquek∈ {1, ..., G}, il existe un unique triplet (Rk, Sk, Tk)∈N^∗×N×N^∗, avecSk ∈ {0, ..., Rk−1}, tel que (V_k⁽¹⁾, V_k⁽²⁾) soit une base deWk, où :

(

V_k⁽¹⁾=RkV⁽¹⁾

V_k⁽²⁾=SkV⁽¹⁾+TkV⁽²⁾ (21) Posons aussi :

V₀⁽¹⁾:=V⁽¹⁾, V₀⁽²⁾:=V⁽²⁾, (R0, S0, T0) := (1,0,1).

Nous nous proposons de calculer par r´ecurrence les triplets (Rk, Sk, Tk) ainsi que les nombresNk, pourk∈ {1, ..., G}.

Supposons (Rk−1, Sk−1, Tk−1) connu, pour k ∈ {1, ..., G}, et calculons le triplet (Rk, Sk, Tk). Nous avons :

Wk={V ∈W_k−1, hV, Aki ∈Z}.

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 71

Ecrivons les vecteurs V ∈W_k−1 sous la formeV =C1V_k⁽¹⁾₋₁+C2V_k⁽²⁾₋₁, avec (C1, C2)∈Z². Alors :

hV, Aki =hC1Rk−1V⁽¹⁾+C2(Sk−1V⁽¹⁾+Tk−1V⁽²⁾), Aki=

= (C1Rk−1+C2Sk−1)A⁽¹⁾_k +C2Tk−1A⁽²⁾_k =

=C1Rk−1A⁽¹⁾_k +C2(Sk−1A⁽¹⁾_k +Tk−1A⁽²⁾_k ).

Ecrivons sous forme irr´eductible :







Rk−1A⁽¹⁾_k = ^P

(1) k

Q⁽¹⁾_k

S_k−1A⁽¹⁾_k +T_k−1A⁽²⁾_k = ^P

(2) k

Q⁽²⁾_k

avecQ⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ∈N^∗. Par le lemme 2.4.4, on a : Nk= ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ).

D’apr`es le mˆeme lemme, si l’on pose :











Qk:= ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ) Dk:= pgcd(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ) J_k⁽ⁱ⁾:=^Q

(i) k

Dk , pouri∈ {1,2} K_k⁽¹⁾∈ {0, ..., Q⁽¹⁾_k −1}, K_k⁽¹⁾=

( −J_k⁽¹⁾P_k⁽²⁾(P_k⁽¹⁾)⁻¹dansZ/Q⁽¹⁾_k Z, siQ⁽¹⁾_k 6= 1, 0, siQ⁽¹⁾_k = 1,

on d´eduit qu’une base deWk est : ( Q⁽¹⁾_k V_k⁽¹⁾₋₁ =Q⁽¹⁾_k Rk−1V⁽¹⁾

K_k⁽¹⁾V_k−1⁽¹⁾ +J_k⁽²⁾V_k−1⁽²⁾ = (K_k⁽¹⁾Rk−1+J_k⁽²⁾Sk−1)V⁽¹⁾+J_k⁽²⁾Tk−1V⁽²⁾ On a ainsi obtenu un algorithme pour le calcul des triplets associés par le lemme 2.4.1 aux sous-réseauxWk deW, des nombresNk, ∀k∈ {1, ..., G}, ainsi que de la normaliséeZ(WG, σ) (voir la proposition 2.3.16) à partir de la donnée d’une suite A1 <· · · < AG^′. En particulier, si la suite contient les exposants caractéristiques de f mais aussi éventuellement d’autres termes, l’algorithme permet d’en extraire exactement les exposants caractéristiques. Ainsi :

Ak est caract´eristique ⇔ Nk>1.

Le théorème suivant résume cet algorithme, en supposant les exposants ca-ractéristiques déjà connus :

Théorème 2.4.5 Soit f ∈ C{X1, X2}[Y] un polynôme quasi-ordinaire irré-ductible, d’exposants caractéristiques A1, ..., AG ∈ MQ. Posons (R0, S0, T0) :=

(1,0,1). Sik∈ {1, ..., G}et(R_k−1, S_k−1, T_k−1)est connu, d´efinissons les nombres

72 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

P_k⁽ⁱ⁾, Q⁽ⁱ⁾_k , Qk, Dk, J_k⁽ⁱ⁾, K_k⁽¹⁾∈N ainsi :

P_k⁽¹⁾

Q⁽¹⁾_k :=Rk−1A⁽¹⁾_k , pgcd(P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) = 1,

P_k⁽²⁾

Q⁽²⁾_k :=Sk−1A⁽¹⁾_k +Tk−1A⁽²⁾_k , pgcd(P_k⁽²⁾, Q⁽²⁾_k ) = 1, Qk := ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ),

Dk:= pgcd(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ), J_k⁽ⁱ⁾:=^Q

(i) k

Dk,pouri∈ {1,2}, K_k⁽¹⁾∈ {0, ..., Q⁽¹⁾_k −1}, K_k⁽¹⁾=

( −J_k⁽¹⁾P_k⁽²⁾(P_k⁽¹⁾)⁻¹dansZ/Q⁽¹⁾_k Z, siQ⁽¹⁾_k 6= 1, 0, siQ⁽¹⁾_k = 1,

On obtient alors le triplet(Rk, Sk, Tk)de la mani`ere suivante :







Rk =Q⁽¹⁾_k R_k−1,

Sk ∈ {0, ..., Rk−1}, Sk ≡(K_k⁽¹⁾R_k−1+J_k⁽²⁾S_k−1) modRk, Tk=J_k⁽²⁾T_k−1.

De plus :

Nk=Qk. Si on note :

T_G^′ := pgcd(RG, SG), R^′_G:= ^R_T^G′

G, S_G^′ := ^S_T^G′

alors Z^ǫ(R_G^′ , S_G^′ ) est une normalis´ee de S^ǫ, pour ǫ ∈R^∗₊×R^∗₊ suffisamment petit.

Remarque : Dans la proposition précédente,X1 et X2 ne jouent pas des rôles symétriques. Ainsi, on obtient immédiatement :

P_k⁽¹⁾

Q⁽¹⁾_k =Q⁽¹⁾₁ · · ·Q⁽¹⁾_k−1A⁽¹⁾_k , ∀k∈ {1, ..., G}, ou bien :

A⁽¹⁾_k = P_k⁽¹⁾

Q⁽¹⁾₁ · · ·Q⁽¹⁾_k , pgcd(P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) = 1, ∀k∈ {1, ..., G},

ce qui montre que le couple (P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) est uniquement déterminé par la connais-sance des nombres rationnels A⁽¹⁾₁ , ..., A⁽¹⁾_k . Les formules obtenues sont sem-blables à celles entre exposants caractéristiques et “paires caractéristiques”

dans le cas des courbes planes (voir [38], [41]). Mais le couple (P_k⁽²⁾, Q⁽²⁾_k ) n’est pas d´etermin´e parA⁽²⁾₁ , ..., A⁽²⁾_k , comme on peut le voir en comparant les deux exemples qui suivent :

Exemples :

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 73

1) Soit le casA1= (¹₂,¹₂), A2= (²₃,⁴₃). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,2), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,2), Q1=D1= 2, J₁⁽¹⁾=J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾= 1, (R1, S1, T1) = (2,1,1),

(P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (4,3), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (2,1), Q2= 3, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 3, J₂⁽²⁾= 1, K₂⁽¹⁾= 0, (R2, S2, T2) = (6,1,1),

normalis´ee :Z(6,1).

2) Soit le casA1= (1,¹₂), A2= (1,⁴₃). Alors :

(P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,1),(P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,2), Q1= 2, D1= 1, J₁⁽¹⁾= 1, J₁⁽²⁾= 2, K₁⁽¹⁾= 0, (R1, S1, T1) = (1,0,2),

(P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (1,1), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (8,3), Q2= 3, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 1, J₂⁽²⁾= 3, K₂⁽¹⁾= 0, (R2, S2, T2) = (1,0,6),

normalis´ee :Z(1,0).

On pourrait s’attendre à ce que les nombresN1, ..., NGsoient déterminés par les dénominateurs des nombresA⁽¹⁾₁ , A⁽²⁾₁ , ..., A⁽¹⁾_G , A⁽²⁾_G mis sous forme irréductib-le, par analogie avec le cas des germes de courbes planes. Ceci n’est pas le cas, comme on peut le voir en comparant les deux exemples qui suivent, où ces dénominateurs co¨ıncident, mais les suitesN1, ..., NG diffèrent :

Exemples :

3) Soit le casA1= (¹₄,¹₄), A2= (₂₀⁷,¹⁹₂₀). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,4), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,4), N1=Q1=D1= 4, J₁⁽¹⁾=J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾ = 3, (R1, S1, T1) = (4,3,1),

(P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (7,5), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (2,1),

N2=Q2= 5, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 5, J₂⁽²⁾= 1, K₂⁽¹⁾ = 4, (R2, S2, T2) = (20,19,1),

normalis´ee :Z(20,19).

4) Soit le casA1= (¹₄,¹₄), A2= (₂₀⁷,¹⁷₂₀). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,4),(P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1,4), N1=Q1=D1= 4, J₁⁽¹⁾=J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾= 3, (R1, S1, T1) = (4,3,1),

(P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (7,5),(P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (19,10),

N2=Q2= 10, D2= 5, J₂⁽¹⁾= 1, J₂⁽²⁾= 2, K₂⁽¹⁾= 3, (R2, S2, T2) = (20,18,2),

normalis´ee :Z(10,9).

74 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Remarque : Un calcul topologique des invariants de Jung-Hirzebruch (R^′_G, S_G^′ ) de la normalis´ee, est implicitement contenu dans [8]. En eﬀet, le “link”

de la normalis´ee est un espace lenticulaireL(p, q) et A.Costa donne des formules qui relientpetqaux exposants caract´eristiques. En fait, on peut prendre comme paire (p, q) la paire (R^′_G, S_G^′ ). Les calculs de [8] sont moins explicites que les notres.

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