Lemme 3.9.3 Soit ξ ∈ R(f) quelconque et A ∈ Supp(ξ). Si on pose q:= max{k, A(f)k ≤tA}, alors A∈Mq(f).
Preuve : Soit σ ∈ Gal(L(f)G(f) : L(f)q ) quelconque. Alors σ fixe tous les monˆomesXA(f)1 , ..., XA(f)q , doncvX(σ(ξ)−ξ)>tA(f)q ⇒vX(σ(ξ)−ξ)≥tA(f)q+1 ⇒
⇒σ(XA) =XA,par la d´efinition deq. Comme ceci est vrai pourσquelconque, la th´eorie de Galois implique que XA ∈ L(f)q 3.7.9
= L[XMq(f)]. On en d´eduit
facilement queA∈Mq(f).
Lemme 3.9.4 Soientq∈ {1, ..., G(f)}etm∈Z. Alors : mB(f)q ∈Hq(f)−1⇔mA(f)q ∈Mq(f)−1⇔Nq(f)|m.
Preuve :Par la d´efinition (47) et le lemme 3.9.2 on a : mB(f)q ∈Hq(f)−1⇔mB(f)q ∈Hq(f)−1. ce qui est bien ´equivalent `amA(f)q ∈Mq−1(f).
Puis :
mA(f)q ∈Mq−1(f) ⇔mA(f)q = 0 dansMq(f)/Mq−1(f).
MaisMq(f)/Mq−1(f) est un groupe cyclique engendr´e par la classe deA(f)q . Par le lemme 3.7.9 :
|Mq(f)/Mq(f)−1|= [L(f)q :L(f)q−1] =Eq(f)−1:Eq(f)=Nq(f).
Ceci montre que l’ordre deA(f)q dans ce groupe estNq(f), ce qui est ´equivalent
`
a la propri´et´e voulue.
Lemme 3.9.5 Sih∈ Idest comparable `af etK(f, h)>tA(f)q , q∈ {1, ..., G(f)}, alors d(f)
Eq(f) |d(h). En particulier d(h)≥ d(f)E(f)
q
.
Preuve :Si h∈ Id est comparable `af etK(f, h)>tA(f)q , cela signifie que lesq premiers exposants caract´eristiques dehco¨ıncident avec ceux de f, donc L(h)q =L(f)q . Mais d(h)(62)= [L(h)G(h):L(h)q ]·[L(h)q :L],d’o`u :
[L(f)q :L]|d(h)(60)⇔ d(f) Eq(f)
|d(h)
et le lemme est d´emontr´e.
Lemme 3.9.6 Si h ∈ Id est comparable `a f et K(f, h) <t A(f)q+1, q∈ {0, ..., G(f)}, alors(f, h)∈Hq(f).
Preuve :On peut supposer que l’indice q de l’´enonc´e est minimum parmi ceux qui v´erifient K(f, h) <t A(f)q+1. On va consid´erer deux cas, suivant que l’ordre de co¨ıncidenceK(f, h) est ou non un exposant caract´eristique def.
136 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
1) Supposons queK(f, h) =A(f)q .
La proposition 3.4.7 montre que (f, h) = d(h)E
(f)
d(f) ∈ Z. Donc par le lemme 3.9.2, les deux premiers termes du membre droit de (68) appartiennent `aHq(f). Il suffit donc de prouver que :
d(h)Eq(f)K(f, h)∈Hq(f). (69) Consid´erons deux sous-cas, suivant que K(f, h)∈Mq(f)ou non.
2.1) Supposons que K(f, h)∈Mq(f). Par le lemme 3.9.5, d(f)
Eq(f) | d(h) ⇒ d(h)Eq(f)K(f, h) ∈ Zd(f)K(f, h) ⊂
⊂d(f)Mq(f)=Hq(f), ce qui d´emontre (69) dans ce cas.
2.2) Supposons que K(f, h)∈/ Mq(f).
Si K(f, h) est dans le support d’une racine de f, l’hypoth`ese A(f)q−1 <t K(f, h) <t A(f)q et le lemme 3.9.3 montrent que K(f, h) ∈ Mq(f), ce qui est une contradiction.
Donc K(f, h) est forc´ement dans le support d’une racine de h et comme K(f, h) ∈/ Mq(f) = Mq(h), le mˆeme argument que pr´ec´edemment montre que K(f, h) est forc´ement le (q + 1)-`eme exposant caract´eristique de h : K(f, h) =A(h)q+1.
Enfin, nous pouvons prouver la proposition principale de cette section : Proposition 3.9.7 Si f ∈ Id et g ∈ Ud sont quasi-ordinaires, comparables et queq∈ {1, ..., G(f)}, alors les deux propri´et´es suivantes deg sont ´equivalentes :
3.9 LE CAS D’UN POLYN ˆOME IRR ´EDUCTIBLE 137
Preuve :
2⇒1 : Appliquons la proposition 3.4.6 : (f, g) =ν(f)◦ρ(f)([g](f)) =
1⇒2 : Nous allons prouver l’implication par r´ecurrence sur q. Pourq = 0 elle est ´evidente. Supposons-la vraie pourq−1≥0 et montrons-la pourq. Nous indiquons par le symbole “•” les points d’articulation du raisonnement.
•S’il existe i∈I(g) tel queK(f, gi)>tA(f)q , par le lemme 3.9.5 nous avons d(gi)≥Ed(f)(f)
q
, ce qui contredit l’hypoth`esed(g) = d(f)
Eq(f) −1. Donc : 3.9.4. De la propri´et´e (70) on d´eduit :
∃i∈I(g), K(f, gi) =A(f)q . (71)
138 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
0≤Nq(f)−1−x≤Nq(f)−1.
Mais∀j∈I(h), K(f, hj)<tA(f)q et par le lemme 3.9.6 on d´eduit (f, h)∈Hq−1(f). Le lemme 3.9.2 implique alors que (Nq(f)−1−x)B(f)q ∈Hq(f)−1et grˆace au lemme 3.9.4 on voit que :
x=Nq(f)−1.
Donc :
d(h′) = d(f) Eq(f)
− d(f)
E(f)q−1, (f, h′) = (Nq(f)−1)B(f)q .
On d´eduit que h v´erifie les hypoth`eses du point 1) `a l’ordre q−1 et la
r´ecurrence est compl´et´ee.
Remarque : En combinant les propositions 3.4.2, 3.5.1, 3.5.3, 3.9.1, 3.9.7, on voit que, dans le cas o`uf ∈ Cdest irr´eductible, les deux types d’informations initiales permettant le calcul de la 0-chaˆıne [fY](f) sont ´equivalentes. Il s’agit d’une part de l’information fournie par la proposition 3.6.1 `a la Kuo-Lu et d’autre part de celle fournie par la proposition 3.9.1.
3.10 G´ en´ eralisation au cas des polynˆ omes quasi-ordinaires de Laurent
Dans les sections 3.1-3.6 on a ´etudi´e les polynˆomes m´eromorphes, puis on a montr´e que cette ´etude s’´etend au cas des polynˆomes quasi-ordinaires, avec une certaine restriction de comparabilit´e entre les polynˆomes ´etudi´es.
Nous introduisons `a pr´esent une classe de polynˆomes qui g´en´eralise `a la fois les polynˆomes m´eromorphes et les polynˆomes quasi-ordinaires et pour lesquels, sous la mˆeme restriction que pour les polynˆomes quasi-ordinaires, l’´etude qui pr´ec`ede reste encore valable.
Soitd∈N∗. Notons :
ChhXii:=C[[X]][X−1].
C’est la localisation de l’anneauC[[X]] par rapport au syst`eme multiplicatif des monˆomes en X1, ..., Xd.
Introduisons les ensembles Id′ ⊂ Ud′ ⊂ A′d, d´efinis de la mani`ere suivante : A′d:=ChhXii[Y],
Id′ := ensemble des polynˆomes unitaires irr´eductibles dansA′d, Ud′ := ensemble des polynˆomes unitaires dansA′d.
Introduisons aussi l’anneau C^hhXii, construit `a partir de ChhXii comme l’anneau C[[X]] le fut `^ a partir de C[[X]] (voir la section 3.7). Les notions de terme dominant, monˆome dominant, comparabilit´es’´etendent sans changements
`
a ce contexte plus g´en´eral.
D´efinition 3.10.1 Soitf ∈ Ud′. On dit quef est unpolynˆome quasi-ordinaire de Laurentsi son discriminant admet un terme dominant dansChhXii.
R ´EF ´ERENCES 139
On a la proposition suivante, qui g´en´eralise la proposition 3.7.5 :
Proposition 3.10.2 Le polynˆome f ∈ Ud′ est quasi-ordinaire de Laurent si et seulement si ses racines sont contenues dans la C-alg`ebre ChhXii et sont comparables entre elles.
Preuve :Supposons d’abord quef ∈ Ud′ est quasi-ordinaire de Laurent et soitN:=d(f). Consid´eronsm∈C[[X]]− {0}et le polynˆomeg∈ A′d d´efini par la relation :
g(mY) =mNf(Y).
On voit queg estunitaire.
On en d´eduit imm´ediatement :
R(g) =mR(f).
Les racines des polynˆomes sont prises dans une clˆoture alg´ebrique fix´ee du corps des fractions deC[[X]], contenant laC-alg`ebreChhXii. Donc :
∆Y(g) = Y
ζ6=ζ′
ζ,ζ′∈R(g)
(ζ−ζ′) =mN(N−1)∆Y(f).
Prenons en particulier pourmunmonˆomedeC[[X]] tel queg∈ Ud (ce qui est toujours possible si les exposants demsont suffisamment grands).
Comme ∆Y(f) ∈ ChhXii admet un terme dominant, c’est aussi le cas pour mN(N−1)∆Y(f), c’est-`a-dire pour ∆Y(g), ce qui montre que g est quasi-ordinaire. Par la proposition 3.7.5, les racines degsont dansC[[X]] et sont com-^ parables entre elles. MaisR(f) =m−1R(g), ce qui montre queR(f)⊂C^hhXii et que ces racines sont aussi comparables entre elles.
La r´eciproque se prouve de la mˆeme mani`ere que l’implication analogue de
la proposition 3.7.5.
La proposition pr´ec´edente permet de d´efinir l’ordre de co¨ıncidence des po-lynˆomes quasi-ordinaires de Laurent irr´eductibles qui sont comparables, puis l’arbre d’Eggers-Wall Θ(f) d’un polynˆome quasi-ordinaire de Laurentf et le complexe simplicial associ´eθ(f). Le reste des sections 3.7, 3.8 et 3.9 se g´en´eralise ensuite sans changements `a ce contexte, ce qui est facile `a v´erifier par une simple inspection.
R´ ef´ erences
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140 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
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141
4 Une d´ ecomposition en paquets de certains entrelacs dans les 3-vari´ et´ es irr´ eductibles
Etant donn´e un germeC de courbe analytique plane r´eduite, on lui associe son “arbre d’Eggers” T(C) `a partir des s´eries de Newton-Puiseux de ses composantes irr´eductibles. Celui-ci code la topologie plong´ee locale du germeC. De plus, on peut associer alg´ebriquement un sommet ou une arˆete deT(C) `a tout autre germe irr´eductibleD.
Nous interpr´etons ce fait topologiquement, en montrant en premier lieu que T(C) est canoniquement isomorphe - ´eventuellement `a un sommet pr`es - `a l’arbre minimal de Waldhausen du compl´ementaire M(C) de l’entrelacs deC dans une sph`ere de Milnor. En deuxi`eme lieu, si K(D) est le nœud de D dans M(C), nous montrons que l’on peut caract´eriser topologiquement la “pi`ece” ou la “paroi” qui correspond via l’isomorphisme pr´ec´edent au sommet ou `a l’arˆete associ´ee `a D dans T(C). Pour cela nous prouvons un th´eor`eme g´en´eral sur la localisation `a isotopie pr`es des nœuds “isolables” et
“s´edentaires” dans les 3-vari´et´es compactes, orientables et irr´educti-bles dont le bord, s’il est non-vide, est form´e uniquement de tores.
Ce th´eor`eme constitue la partie essentielle du travail.
4.1 Introduction
SoitC ֒→S un germe de courbe analytique complexe r´eduite, plong´e dans une surface lisse. En choisissant des coordonn´ees locales (x, y) et une fonction de d´efinition f pour C, la courbe est d´efinie par l’´equation f(x, y) = 0 dans un voisinage de 0 ∈ C2. Avoir fix´e une fonction et des coordonn´ees permet d’introduire le lieu des points de tangence des lignes de niveauf =constante avec les droites de direction fix´ee dans C2. Les fermetures de ces lieux sont de dimension 1, elles forment un pinceau de courbes polaires, d´efinies par les
´equationsa∂f∂x+b∂f∂y = 0, avec (a:b)∈CP1.
Mˆeme si elles d´ependent de l’´equation de d´efinition f, nous parlerons plus simplement descourbes polaires de la courbeC. Leur ´etude semble ˆetre apparue au XIX-`eme si`ecle dans le cadre de la th´eorie de la dualit´e des courbes planes (voir [4], [62] et [63]). Plus r´ecemment, une th´eorie g´en´erale des courbes polaires des germes d’hypersurfaces analytiques `a singularit´es isol´ees est d´evelopp´ee par B.Teissier dans [61].
L’origine de ce travail est la comparaison des divers th´eor`emes de structure concernant les courbes polaires g´en´eriques d’un germe de courbe plane r´eduite.
Les premiers r´esultats de ce genre semblent ˆetre ceux de H.J.S.Smith dans [57].
Dans [41], M.Merle ´enonce un th´eor`eme de structure concernant les courbes polaires g´en´eriques lorsqueC est irr´eductible. Il fut g´en´eralis´e au cas o`u C a deux composantes irr´eductibles par F.Delgado dans [11]. Des r´esultats beaucoup plus pr´ecis furent obtenus par E.Casas dans [8] pour un nombre quelconque de composantes irr´eductibles, mais avec la restriction de g´en´ericit´e pour le type d’´equisingularit´e. Ces r´esultats g´en´eralisaient au cas de plusieurs composantes irr´eductibles ceux obtenus dans [6] et [7].
Dans [36], D.T.Lˆe, F.Michel et C.Weber prouvent un th´eor`eme de structure des polaires g´en´eriques d’un germe plan r´eduitC quelconque, en fonction de la
142 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES
r´esolution plong´ee minimale. La preuve utilise les r´esultats topologiques publi´es dans [37]. Une premi`ere ´ebauche de ces id´ees est donn´ee dans [34]. Un autre th´eor`eme de structure, plus pr´ecis que celui de [36], a ´et´e d´emontr´e par des moyens purement alg´ebriques par E.Garc´ıa Barroso dans [18], [21] et utilis´e dans [19], [20]. Ce th´eor`eme fait intervenir un objet combinatoire, l’arbre d’Eggers deC, introduit initialement dans [12] pour le mˆeme probl`eme de structure des courbes polaires.
L’arbre d’Eggers est construit `a partir des s´eries de Newton-Puiseux dans des coordonn´ees g´en´eriques des diverses branches de la courbeC et ne fait pas intervenir le processus de r´esolution des singularit´es. Ses sommets sont colori´es en noir et blanc. Le th´eor`eme de structure des courbes polaires g´en´eriques publi´e dans [21] donne une d´ecomposition de ces courbes en union de courbes, des
“paquets” de composantes irr´eductibles qui sont naturellement mis en bijection avec les sommets de l’arbre d’Eggers deC, et pr´ecise la multiplicit´e de chaque paquet. Dans [10], N.Corral g´en´eralise ce th´eor`eme aux courbes polaires de certains feuilletages, ceux “de type courbe g´en´eralis´ee non dicritique”.
La d´efinition de l’arbre d’Eggers est modifi´ee par C.T.C.Wall dans [69], dans le but d’obtenir une preuve simplifi´ee du th´eor`eme de structure des polaires g´en´eriques. A chaque courbe irr´eductible D est associ´e un point dans l’arbre d’Eggers deC vu en tant qu’espace topologique. Une courbe r´eduiteD′ quel-conque se trouve alors naturellement d´ecompos´ee en union de paquets, chacun de ceux-ci regroupant les composantes irr´eductibles deD′ qui sont associ´ees `a un mˆeme point de l’arbre d’Eggers.
Nous avons g´en´eralis´e cette approche dans [51] afin d’obtenir un th´eor`eme de d´ecomposition de la d´eriv´ee de certains polynˆomes quasi-ordinaires. En par-ticulier, nous avons g´en´eralis´e la notion d’arbre d’Eggers aux polynˆomes quasi-ordinaires r´eduits.
Des arbres reli´es sont employ´es par S.S.Abhyankar et A.Assi dans [1] pour l’´etude plus g´en´erale de la courbe jacobienne de deux germes plans. L’´etude de ces courbes jacobiennes est faite par H.Maugendre dans [38], [39], [40] de mani`ere topologique, dans l’esprit de [36], [37]. Dans [60] et [59] S.Taher obtient des r´esultats du mˆeme type pour des germes de fonctions d´efinies au voisinage d’une singularit´e normale de surface, `a l’aide de techniques topologiques semblables.
Ces techniques topologiques utilisent de mani`ere essentielle la th´eorie de Jaco-Shalen-Johannson des d´ecompositions canoniques des vari´et´es irr´eductibles de dimension 3 `a l’aide de tores incompressibles. Les th´eor`emes de structure obtenus ainsi pour les courbes polaires et les courbes jacobiennes localisent les points d’intersection de leurs transform´ees strictes avec le diviseur exceptionnel d’une r´esolution minimale simultan´ee de la surface et des courbes ´etudi´ees.
En nous restreignant `a une courbe d´efinie sur un germe de surface lisse, nous nous sommes demand´e en premier lieu s’il y avait un lien direct - qui ne fasse pas intervenir les courbes polaires - entre l’arbre d’EggersT(C) et le diviseur exceptionnel de la r´esolution minimale plong´ee de la courbe. En ce sens nous montrons dans le th´eor`eme 4.4.1 que l’on peut obtenir de mani`ere canonique `a partir du diviseur exceptionnel un graphe qui est isomorphe `a l’arbre d’Eggers.
Ce graphe est d´efini simplement en ne gardant que les sommets “de rupture” de l’arbre dual du diviseur exceptionnel et, dans certains cas, la “racine” de l’arbre.
Ceci nous permet d’obtenir (th´eor`eme 4.11.2) une interpr´etation topologique de l’arbre d’Eggers `a l’aide de la th´eorie de Waldhausen-Jaco-Shalen-Johannson :
4.1 INTRODUCTION 143
l’arbre d’Eggers “r´eduit” ˇT(C) - isomorphe `a T(C) ´eventuellement `a sa racine pr`es - est isomorphe au “graphe d’adjacence” de la structure minimale de Wald-hausen du compl´ementaire d’un voisinage tubulaire ouvert de l’entrelacs de la courbe dans une sph`ere de Milnor. Ce graphe d’adjacence est isomorphe au sous-graphe complet du graphe d’Eisenbud-Neumann ([13]) dont les sommets sont les “nœuds” et les “fl`eches”.
Dans une premi`ere version de ce travail nous nous ´etions arrˆet´e l`a. Mais une fois connue l’´etude [69] de Wall, nous nous sommes demand´e si l’on pouvait aussi interpr´eter topologiquement l’association `a n’importe quelle courbe irr´eductible D d’un “point d’attache” - comme nous l’appelons ici - dans l’arbre d’Eggers T(C). Nous avons r´eussi `a le faire dans le th´eor`eme 4.11.4. Comme pr´ealable, nous d´emontrons le th´eor`eme 4.9.7 concernant une classe de nœuds plong´es dans les vari´et´es irr´eductibles, les nœuds “isolables” et “s´edentaires”. Ce th´eor`eme explique qu’il y a une mani`ere canonique d’associer `a un tel nœud soit une
“pi`ece”, soit une “paroi” d’une structure minimale de Jaco-Shalen-Johannson de la vari´et´e.
Dans notre cas, cela s’applique `a l’intersectionK(D) d’un germe irr´eductible Davec une sph`ere de Milnor pourC∪D, intersection que l’on regarde comme un nœud du compl´ementaireM(C) de l’entrelacsK(C) de la courbe initiale dans la sph`ere de Milnor. Ce compl´ementaire est bien irr´eductible et le nœudK(D) est isolable et s´edentaire. La structure minimale de Jaco-Shalen-Johannson de M(C) co¨ıncide avec sa structure minimale de Waldhausen. Comme les pi`eces de cette structure correspondent, par construction, aux sommets de son graphe d’adjacence et les parois `a ses arˆetes, nous obtenons une mani`ere topologique d’associer `aDun sommet ou une arˆete de ce graphe d’adjacence. Via le th´eor`eme d’isomorphisme 4.11.2, nous obtenons ainsi une mani`ere topologique d’associer
`
aDun sommet ou une arˆete de l’arbre d’Eggers r´eduit ˇT(C). Cette association co¨ıncide avec celle obtenue alg´ebriquement, via le “point d’attache”, c’est le contenu du th´eor`eme 4.11.4.
Nous esp´erons que cette ´etude puisse ˆetre utile dans deux directions.
Tout d’abord, afin de g´en´eraliser la notion d’arbre d’Eggers T(C) `a une courbe C d´efinie sur un germe de surface Σ qui n’est pas forc´ement lisse, un candidat naturel pour le complexe simplicial correspondant ´etant le graphe de Waldhausen du compl´ementaire de l’entrelacs de la courbe dans le “link” du germe de surface. La g´en´eralit´e de la proposition 4.9.7 permet alors d’associer topologiquement un point ou une arˆete deT(C) `a une courbe irr´eductibleD et par cons´equent d’obtenir canoniquement une d´ecomposition de n’importe quelle courbeD′ en union de “paquets”. Une question qui se pose alors naturellement est de savoir si cette d´ecomposition peut ˆetre r´ealis´ee de mani`ere purement alg´ebrique, comme la d´efinition originelle de l’arbre d’Eggers.
Deuxi`emement, notre travail permet de d´ecomposer en paquets des germes de surfaces r´eelles dans (C2,0) qui ne sont pas forc´ement des lieux d’annula-tion de foncd’annula-tions analytiques complexes, mais sont par exemple des ensembles analytiques r´eels ou sous-analytiques, situation `a laquelle peuvent se g´en´eraliser les notions de sph`ere de Milnor et d’entrelacs associ´e. Ceci s’appliquerait, par exemple, `a l’´etude des lignes de niveau des fibres de Milnor sph´eriques de f, c’est-`a-dire des sous-ensembles des sph`eres de Milnor d´efinis par les ´equations Arg(f) =constante.
Nous remercions B.Teissier de nous avoir sugg´er´e de travailler sur la
topo-144 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES
logie des courbes polaires et pour ses encouragements. Nous remercions aussi M.Boileau pour ses commentaires et son examen tr`es d´etaill´e des sections 4.9 et 4.10.
4.2 L’arbre d’Eggers et l’arbre d’Eggers r´ eduit
Dans cette section nous commen¸cons par donner du vocabulaire g´en´eral sur les graphes, puis nous d´efinissonsl’arbre d’EggersT(C) etl’arbre d’Eggers r´eduit Tˇ(C) de la courbeC, apr`es avoir rappel´e les notions d’exposants caract´eristiques et desemi-groupe associ´es `a une branche, puis celles d’ordre de co¨ıncidence et decoefficient de contact d’Hironaka associ´es `a une paire de branches.
Un grapheG est compos´e d’un ensemble de sommetsVG et d’un ensemble d’arˆetesAG. Chaque arˆete poss`ede deux sommets, ´eventuellement confondus. Si certains sommets sontnoirset d’autresblancs, on notera les ensembles respectifs de sommets par NG et BG. Dans ce cas, nous notons par A′G l’ensemble des arˆetes entre sommets noirs.
SiQ∈ VG, lavalence v(Q) deQest le nombre d’arˆetes partant deQ, chaque arˆete qui jointQa lui-mˆeme ´etant compt´ee deux fois. Un sommet de Gest dit de rupture, s’il est de valence ≥3. Il est ditterminal, s’il est de valence 1.
Unchemindans un graphe est une suite d’arˆetes, telles que deux cons´ecutives
Unchemindans un graphe est une suite d’arˆetes, telles que deux cons´ecutives