1 1 2 4
8 8 12
12
12
12
−
−
− Donc la 0-chaˆıne [fY](f)est la suivante :
12 8 0
0
0 8
0 1 2 4
Explicitons la 0-chaˆıne [fY](f)dans le cas o`uf est irr´eductible :
Proposition 3.6.5 Si f ∈ I, alors :
[fY](f)=
G(f)X
k=1
(d(f)
Ek(f)− d(f) Ek−1(f) )Pk(f).
Preuve :Pour simplifier les notations, omettons l’exposant (f). Grˆace `a la proposition 3.6.4 et `a la d´efinition (43) de la 1-chaˆıneγ(f)on obtient :
[fY] = [f]−∂γ−P(−∞) =
=d(f)P(+∞)−PG k=0
d(f)
Ek (Pk+1−Pk)−P(−∞) =
=PG k=0(d(f)E
k −Ed(f)k−1)Pk.
Une autre preuve de ce r´esultat est donn´ee dans la section 3.9.
3.7 Arbre d’Eggers-Wall et chaˆınes de contact pour les polynˆ omes quasi-ordinaires
Dans cette section nous ´etendons aux polynˆomes quasi-ordinaires la construc-tion de l’arbre d’Eggers-Wall et des diverses chaˆınes mesurant des contacts.
Dans ce qui pr´ec`ede on aurait pu se restreindre aux polynˆomes `a coeffi-cients dans l’anneau C[[X]] des s´eries formelles en une variable X. Dans ce cas les ordres de co¨ıncidence pouvant apparaˆıtre auraient ´et´e positifs ou nuls,
120 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
et on aurait donc pu construire l’arbre d’Eggers-Wall en prenant des segments
´el´ementaires dont le premier sommet soit de valeur 0 et non pas−∞. C’est ainsi que proc`ede C.T.C.Wall dans [22].
Ce cas peut ˆetre g´en´eralis´e `a celui des polynˆomes quasi-ordinaires, ´etudi´es pour la premi`ere fois de mani`ere syst´ematique (dans le cas des surfaces) par J.Lipman dans [15]. Expliquons d’abord cette notion. Pour de plus amples ren-seignements on pourra consulter [16] et [10], ainsi que [23] pour l’explication de son origine dans la m´ethode de Jung de r´esolution des singularit´es ([13]).
Soitd∈N∗fix´e. Introduisons les notations suivantes : X := (X1, ..., Xd) ouX1· · ·Xd, C[X] :=C[X1, ..., Xd],
C[[X]] :=C[[X1, ..., Xd]],
C[[Xl]] :=C[[X1l, ..., Xdl]], ∀l∈Q, C[[X^]] := lim −→
N∈N∗C[[XN1]],
ainsi que, avec des significations ´evidentes,C((X)),C((Xl)),C((X)). Puis :^ Ad:=C[[X]][Y],
Ud:= ensemble des polynˆomes unitaires dansAd,
Id:= ensemble des polynˆomes unitaires irr´eductibles dansAd.
Si ξ∈C[[X^]], on peut l’´ecrire de mani`ere unique sous la forme : X
α∈Qd+
cαXα.
IciXαd´esigneX1α1· · ·Xdαd, o`uα= (α1, ..., αd).
On dit que l’ensemble des exposants αtels quecα 6= 0 est lesupport deξ, not´e Supp(ξ), quecαXαest untermedeξ, queXαest lemonˆomecorrespondant
`
a ce terme et que α est l’exposant de ce monˆome. Il existe alors un N ∈ N∗ tel que Supp(ξ)⊂ N1Nd. On d´efinit de la mˆeme mani`ere Supp(f)⊂Qd+×N, lorsquef ∈ Ad.
D´efinissons une relation d’ordre partiel “≤t” (“t” est l’initiale de “terme `a terme”) surQd par :
α≤tα′⇔αi≤α′i, ∀i∈ {1, ..., d}. Si α≤tα′ etα6=α′, on noteα <tα′.
Soit ξ ∈ C[[X]]. S’il existe un^ α ∈ Supp(ξ), avec α ≤t α′ pour tout α′∈Supp(ξ) (et dans ce casαest unique), nous disons que cαXα est leterme dominant deξ. Nous notons alors :
vX(ξ) := l’exposant dominant α.
Remarque :Une s´eriep∈C[[X]] admet un terme dominant si et seulement^ sip=Xα·u(X), avecα∈Qd+, u∈C[[X^]], u(0)6= 0.
Si f ∈ Ad, les notationsR(f), I(f) ont le mˆeme sens que pr´ec´edemment.
3.7 CONTACT DES POLYN ˆOMES QUASI-ORDINAIRES 121
Si F′ :F est une extension galoisienne de corps, on note par : Gal(F′:F)
son groupe de Galois, form´e des automorphismes deF′ qui fixentF.
Exemple : Soit N ∈ N∗. L’extension C((XN1)) : C((X)) est galoisienne et son groupe de Galois s’obtient en faisant agir ind´ependemment le groupe des racines N-`emes de l’unit´e sur chaque variable Xi. L’ensemble des s´eries admettant un terme dominant est donc pr´eserv´e, ainsi que l’exposant dominant de ces s´eries.
Pourd≥2, les ´el´ements deC[[X^]] n’ont pas forc´ement de terme dominant.
Ceci pose un probl`eme pour d´efinir comme pr´ec´edemment, sans autres choix, des exposants caract´eristiques pour les polynˆomes deIdayant leurs racines dans C[[X^]]. En effet, dans le casd= 1 on avait d´efini les exposants caract´eristiques en consid´erant les ordres des diff´erences des racines du polynˆome (formule (40)).
Pour d ≥ 2, l’absence ´eventuelle de terme dominant empˆeche de d´efinir l’ordre d’une s´erie sans d´efinir au pr´ealable une relation d’ordre total - non canonique - sur les monˆomes. Par contre l’ordre peut ˆetre d´efini pour les ´el´ements de C[[X^]] qui admettent un terme dominant. Ceci motive les d´efinitions qui suivent.
D´efinition 3.7.1 On dit que deux ´el´ementsξ, ξ′ de C[[X^]]sontcomparables si ξ−ξ′ admet un terme dominant. Dans ce cas, vX(ξ−ξ′)∈ Qd+ est appel´e l’ordre de co¨ıncidence deξ etξ′, que l’on note :
K(ξ, ξ′).
On dit que deux polynˆomes f, f′ ∈ Id sont comparables si et seulement si R(f)∪R(f′)⊂C[[X^]] et que tous les couples (ξ, ξ′), ξ∈R(f), ξ′ ∈R(f′)sont comparables.
Ceci nous permet de d´efinir la notion centrale de cette section :
D´efinition 3.7.2 Consid´erons f ∈ Ud. On dit que f est quasi-ordinaire si son discriminant ∆Y(f)a un terme dominant.
Avant d’expliquer les propri´et´es des polynˆomes quasi-ordinaires qui nous int´eressent dans ce contexte (propositions 3.7.4, 3.7.5), ´enon¸cons un r´esultat pr´eliminaire :
Lemme 3.7.3 1) Sif1, f2∈ Ud, alors :
∆Y(f1f2) = ∆Y(f1)∆Y(f2)(ResY(f1, f2))2.
2) Tout diviseur d’un polynˆome quasi-ordinaire est quasi-ordinaire.
Preuve :
1) Ceci d´ecoule des relations : ResY(f1, f2) = Y
ξ1∈R(f1)
Y
ξ2∈R(f2)
(ξ1−ξ2), (57)
122 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
∆Y(f) = ResY(f, ∂f
∂Y ). (58)
2) Soitf ∈ Udquasi-ordinaire etf =f1f2, les deux polynˆomes ´etant encore unitaires. D’apr`es le point 1), ∆Y(f1)|∆Y(f). Mais l’anneauC[[X]] est factoriel et ∆Y(f) est le produit d’un monˆome et d’une unit´e, donc c’est aussi le cas pour
∆Y(f1), ce qui montre quef1 est quasi-ordinaire.
Les polynˆomes quasi-ordinaires ont en commun avec les polynˆomes de A d’admettre des racines d´eveloppables en s´eries fractionnaires :
Proposition 3.7.4 (Jung-Abhyankar) Soitf ∈ Ud quasi-ordinaire. Alors : R(f)⊂C[[X^]].
Preuve :Une preuve alg´ebrique d’un ´enonc´e plus g´en´eral est donn´ee dans [1]. Lorsque l’on travaille sur le corps des complexes, le mˆeme r´esultat avec l’anneau C[[X]][Y] remplac´e par C{X}[Y] est prouv´e classiquement par des techniques topologiques (voir l’article [13] d’origine ainsi que [9]).
Les polynˆomes quasi-ordinaires ont non seulement les racines repr´esentables par des s´eries fractionnaires, mais en plus ces racines sont comparables entre elles. Cette propri´et´e caract´erise en fait les polynˆomes quasi-ordinaires parmi les polynˆomes ayant leurs racines dansC[[X^]] :
Proposition 3.7.5 Le polynˆomef ∈ Ud est quasi-ordinaire si et seulement si ses racines sont contenues dans C[[X^]]et sont deux `a deux comparables.
Preuve :Partons de la relation (49), valable pour n’importe quel polynˆome unitaire.
Supposons d’abord que f est quasi-ordinaire. Par le th´eor`eme 3.7.4, ses ra-cines sont contenues dans C[[X]]. Les termes figurant dans l’´egalit´e (49) sont^ donc contenus dans un anneauC[[XN1]], avecN ∈N∗. En ´ecrivantXi =TiN, pour 1 ≤ i ≤ d, on obtient une ´egalit´e valable dans C[[X]]. Comme cet an-neau est factoriel, on d´eduit que chacun des termes du produit de droite admet un terme dominant (raisonnement d´ej`a utilis´e dans la preuve de la proposition 3.7.3, point 2). Ainsi chaque diff´erenceξ−ξ′ admet un terme dominant, donc les racines sont comparables entre elles.
R´eciproquement, si les racines de f sont dans C[[X^]] et sont comparables entre elles, on d´eduit que chaque diff´erence de racines admet un terme dominant dansC[[X]], d’o`^ u ∆Y(f) admet aussi un terme dominant dans le mˆeme anneau.
Mais ∆Y(f)∈C[[X]], ce qui montre que ce terme dominant est dans C[[X]].
Doncf est quasi-ordinaire.
En particulier les facteurs irr´eductibles des polynˆomes quasi-ordinaires sont comparables. Ceci nous permettra de d´efinir un arbre d’Eggers-Wall pour les polynˆomes quasi-ordinaires, en suivant les mˆemes ´etapes que dans le cas des polynˆomes m´eromorphes.
Le lemme qui suit montre que pour tout polynˆome quasi-ordinairef et tout facteur irr´eductiblefidef, l’ensemble des ordres de co¨ıncidence que l’on d´esire prendre comme valeurs des sommets de θ(f) qui se trouvent sur la g´eod´esique
´el´ementaire Θ(fi) est totalement ordonn´e. Nous remercions P.D.Gonz´alez P´erez de nous avoir indiqu´e l’incompl´etude d’une premi`ere version de ce lemme.
3.7 CONTACT DES POLYN ˆOMES QUASI-ORDINAIRES 123
Lemme 3.7.6 Sif ∈ Udest quasi-ordinaire etfi∈ Idest un facteur irr´eductible de f, alors l’ensemble :
Ki:={K(ξ, ξ′), ξ∈R(fi), ξ′∈R(f)} est totalement ordonn´e par≤t.
Preuve : Il existe par hypoth`ese unN ∈N∗tel que R(f)⊂C[[XN1]].
Fixons ξ0 ∈ R(fi) quelconque. Si ξ ∈ R(fi), ξ′ ∈ R(f), comme fi est irr´eductible il existe un automorphisme σ ∈ Gal(C((XN1)) : C((X))) tel que σ(ξ) = ξ0. Alors K(ξ, ξ′) = K(σ(ξ), σ(ξ′)) = K(ξ0, σ(ξ′)). Ceci montre que l’ensemble consid´er´e est en fait ´egal `a {K(ξ0, ξ), ξ′ ∈ R(f)}. Si ξ′, ξ′′ ∈ R(f), commeξ′−ξ′′= (ξ0−ξ′′)−(ξ0−ξ′) admet par hypoth`ese un terme dominant, on d´eduit que{K(ξ0, ξ′), K(ξ0, ξ′′)}est ordonn´e par≤t, ce qui prouve le lemme.
Ceci motive la d´efinition suivante :
D´efinition 3.7.7 Si f, f′ ∈ Id sont quasi-ordinaires comparables, on d´efinit leurordre de co¨ıncidenceK(f, f′)de la mani`ere suivante :
K(f, f′) :=max{K(ξ, ξ′), ξ ∈R(f), ξ′∈R(f′)}.
Le maximum existe car l’ensemble utilis´e dans la d´efinition est totalement ordonn´e par≤t, comme on peut le voir facilement en appliquant le lemme 3.7.6 au facteurf du polynˆomef f′, qui est quasi-ordinaire par la proposition 3.7.5.
D´efinition 3.7.8 Si f ∈ Id est quasi-ordinaire, d´efinissons l’ensemble des exposants caract´eristiquesde f comme ´etant l’ensemble :
{vX(ξ−ξ′), ξ, ξ′ ∈R(f), ξ6=ξ′} des exposants dominants des diff´erences de racines.
Notons parA(f)1 , ..., A(f)G(f) les exposants caract´eristiques, avec :
A(f)1 <t· · ·<tA(f)G(f). (59) Comme l’indique l’´ecriture (59), ils sont totalement ordonn´es pour la relation
<t(voir [16], page 55 ; l’argument est le mˆeme que celui de la preuve du lemme 3.7.6).
En suivant [16] et [10], introduisons les corps suivants : L:=C((X)),
L(f)q :=L(XA(f)1 , ..., XA(f)q ), ∀q∈ {0, ..., G(f)}.
DoncL(f)0 =L. On a ´evidemment :L ֒→L(f)1 ֒→ · · ·֒→L(f)G(f).En suivant [10], introduisons les nombres :
Eq(f):= [L(f)G(f):L(f)q ], pourq∈ {0, ..., G(f)}. (60) On peut montrer que pour d = 1 on obtient les mˆemes nombres que ceux introduits d’une mani`ere diff´erente dans la section 3.2, formules (44). Pour le voir et pour montrer comment de mani`ere g´en´erale les exposantsA(f)q d´eterminent les nombresEq(f), introduisons d’apr`es [10] les groupes suivants :
Mq(f):=Zd+ZA(f)1 +· · ·+ZA(f)q , ∀q∈ {0, ..., G(f)}. (61)
124 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
Lemme 3.7.9 Pour toutq∈ {0, ..., G(f)} on a les ´egalit´es : L(f)q =L[XMq(f)], [L(f)q :L] =♯(Mq(f)/M0(f)),
o`uXMq(f) d´esigne l’ensemble des monˆomes dont les exposants appartiennent au groupeMq(f).
Preuve : On a imm´ediatement :L[XMq(f)]⊂L(f)q .
R´eciproquement, L(f)q = L[XA(f)1 , ..., XA(f)q ], car les monˆomes XA(f)i sont entiers sur L. Ceci montre que L(f)q ⊂ L[XMq(f)], donc on a bien la premi`ere
´egalit´e de l’´enonc´e.
Soit maintenantBq ⊂Mq(f)un ensemble fini tel que le passage au quotient Bq → Mq(f)/M0(f) soit bijectif. On voit alors facilement que l’ensemble XBq est une base de l’extension L[XMq(f)] : L. Ceci prouve la deuxi`eme ´egalit´e de
l’´enonc´e.
D’autre part on a l’´egalit´e :
E0(f)=d(f). (62)
Ceci provient de la proposition suivante (voir [16], page 56) :
Proposition 3.7.10 Si f ∈ Id est quasi-ordinaire, et ξ∈R(f), alors : L(ξ) =L(f)G(f).
Preuve : Il existe N ∈ N∗ tel que L(ξ) ⊂ C((XN1)). Soit σ ∈
∈ Gal(C((XN1)) : L(ξ)). Comme les monˆomes XA(f)i apparaissent dans le d´eveloppement en s´erie deξ, ils sont aussi fix´es parσ. Par la th´eorie de Galois, ils appartiennent `a L(ξ), doncL(f)G(f)⊂L(ξ).
R´eciproquement, soit σ ∈ Gal(C((XN1)) : L(f)G(f)). Si σ(ξ) 6= ξ, comme σ(ξ) ∈ R(f), il existe q ∈ {1, ..., G(f)} tel que K(ξ, σ(ξ)) = A(f)q . Donc σ(XA(f)q ) 6= XA(f)q , contradiction. Ainsi ξ est fix´e par tous les ´el´ements de Gal(C((XN1)) :L(f)G(f)), ce qui montre queL(ξ)⊂L(f)G(f).
Si f ∈ Ud est quasi-ordinaire, construisons l’arbre d’Eggers-Wall Θ(f) as-soci´e. On part `a nouveau de segments correspondant `a ses composantes irr´eductibles, que l’on recolle suivant des segments initiaux. La seule diff´erence par rapport `a la section 3.2 est que maintenant on n’a plus a priori un ensemble totalement ordonn´e dans lequel les fonctionsγ(fi)puissent prendre leurs valeurs.
On ne peut d´efinir de valeurs que aux points sp´eciaux qui seront sommets de l’arbre d’Eggers-Wall simplicialθ(f). Ainsi on consid`ere pour chaque i∈I(f) un segment compact orient´e Θ(fi) sous-divis´e grˆace `a des points mis en cor-respondance biunivoque croissante avec les ´el´ements de l’ensemble Ki (voir le lemme 3.7.6). Les extr´emit´es de Θ(fi) sont encore associ´ees aux symbˆoles −∞
et +∞. Le reste de la construction suit celle d´ecrite dans la section 3.2.
La 1-chaˆıneγ(f) peut ˆetre d´efinie comme pr´ec´edemment, car la proposition 3.2.4 s’´etend aux polynˆomes quasi-ordinaires :
3.7 CONTACT DES POLYN ˆOMES QUASI-ORDINAIRES 125
Proposition 3.7.11 Soient f1, f2 ∈ Id quasi-ordinaires comparables. Si q∈ {0,1, ..., c(f1, f2)}, on a :
d(f1) Eq(f1)
=d(f2) Eq(f2)
. Preuve :On rappelle quec(f1, f2) est d´efini par :
k(f1, f2)∈]A(fc(fi)1,f2), A(fc(fi)1,f2)+1],
pour i ∈ {1,2}. Donc pour tout q ∈ {0,1, ..., c(f1, f2)} on a, grˆace au lemme 3.7.9 :
Mq(f1)=Mq(f2)⇒L(fq1)=L(fq2)⇒[L(fq 1):L] = [L(fq2):L].
Mais pouri∈ {1,2},
[L(fqi):L] = [L(fG(fi)i):L]
[L(fG(fi)
i):L(fqi)] = E0(fi) Eq(fi)
(62)= d(fi) E(fq i)
.
La proposition 3.4.1 s’´etend elle aussi aux polynˆomes quasi-ordinaires. Pour le voir (proposition 3.7.15), on aura besoin de quelques r´esultats pr´eliminaires.
Tout d’abord :
Lemme 3.7.12 Soit f ∈ Id quasi-ordinaire etξ ∈ R(f) quelconque. L’exten-sion(L(ξ) : L)est galoisienne et ξ en est un ´el´ement primitif. Elle ne d´epend pas de la racine ξchoisie.
Preuve :Ceci provient de la proposition 3.7.10, qui montre que l’extension L(ξ) deLne d´epend pas de la racineξchoisie.
Continuons `a supposer quef ∈ Id est quasi-ordinaire. Si ξ ∈R(f), par la proposition 3.7.12 c’est un ´el´ement primitif de l’extension (L(f)G(f) : L). Tout
´el´ement σ ∈ Gal(L(f)G(f) : L) est donc d´etermin´e par son image σ(ξ) ∈ R(f).
Donc, si ξ, ξ′ ∈ R(f) avecξ 6=ξ′, notons par σξ,ξ′ ∈ Gal(L(fG(f)) : L) l’unique automorphisme tel que :
σξ,ξ′(ξ) =ξ′.
Lemme 3.7.13 Pour toutq∈ {1, ..., G(f)} on a l’´egalit´e : Gal(L(f)G(f):L(f)q ) ={σξ,ξ′, K(ξ, ξ′)>tA(f)q }.
Preuve :Le raisonnement est semblable `a celui de la proposition 3.7.10. On a : Gal(L(f)G(f):L(f)q )⊂ {σξ,ξ′, ξ, ξ′∈R(f), ξ6=ξ′}. Mais :
σξ,ξ′ ∈Gal(L(f)G(f):L(f)q )⇔σξ,ξ′(ζ) =ζ,∀ζ∈L(f)q ⇔
⇔σξ,ξ′(XA(f)k ) =XA(f)k , ∀k∈ {1, ..., q} ⇔
⇔vX(ξ′−ξ) =vX(σξ,ξ′(ξ)−ξ)∈ {/ A(f)k , 1≤k≤q}.
On en d´eduit :
126 CHAPITRE 3. L’ARBRE D’EGGERS-WALL
Lemme 3.7.14 Siξ∈R(f)est fix´ee, pour toutq∈ {1, ..., G(f)}on a l’´egalit´e :
#{ξ′∈R(f), K(ξ, ξ′)>tA(f)q } = Eq(f). Preuve : Par la correspondance de Galois on obtient :
#Gal(L(f)G(f):L(f)q ) = [L(f)G(f):L(f)q ] =Eq(f),
la deuxi`eme ´egalit´e provenant de la d´efinition de Eq(f). Du lemme 3.7.13 on d´eduit :
#{σξ1,ξ2, K(ξ1, ξ2)>tA(f)q }=Eq(f). D’autre part on a l’´egalit´e d’ensembles :
{σξ1,ξ2, K(ξ1, ξ2)>tA(f)q }={ξ′ ∈R(f), K(ξ, ξ′)>tA(f)q }.
On en d´eduit l’´egalit´e voulue.
Ceci nous permet de prouver la proposition suivante, g´en´eralisation de la proposition 3.4.1 :
Proposition 3.7.15 Si f, g ∈ Id sont quasi-ordinaires et comparables, pour toutζ∈R(g)on peut exprimer l’ensemble des ordres de co¨ıncidence de ζ avec les racines def en fonction des exposants caract´eristiques def et de l’ordre de co¨ıncidence def etg :
F
ξ∈R(f){K(ξ, ζ)} = F
E0(f)−E(f)1 {A(f)1 } ⊔F
E1(f)−E(f)2 {A(f)2 } ⊔...⊔
⊔F
E(f)c(f,g)−1−Ec(f,g)(f) {A(f)c(f,g)} ⊔F
E(f)c(f,g){K(f, g)}. Preuve : Fixonsξ0∈R(f) tel que :K(ξ0, ζ) =K(f, g).
Pour tout ξ ∈R(f), en ´ecrivant : ξ−ζ = (ξ−ξ0) + (ξ0−ζ) on en d´eduit que :
K(ξ, ζ)∈ {A(f)1 , ..., A(f)c(f,g), K(f, g)}, et que toutes ces valeurs sont atteintes lorsqueξvarie.
Regardons combien de fois est atteinte la valeurA(f)q , avecq∈ {1, ..., c(f, g)}. Comme A(f)q <t K(f, g) = K(ξ0, ζ), on d´eduit que pour avoir l’´egalit´e K(ξ0, ξ) =A(f)q il est n´ecessaire et suffisant que :
K(ξ0, ξ) =A(f)q ⇔ξ∈ {ξ′, K(ξ0, ξ′)>tA(f)q−1} − {ξ′, K(ξ0, ξ′)>tA(f)q }. D’apr`es le lemme 3.7.14, on en d´eduit :
#{ξ, K(ξ, ζ) =A(f)q }=Eq(f)−1−Eq(f).
Il nous reste `a savoir combien de fois est atteinte la valeur K(f, g). Ceci s’obtient imm´ediatement `a partir des ´egalit´es qui pr´ec`edent, par soustraction du nombre total d’ordres de co¨ıncidence, qui vautd(f) =E0(f):
{ξ, K(ξ, ζ) =K(f, g)}=Ec(f,g)(f) .
La proposition est ainsi d´emontr´ee.