R(C), il suffit de remarquer que ces graphes sont obtenus de la mˆeme mani`ere
`
a partir deT(C), respectivement ˆR(C).
Remarque : La proposition que l’on vient de d´emontrer permet aussi de v´erifier la correction de la construction de l’arbre dual de d´esingularisation d’un germe de courbe plane. En effet, on peut obtenir imm´ediatement `a partir de celui-ci l’arbre de rupture r´eduit. Si ce dernier n’est pas isomorphe `a l’arbre d’Eggers, la construction est incorrecte. Ce test est effectif dans la mesure o`u il est plus facile, une fois connues les s´eries de Newton-Puiseux des branches de C, de construire l’arbre d’Eggers, plutˆot que l’arbre dual de la d´esingularisation minimale. Pour ce dernier, des constructions algorithmiques ont ´et´e d´ecrites dans [36] et [18].
4.5 Plombage d’apr` es un graphe pond´ er´ e
Dans cette section, nous amor¸cons le pan topologique de ce travail, en rap-pelant les notions desph`ere de Milnor, d’entrelacsK(C) et de compl´ementaire M(C) de l’entrelacs dans une sph`ere de Milnor, ainsi que la description par plombage de M(C) `a l’aide d’une r´esolution plong´ee minimale de C. Nous construisons des repr´esentants particuliers des tores de plombage, ce qui est utilis´e ensuite dans la section 4.11.
Consid´erons le plan des coordonn´es x, y muni de la m´etrique euclidienne canonique. Si ǫ > 0, nous notons par S3(ǫ) la sph`ere de rayon ǫ centr´ee en 0. Pour ǫ0 suffisamment petit et 0 < ǫ ≤ ǫ0, toutes les sph`eres S3(ǫ) sont transverses `a la courbe C. On les appelle des sph`eres de Milnor par rapport `a C. Cette notion `a ´et´e introduite dans [44] pour l’´etude topologique g´en´erale des singularit´es d’hypersurfaces analytiques.
Si S3(ǫ) est une sph`ere de Milnor par rapport `aC, l’intersectionK(C, ǫ) = C∩S3(ǫ) est une union de cercles plong´es dans S3(ǫ), c’est-`a-dire un entrelacs de cette sph`ere. Le nombre de composantes de cet entrelacs est ´egal `a r, le nombre de branches de la courbe C. Les divers entrelacs obtenus ainsi, pour ǫ < ǫ0, sont isotopes. Soit M(C, ǫ) le compl´ementaire d’un voisinage tubulaire ouvert deK(C, ǫ) dans S3(ǫ). Les M(C, ǫ) sont des vari´et´es orient´ees `a bord, diff´eomorphes entre elles. Soit alors K(C) ֒→ S3 un entrelacs fixe isomorphe aux entrelacs K(C, ǫ) ֒→ S3(ǫ) pour ǫ < ǫ0 et M(C) le compl´ementaire d’un voisinage tubulaire deK(C) dansS3. Pour d´ecouvrir le contexte qui vit naˆıtre cette construction dans les ann´ees 1890, on pourra consulter [14].
Exemple :SiCest la courbe d´efinie dans la section 4.4, l’entrelacsK(C) est isotope `a celui du dessin qui suit. On a fait d’abord une projection st´er´eographi-que deS3 par rapport `a un point situ´e sur l’entrelacsK(C0) d’une droiteC0: αx+βy= 0 transverse `a C, puis une projection plane parall`element `a l’image deK(C0). En pointill´e on a repr´esent´e la projection plane d’un disque de R3 permettant de transformer l’entrelacs en tresse. Ce disque sera utilis´e lorsque l’on poursuivra cet exemple `a la fin de la section 4.7. En g´en´eral les entrelacs K(C) sont des “entrelacs toriques it´er´es”, comme il est expliqu´e dans [53], [4]
et [35].
156 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES
2
3
K(C1
K(C
K(C ) )
)
La vari´et´e M(C) peut ˆetre d´ecrite `a l’aide du graphe D(π, C) d’une d´esingularisation plong´eeπ: Σ→C2deC. Consid´erons lafonction distance :
d:
(C2→R
(x, y)→ |x|2+|y|2 .
Les sph`eres S3(ǫ) sont les lignes de niveau de d. Comme π est un iso-morphisme de Σ−E(π) sur C2 − {0}, les sph`eres S3(ǫ) sont diff´eomorphes
`
a (d◦π)−1(ǫ) et M(C) est diff´eomorphe au compl´ementaire dans (d◦π)−1(ǫ) d’un voisinage tubulaire de l’intersection avec la transform´ee stricte deC.
Intuitivement, lorsque ǫ → 0, la vari´et´e (d◦π)−1(ǫ) se rapproche de plus en plus de E(π). Au voisinage de chaque composanteL(P) deE(π), en dehors de voisinages arbitraires des points deE(π)∩ S, la vari´et´e (d◦π)−1(ǫ) tend `a ˆetre une partie du bord d’un voisinage tubulaire deL(P), c’est-`a-dire un sous-fibr´e du sous-fibr´e en cercles sur L(P) de nombre d’Euler (L(P), L(P)), le nombre d’auto-intersection deL(P) dans Σ.
Au voisinage des points de E(π)∩ S, ces divers fibr´es sont reli´es par une op´eration de “plombage”. Cette op´eration a ´et´e introduite par D.Mumford dans [45] dans le but de d´ecrire le bord d’un voisinage sp´ecial d’une singularit´e nor-male de surface complexe. D.Mumford y utilise le syntagme “plumbing fixture”.
Les aspects topologiques de l’article de Mumford ont ´et´e r´esum´es `a chaud dans [27]. F.Hirzebruch s’int´eressa `a des g´en´eralisations du plombage en dimen-sions sup´erieures (voir aussi [28], o`u on “plombe” des fibr´es en boules particuliers et non pas en sph`eres comme dans notre cas). Dans [27], Hirzebruch affirme que l’on peut construire des sph`eres exotiques `a l’aide de ces plombages g´en´eralis´es ; il faudra attendre quelques ann´ees et les travaux de Brieskorn pour commencer
`
a avoir une vision plus claire du lien entre singularit´es analytiques complexes et sph`eres exotiques (voir [44]).
Il semble que c’est dans [27] et [52] qu’apparaissent les premi`eres consid´era-tions portant directement sur des graphes duaux de diviseurs exceptionnels,
4.5 PLOMBAGE D’APR `ES UN GRAPHE POND ´ER ´E 157
ainsi que la construction de 3-vari´et´es plomb´ees le long de graphes pond´er´es abstraits, que nous expliquons dans la suite de cette section.
Revenons au germe C de courbe plane. Le fait important permettant de d´eduire une description deM(C) est que les transform´ees strictesπ′(Ci) sont des curvettes de certaines composantes deE(π). Ceci implique que les intersections π′(Ci)∩(d◦π)−1(ǫ) sont des fibres de certains des morceaux plomb´es. La vari´et´e M(C) s’obtient donc en enlevant les voisinages tubulaires de ces fibres.
Afin de d´ecrireM(C) `a l’aide de l’op´eration de plombage, il suffit de connaˆıtre le grapheD(π, C) ainsi que la pond´eration de ses sommets noirs - les sommets deD(π) - par les nombres d’Euler :
e(P) := (L(P), L(P))<0. (75)
De mani`ere g´en´erale on d´efinit l’op´eration de plombage le long d’un graphe pond´er´e. SiGest un graphe connexe dont les sommets blancs sont tous termi-naux, ayant au moins un sommet noir et que e :NG → Z, g :NG → Zsont deux fonctions, nous disons queGest ungraphe pond´er´e. Pour chaque sommet P ∈ NG consid`erons une surface de Riemann SP close de genre g, orient´ee si g≥0. Sig <0, la surfaceSP est diff´eomorphe `a la somme connexe de|g|plans projectifsRP2. De plus, pour chaqueP ∈ NG, consid`erons un fibr´e en cercles νP :MP →SP, de nombre d’Eulere(P), o`uMP est une vari´et´e de dimension 3 orient´ee. Nous disons dans ce cas queMP estfibr´ee en cercles par l’application νP. Une autre fibration en cercles deMP est diteisotope `aνP, si elle est obtenue
`
a partir deνP en composant `a droite par un diff´eomorphisme deMP isotope `a l’identit´e.
Ces diverses vari´et´es de dimension 3 seront plomb´ees d’apr`es le graphe G.
Pour chaque sommetP ∈ NG, consid´erons un ensembleA(P)⊂SP, form´e de points not´esIP(a), associ´es aux arˆetesadeGpassant parP.
Pour chaque I∈A(P), consid´erons un disque ouvertD(I)⊂SP, centr´e en I, les divers disques ´etant deux `a deux disjoints. Notons :
NP :=νP−1(SP− G
I∈A(P)
D(I)).
La vari´et´eNP a un bord compos´e de tores, chaque tore correspondant `a une arˆete deG contenant P. Notons τP(a) le tore associ´e `a l’arˆete a. Il est muni d’unm´eridien mP(a) et d’unparall`ele lP(a)privil´egi´es. Le m´eridien est l’image d’une section deνP triviale sur D(IP(a)). Le parall`ele est une fibre deνP. Les classes d’isotopie surτP(a)des deux courbes sont d´efinies de mani`ere unique.
Consid´erons maintenant l’union disjointeF
P∈NGNP, que l’on quotiente en identifiant τP(a) et τQ(a) par un diff´eomorphisme qui ´echange m´eridiens et parall`eles privil´egi´es et ce, pour chaquea∈ AG, de sommetsP, Q∈ NG. Nous obtenons ainsi la vari´et´eM(G, g, e) et un morphisme d’identification :
G
P∈NG
NP Ψ
→M(G, g, e). (76)
Consid´erons aussi le 2-complexe S(G, g) obtenu `a partir de F
P∈NGSP en identifiant les pointsIP(a), IQ(a) pour chaque arˆeteade sommetsP etQ.
158 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES
Le bord deM(G, g, e) est form´e de tores associ´es bijectivement aux sommets blancs deG. La vari´et´eM(G, g, e) contient un ensemble de tores{τ(a)}a∈A′G, les images par Ψ des toresτP(a). Le compl´ementaire deS
a∈AGτ(a) dansM(G, g, e) est fibr´e en cercles. Pour chaquea∈ A′Gjoignant les sommetsPetQ, les images par Ψ des fibres de νP et νQ ont comme nombre d’intersection ±1 sur τ(a).
Ceci provient de la d´efinition de l’op´eration de plombage. Nous les appelerons les fibres privil´egi´ees deτ(a). Elles sont donc d´etermin´ees `a isotopie pr`es par les fibrationsνP etνQ.
Voici la pr´esentation de la vari´et´e M(C) par plombage que nous avions annonc´ee :
Proposition 4.5.1 Si C est un germe r´eduit de courbe plane, que π est une d´esingularisation plong´ee deCetG=D(π, C), que la fonctiong est identique-ment nulle et que la fonction eest donn´ee par la formule (75), alors la vari´et´e M(G, g, e)est diff´eomorphe `a M(C). Le 2-complexe S(G, g) est isomorphe au diviseur exceptionnel r´eduitE(π).
Pr´ecisons l’explication intuitive donn´ee au d´ebut de cette section. Pour chaque point P ∈ π′(C)∩E(π), soient un ouvert UP ⊂ Σ et un syst`eme de coordonn´ees locales (xP, yP) centr´e enP qui r´ealise un isomorphisme deUP sur l’ensemble{(xP, yP),|xP |<1,|yP |<1}, tels que :
|π∗(C)| ∩UP ={xPyP = 0} ∩ UP,
|π′(C)| ∩UP ={xP = 0} ∩ UP. Introduisons alors l’ensemble :
YP :={|xP |<|yP |}. Il existe ǫ1 ≤ǫ0 tel que pour 0< ǫ≤ǫ1, S3(ǫ)∩S
P∈I(π,C)π(YP) soit un voisinage tubulaire deK(ǫ) dansS3(ǫ), o`uI(π, C) est l’ensemble des points de contact d´efini dans la section 4.2.
Consid´erons aussi pour chaqueQ ∈E(π)∩Sun ouvertUQ⊂Σ et un syst`eme de coordonn´ees locales (xQ, yQ) centr´e enQqui r´ealise un isomorphisme deUQ sur l’ensemble{(xQ, yQ),|xQ|<1,|yQ|<1}, tels que :
E(π)∩UQ={xQyQ= 0} ∩UQ. Introduisons aussi l’ensemble :
TQ:={|xQ|=|yQ|} ∩UQ.
Il existeǫ2≤ǫ1tel que pourǫ < ǫ2,τQ(ǫ) :=S3(ǫ)∩π(TQ) soit un tore, pour toutQ ∈E(π)∩ S. Ces tores sont des repr´esentants sous-analytiques des tores τ(a), aveca∈ A′D(π,C), le toreτ(a) correspondant `aτQ(ǫ) siQ=L(P1)∩L(P2) et a={P1, P2}.
Exemple : Reprenons l’exemple de la section 4.4, dont on a dessin´e l’en-trelacs au d´ebut de cette section. Nous repr´esentons dans la figure suivante un voisinage (d◦π)−1([0, ǫ]) du diviseur exceptionnelE(π0) de la d´esingularisation minimaleπ0, ainsi que les transform´ees strictesπ′(Ci),1 ≤i ≤3. En pointill´e
4.5 PLOMBAGE D’APR `ES UN GRAPHE POND ´ER ´E 159
on a repr´esent´e les lieux {| xP |=| yP |} et {| xQ |=| yQ |}. Les zones ha-chur´ees sont les ensemblesYP. Le dessin repr´esente bien sˆur la partie r´eelle de la configuration complexe correspondante.
’ 1
3 2
(C
(C (C
)
) )
’ ’
Remarque :Dans tout ce qui pr´ec`ede, il faut orienter les diverses vari´et´es qui interviennent. Lorsque l’on reconstruit la vari´et´eM(C) par plombage il y a des choix naturels d’orientation provenant du fait qu’une vari´et´e analytique complexe et le bord d’une vari´et´e orient´ee ont des orientations canoniques. En particulier, on recolle les tores en interchangeant m´eridiens et parall`eles tout en conservant leurs orientations canoniques. Lorsque l’on effectue le plombage d’apr`es un graphe quelconque, si l’on veut que la vari´et´e obtenue soit orientable, il y a aussi la possibilit´e de changer simultan´ement leur orientation. On peut tenir compte de ce choix en associant des signes aux arˆetes du grapheG, comme le fait W.Neumann dans [46]. Par la suite, nous laisserons de cˆot´e ces probl`emes de signes, car nous ne nous int´eresserons qu’aux valeurs absolues des divers nombres d’intersection.
Posons-nous `a pr´esent la question inverse :´etant donn´ee une vari´et´e compacte orient´ee de dimension 3, obtenue par plombage selon un graphe pond´er´e, quelle structure suppl´ementaire faut-il garder afin de retrouver le graphe, ainsi que sa pond´eration ?
Il est en effet clair que la seule donn´ee du type topologique ou diff´erentiable de la vari´et´e ne suffit pas, puisque la mˆeme vari´et´e peut s’obtenir en plombant suivant des graphes diff´erents. Par exemple la vari´et´eM(C) peut s’obtenir `a partir du grapheD(π, C) de n’importe quelle d´esingularisation de la courbeC.
La premi`ere structure suppl´ementaire `a conserver sera alors l’ensemble des tores du typeτ(a).
160 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES