Une preuve de ce th´eor`eme est donn´ee dans [36]. Ce th´eor`eme a ´et´e ´etendu dans [60] `a des graphes plus g´en´eraux queD(π, C).
Il existe une unique d´esingularisation plong´eeπ0: Σ0→C2 deC minimale dans le sens o`u toute autre d´esingularisation plong´ee deC se factorise parπ0. Elle est obtenue par une suite d’´eclatements de points, les points que l’on ´eclate
`
a une ´etape donn´ee ´etant ceux o`u le diviseur transform´e total deC n’est pas `a croisements normaux.
L’arbreD(π0, C) est l’arbre dual de la d´esingularisation minimale deC. Dans [36] les points blancs ´etaient repr´esent´es par des fl`eches. On a fait ce changement de repr´esentation afin d’avoir un vocabulaire commun pour cet arbre et pour l’arbre d’Eggers. L’arbre D(π0, C) a autant de sommets blancs que C a de branches.
Construisons un nouveau grapheR(C), appel´egraphe de rupture de C, de la mani`ere suivante. Les sommets deNR(C)correspondent aux sommets de rupture de l’arbreD(π0, C), auxquels on rajoute #1 siCest lisse ou une union de deux courbes lisses transverses (dans ce deuxi`eme cas on dira pour abr´eger queCest`a croisement normal). Les sommets deBR(C)correspondent aux sommets blancs deD(π0, C). Deux sommets deR(C) sont reli´es si les sommets correspondants deD(π0, C) sont reli´es par un bambou.
Introduisons aussi le graphe ˆR(C), appel´e graphe de rupture augment´e, construit commeR(C), sauf qu’il a n´ecessairement un sommet correspondant `a
#1∈ VD(π0,C). Nous notons encore #1 le sommet de ˆR(C) qui correspond au sommet #1 deD(π0, C).
Remarque : Nous avons trait´e de mani`ere sp´eciale le cas o`u C est lisse ou `a croisement normal afin que R(C) ait toujours un ensemble non vide de sommets noirs. Les graphesR(C) et ˆR(C) sont des arbres. Ils sont isomorphes si et seulement siCest lisse, ou `a croisement normal, ou bien son cˆone tangent r´eduit n’est pas compos´e d’une oudeux droites.
4.4 Le premier th´ eor` eme d’isomorphisme
Dans cette section, nous montrons l’isomorphisme canonique de l’arbre d’Eg-gers et de l’arbre de rupture augment´e, obtenu `a partir du graphe dual de la r´esolution. Cette preuve est faite en plongeant les deux arbres dans un mˆeme espace vectoriel num´erique et en montrant que les images des plongements co¨ıncident.
Introduisons les applications : ΦT :
(NT(C)→Qr
Q→(τi(Q))1≤i≤r (72)
ΦD:
(ND(π0,C)→Qr P →(ρi(P))1≤i≤r
(73)
ΦR :
(NR(C)ˆ →Qr P →(ρi(P))1≤i≤r
(74)
152 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES
L’application ΦR s’obtient `a partir de ΦDen restreignant cette derni`ere aux sommets de rupture du grapheD(π0, C) et au sommet #1. L’application ΦT se restreint `aNTˇ(C)et ΦR`a NR(C), nous les noterons encore par ΦT et ΦR.
Exemple : Reprenons l’exemple de la section 4.2. L’arbre d’EggersT(C), dont chaque sommet noir est marqu´e par la valeur de ΦT, est alors :
(3,3,6)
Donc l’arbre d’Eggers r´eduit ˇT(C), dont chaque sommet noir est marqu´e par la valeur de ΦT, est le suivant :
L’arbre dual de la d´esingularisation minimale, dont les sommets sont marqu´es par les valeurs de ΦD, est le suivant :
On en d´eduit l’arbre de rupture augment´e ˆR(C), dont les sommets sont marqu´es par les valeurs de ΦR. On constate que l’on retombe sur T(C). Ce ph´enom`ene est g´en´eral, c’est le contenu du th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 4.4.1 Les applicationsΦT etΦRsont injectives et ont mˆeme image.
De plus, {Q1, Q2} est une arˆete de l’arbre T(C), si et seulement si
4.4 LE PREMIER TH ´EOR `EME D’ISOMORPHISME 153
{Φ−1R ΦT(Q1),Φ−1R ΦT(Q2)} est une arˆete deR(C). L’applicationˆ Φ−1R ΦT induit un isomorphisme des arbresT(C) etR(C)ˆ ainsi que des arbresTˇ(C)etR(C).
Preuve : Le fait que π0 est la d´esingularisation plong´ee minimale de C implique que les points terminaux de ˆR(C) sont les sommets blancs et #1, si celui-ci est de valence 1. En effet, on n’´eclate que des points de contact des transform´ees strictes desCi. Les arbresT(C) et ˆR(C) ont tous deux un sommet privil´egi´e que nous appelons “racine”,P(1) dans le cas deT(C) et #1 dans celui de ˆR(C). Ces arbres peuvent ˆetre construits `a partir des g´eod´esiques maximales partant des racines, identifi´ees 2 `a 2 jusqu’`a leur sommet de bifurcation.
Pour montrer l’isomorphisme de tels arbres il suffit de montrer que l’on peut associer bijectivement les g´eod´esiques maximales qui partent des racines, que les g´eod´esiques ainsi associ´ees ont mˆeme nombre de sommets et que les sommets de bifurcation pour tous les couples de g´eod´esiques maximales se correspondent.
Dans notre cas les g´eod´esiques maximales de ˆR(C) sont param´etr´ees par les r branches de C, nous les noterons en cons´equence R1, ..., Rr. Nous notons parTi,j les parties communes aux g´eod´esiquesTi, Tj et introduisons de mˆeme la notation Ri,j. Notons aussi par Qi,j le sommet de bifurcation de Ri, Rj. Rappelons quePi,j d´esigne le point de bifurcation deTi, Tj.
PartitionnonsNTi enNT1i⊔ NT2i, o`u NT1i =v−1(ECi). L’ensembleNT2i est donc form´e des sommets deTine provenant pas des exposants caract´eristiques deCi.
Soit πi : Σi → C2 la d´esingularisation plong´ee minimale de Ci. Commeπ est une autre d´esingularisation de Ci, on a une factorisation : π0 =ψi◦πi, le morphisme ψi : Σ → Σi ´etant obtenu par une suite d’´eclatements de points.
L’arbreR(Ci) est un bambou ayantg(i) sommets noirs et un sommet blanc.
On utilisera dans la suite les propri´et´es de croissance des coefficients d’inser-tion au long d’un arbre de d´esingularisad’inser-tion plong´ee (proposid’inser-tion 4.3.1). Ainsi, ρi est strictement croissant le long de la g´eod´esique Ri. D’autre part τi est strictement croissante le long de Ti par la formule d’intersection (proposition 4.2.1).
Il nous suffit donc de prouver les ´egalit´es τi(NTi) =ρi(NRi) et τi(Pi,j) =
= ρi(Qi,j). Nous savons que τi(NTi) = tCi(OCi). D’autre part τi(Pi,j) =
=H(Ci, Cj). On va donc montrer que :
ρi(NRi) =tCi(OCi) etρi(Qi,j) =H(Ci, Cj).
On a d’abord ρi(NR(Ci)) =τi(NT1i). Pour le prouver, soitµik une branche ayant le contact maximal `a l’ordrekavecCi parmi les branches ayant au plus k−1 exposants caract´eristiques. La transform´ee stricte (πi)′(µik) est une curvette de L(Aik), o`u Aik est l’extr´emit´e de la branche morte partant de Qik, lek-`eme sommet de rupture deD(πi, Ci) sur la g´eod´esique joignant #1 au sommet blanc deD(πi, Ci).
Donc, par la proposition 4.3.1, ρi(Qik) =ρi(Aik) =H(Ci, µik) = n1···nbk
k−1 =
=τi(Pki), o`uPkiest le point deNT1ide valeuraik. Comme les sommets deNR(Ci) sont en correspondance biunivoque avec les points Qik et les sommets de NT1i
sont les pointsPki, on a bien prouv´e que :
ρi(NR(Ci)) =τi(NT1i).
154 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES qui cr´eent la surface Σ1Q. Comme π0 est la d´esingularisation plong´ee minimale deC,ψQest l’´eclatement d’un point deI(fQ, C). Le pointQdevient un sommet de rupture deD(fQ◦ψQ, C), sinon il ne pourrait pas en ˆetre un dansD(π0, C).
AppelonsIQ le point deE(fQ) dont ψQ est l’´eclatement.
Le cˆone tangent r´eduit defQ∗(C) au pointIQ est donc compos´e d’au moins trois droites. Ce qui montre que par le point IQ passe la transform´ee stricte d’au moins une des branches de C dont le cˆone tangent est transverse `a celui de E(fQ). Parmi les branches ayant cette propri´et´e il y en a au moins une diff´erente de Ci, sinon l’on aurait Q∈ NR(Ci), cas que l’on a exclu. Soit donc une curvette associ´ee `a l’un des sommets Q(j) de cette branche morte, donc H(Ci, Cj) =ρi(Qj). Mais par la proposition 4.3.1, la fonctionρi est constante le long de cette branche morte, doncρi(Qj) =ρi(Qi,j).
On en d´eduit : τi(Pi,j) =ρi(Qi,j)∈ρi(NRi− NR(Ci)). On a montr´e ainsi `a la fois l’inclusionτi(NT2i)⊂ρi(NRi− NR(Ci)) et l’´egalit´eτi(Pi,j) =ρi(Qi,j), ce qui ach`eve de prouver que Φ−R1ΦT induit un isomorphisme des arbresT(C) et
4.5 PLOMBAGE D’APR `ES UN GRAPHE POND ´ER ´E 155