L’ARBRE D’EGGERS ET L’ARBRE D’EGGERS R´ EDUIT

Dans cette section nous commen¸cons par donner du vocabulaire g´en´eral sur les graphes, puis nous d´efinissonsl’arbre d’EggersT(C) etl’arbre d’Eggers r´eduit Tˇ(C) de la courbeC, apr`es avoir rappel´e les notions d’exposants caract´eristiques et desemi-groupe associ´es `a une branche, puis celles d’ordre de co¨ıncidence et decoefficient de contact d’Hironaka associ´es `a une paire de branches.

Un grapheG est compos´e d’un ensemble de sommetsV^G et d’un ensemble d’arˆetesA^G. Chaque arˆete poss`ede deux sommets, ´eventuellement confondus. Si certains sommets sontnoirset d’autresblancs, on notera les ensembles respectifs de sommets par N^G et B^G. Dans ce cas, nous notons par A^′G l’ensemble des arˆetes entre sommets noirs.

SiQ∈ V^G, lavalence v(Q) deQest le nombre d’arˆetes partant deQ, chaque arˆete qui jointQa lui-mˆeme ´etant compt´ee deux fois. Un sommet de Gest dit de rupture, s’il est de valence ≥3. Il est ditterminal, s’il est de valence 1.

Unchemindans un graphe est une suite d’arˆetes, telles que deux cons´ecutives aient un sommet commun. Uneg´eod´esique est un chemin ne passant pas deux fois par la mˆeme arˆete. Un cycle est un chemin dont les sommets extrˆemes co¨ıncident. Un arbreest un graphe dont aucune g´eod´esique n’est un cycle.

On peut aussi regarder G comme 1-complexe simplicial particulier. Ceci permet de d´efinir topologiquement laconnexit´edeG. SiGest un arbre connexe etH une g´eod´esique deG, les adh´erences dansGdes composantes connexes de G−H sont appel´eesbranches mortes par rapport `aH. Ce sont des sous-graphes deG. On appellebambou(notation due `a H.Hironaka et D.T.Lˆe) une g´eod´esique dont aucun sommet int´erieur n’est de rupture. Remarquons que l’on a modifi´e les notations de [36], o`u une branche morte ´etait forc´ement un bambou.

Lorsque on consid`ere deux g´eod´esiques partant du mˆeme sommet d’un arbre, leur dernier sommet commun est appell´ele sommet de bifurcation des g´eod´e-siques.

Rappelons `a pr´esent quelques notions sur les germes de courbes planes.

Si C1 est une branche plane, c’est-`a-dire un germe irr´eductible de courbe analytique complexe plane, on choisit pour l’´etudier des coordonn´ees (x, y) g´en´eriques (telles que les cˆones tangents des courbes x = 0 et C1 soient dis-joints). Soit fC1 une fonction de d´efinition de C1, polynomiale en y. On peut toujours choisir une telle fonction, par le th´eor`eme de pr´eparation de Weiers-trass. Les coordonn´ees ´etant g´en´eriques, le degr´e de fC1 est ´egal `a la mul-tiplicit´e m0(C1) de la branche C1 `a l’origine. L’´equation fC1(x, y) = 0 ad-met m0(C1) racines y = ηk(x), les ηk ´etant des s´eries fractionnaires en x, ηk ∈C{x^{m0 (1C1 )}},∀k∈ {1, ..., m0(C1)}.On dit que ce sont less´eries de Newton-Puiseux de la brancheC1.

L’ensemble desexposants caract´eristiquesde la brancheC1est par d´efinition : EC:={vx(ηk−ηl), k 6=l}.

4.2 L’ARBRE D’EGGERS ET L’ARBRE D’EGGERS R ´EDUIT 145

On note para1, ..., agles ´el´ements deEC, avecg≥0 eta1< ... < ag(siEC=∅, on pose g = 0). On note aussi a0 := 1, ag+1 = +∞, bi := m0(C1)ai, ei :=

pgcd(b0, b1, ..., bi), ∀i∈ {0,1, ..., g}et ni := ^ei−1_ei , ∀i∈ {1, ..., g}. Sig≥1, on a l’in´egalit´ea1> a0.

On d´efinit les entiers bi, pour i ∈ {0,1, ..., g} par la relation de r´ecurrence suivante :bi+1:=nibi+bi+1−bi, pouri∈ {0, ..., g−1}, avecb0=b0. Ils forment le syst`eme minimal de g´en´erateurs du semi-groupe de la brancheC1 (voir [73]).

Si C1 et C2 sont deux branches, on consid`ere un syst`eme de coordonn´ees locales qui soit g´en´erique pour chacune d’entre elles, dans le sens expliqu´e pr´ec´edemment. Soientηkpourk∈ {1, ..., m0(C1)}etζlpourl∈ {1, ..., m0(C2)} les racines correspondant `a des ´equations de d´efinition de C1, respectivement C2. L’ ordre de co¨ıncidence K(C1, C2) de C1 et C2 est d´efini de la mani`ere suivante :

K(C1, C2) := maxk,l{vx(ηk(x)−ζl(x))}.

On a K(C1, C2) ≥ 1. Ce nombre ne d´epend pas du syst`eme de coordonn´ees g´en´eriques choisi.

D´efinissons aussi le coefficient de contact d’HironakaH(C1, C2) deC1 avec C2 par la formule :

H(C1, C2) := (C1, C2)0

m0(C2) .

o`u (C1, C2)0d´esigne lenombre d’intersection des deux branches `a l’origine.

Remarquons que ce coefficient de contact n’est pas sym´etrique enC1 etC2. SoittC1 :R^∗₊→R^∗₊ l’application d´efinie par :

tC1(a) := bk

n1· · ·n_k−1 +m0(C1)a−bk

n1· · ·nk

, siak≤a < ak+1, k∈ {0, ..., g}. On a la proposition suivante, d´emontr´ee dans [72] et [41] :

Proposition 4.2.1 1)tC1 est strictement croissante et continue.

2) (Formule d’intersection) H(C1, C2) =tC1(K(C1, C2)).

Soit `a pr´esentC֒→C² un germe r´eduit de courbe analytique plane compos´e derbranches,r≥1. SoientCⁱ, pouri∈ {1, ..., r}ses composantes irr´eductibles et ECⁱ :={aⁱ₀, ..., aⁱ_g(i)} l’ensemble des exposants caract´eristiques deCⁱ. Pour chaquei∈ {1, ..., r}, soit :

OCⁱ:=ECⁱ∪ {K(Cⁱ, C^j), j6=i}.

Si fⁱ∈C{X}[Y] est un polynˆome de d´efinition deCⁱ, OCⁱ est l’ensemble des ordres de co¨ıncidence finis d’une racine quelconque defⁱavec toutes les racines def =f¹· · ·f^r.

D´efinissons `a pr´esentl’arbre d’EggersT(C) de la courbe C, en suivant [69].

Cette construction est ´etendue dans [51] aux polynˆomes quasi-ordinaires sous la d´enomination d’arbre d’Eggers-Wall du polynˆome.

146 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES

Pour chaquei∈ {1, ..., r}, soit Tⁱ un segment muni d’un hom´eomorphisme νⁱ :Tⁱ→[1,∞]. Ce segment correspond `a la composanteCⁱ. Notons :

Pⁱ(l) := (νⁱ)⁻¹(l), ∀l∈[1,∞], P_kⁱ:=Pⁱ(aⁱ_k), ∀k∈ {0,1, ..., g(i) + 1}.

Consid´erons une relation d’´equivalence ^′′∼^′′ sur l’union disjointe⊔^ri=1Tⁱ : Q∼Q^′⇔ siQ∈Tⁱ, Q^′∈T^j, alors

νⁱ(Q) =ν^j(Q^′)≤K(Cⁱ, C^j),

et soit T(C) le quotient de ⊔^ri=1Tⁱ par cette relation d’´equivalence. Soit Ω l’op´eration de passage au quotient :

Ω :⊔^ri=1Tⁱ→T(C).

En restriction `a chaque composanteT<sup>i</sup>, l’application Ω est un hom´eomorphisme sur son image. Ceci nous permet de voirT<sup>i</sup> comme ´etant uneg´eod´esique maxi-male deT(C). SoitP(1) l’image par Ω des diff´erents pointsP<sup>i</sup>(1), on l’appelle la racine de T(C). C’est un sommet terminal de T(C). Pour chaque branche C<sup>i</sup>, nous notons encore parP<sub>k</sub><sup>i</sup> les points Ω(P<sub>k</sub><sup>i</sup>). Le pointP<sup>i</sup>(∞) est lesommet terminal infini deT(C)par rapport `a la composante Cⁱ.

Pour chaque couple de branchesCⁱ, C^j, on a l’´egalit´e : Ω(Pⁱ(K(Cⁱ, C^j))) = Ω(P^j(K(Cⁱ, C^j))).

Ce point est lepoint de bifurcation des g´eod´esiquesTⁱ, T^j, on le noteP^i,j. Les diverses fonctionsνⁱ se recollent en une application :

ν^C :T(C)→[1,∞].

Si Q∈T(C), on dit queν^C(Q) est lavaleur du pointQ.

L’ensemble des points de T(C) peut ˆetre muni d’une relation d’ordre partiel :

P Q⇔ ∃i∈ {1, ..., r}, P, Q∈Tⁱ etν^C(P)≤ν^C(Q).

Pour le moment T(C) est vu comme un espace topologique. Consid´erons aussi le complexe simplicial de dimension 1, support´e parT(C), dont l’ensemble des sommets est :

[r

i=1

(∪^g(i)+1k=0 {P_kⁱ})∪[

i6=j

{P^i,j}.

Ce complexe simplicial est un arbre au sens de la th´eorie des graphes, nous le notons encore T(C). Les sommets Pⁱ(∞) sont colori´es enblanc, les autres en noir. Le contexte indiquera si l’on con¸coitT(C) comme espace topologique ou comme complexe simplicial.

Dans la d´efinition initiale de [12] reprise dans [21], les arˆetes deT(C) ´etaient en plus partag´ees en deux types, les pleines et les pointill´ees, afin de coder compl`etement le type d’´equisingularit´e de C. Ici nous n’aurons pas besoin de cette information suppl´ementaire.

Soit maintenantDun deuxi`eme germe de courbe plane, suppos´e irr´eductible.

L’arbreT(C) se plonge naturellement dans T(C∪D). SoitP^C(D) le point de bifurcation deT(D) avecT(C), consid´er´e comme point deT(C). C’est aussi le maximum des pointsP^i,D de bifurcation deT(D) etTⁱ, pour 1≤i≤r.

4.2 L’ARBRE D’EGGERS ET L’ARBRE D’EGGERS R ´EDUIT 147

D´efinition 4.2.2 On appelleT(C)l’arbre d’Eggers de la courbeCetP^C(D) lepoint d’attache de D dans l’arbre d’Eggers de C.

Exemple: Consid´erons la courbeC=C¹∪C²∪C³, les branchesCⁱ´etant d´efinies par les ´equations :

C¹:y²−x³= 0, C²:y²−4x³= 0,

C³: (y²−x³)²−4x⁵y−x⁷= 0.

Nous avons les s´eries de Newton-Puiseux suivantes pour ces branches : C¹:y=x³²,

C²:y= 2x³², C³:y=x³² +x⁷⁴.

L’arbre d’Eggers T(C), dont chaque sommet noir est marqu´e de la valeur ν^C, est alors : par les s´eries de Newton-Puiseux suivantes :

D¹:y= 2x³² +x²,

Donc les points d’attache des branches D¹, D², D³ dans l’arbre d’Eggers T(C) sont :

148 CHAPITRE 4. ENTRELACS DANS LES VARI ´ET ´ES IRR ´EDUCTIBLES

L’infimum est pris pour la relation d’ordre partiel introduite pr´ec´edemment, le point consid´er´e est le point de bifurcation deTⁱ et de la g´eod´esique joignant la racineP(1) `a Q.

Par la proposition 4.2.1, τⁱ(Q) =H(C, D) pour toute brancheD telle que Q=P^C(D).

Introduisons un deuxi`eme arbre ˇT(C), vu comme complexe simplicial, ap-pel´el’arbre d’Eggers r´eduit de la courbeC. Il est obtenu `a partir du complexe simplicialT(C) de la mani`ere suivante :

1) Si la valence deP(1) est ´egale `a 1 (ce qui signifie que le cˆone tangent r´eduit deCest compos´e d’une unique droite), alors on enl`eve deT(C) le sommetP(1) et l’arˆete qui le joint au sommet suivant.

2) Si la valence de P(1) est ´egale `a 2 (ce qui signifie que le cˆone tangent r´eduit deCest compos´e d’exactement deux droites), alors on enl`eve deT(C) le sommetP(1) et on joint directement ses deux voisins.

3) Dans tous les autres cas on laisse T(C) inchang´e.

On conserve les couleurs des sommets de T(C). Si un sommet de T(C) subsiste dans ˇT(C), on utilisera la mˆeme lettre pour le noter comme sommet des deux arbres. On a encore des fonctionsν^Cetτⁱ d´efinies surNT^ˇ(C), obtenues en restreignant les fonctions d´efinies sur l’espace topologiqueT(C).

D´efinissons une application S, qui associe `a chaque point de l’espace topo-logiqueT(C) un simplexe de ˇT(C) :