Différents types de modèles

Surfaces z = f (x, y) polynomiales

z

x y

FIG. 2.15 – Surface z= f(x,y)

Les articles traitant de la segmentation purement 2,5D utilisent le plus souvent ce type de modèle, qui exploite justement la structure de grille (Figure2.15).

Remarque

Les surfaces du type z = f (x, y) avec f polynôme de degré au plus 2 × 2 sont parfois appelés «quadriques». Dans ce document, on utilisera plutôt le terme de «surface bi- quadratique» pour ce type de surface, et le terme de quadrique pour dénoter les quadriques implicites.

Parmi nos primitives, seul le plan peut être exactement représenté par ce type de surface. Toute surface suffisamment lisse peut certes être approchée localement par de telles fonctions, dans un re- père local, par un développement de Taylor. Cependant, cette approximation locale ne fournit pas

2.2. TRAITEMENTS DES DONNÉES 3D À BASE DE MODÈLES 31

forcément une bonne approximation au niveau global (sans parler des problèmes de topologie liés au fait que l’on ne peut pas décrire la totalité d’une telle surface par une fonction z = f (x, y) ). Aussi paraît-il étonnant que dans divers travaux, on se propose de segmenter des scènes où se trouvent des cylindres, des sphères, des cônes ou des tores (ex. images du NRC ou de Michigan State University) avec des modèles z = f (x, y) de degré faible [YBK94,JB94,HJBJ+96]. On peut certes s’approcher un peu plus des surfaces réelles avec des modèles de degré 4 × 4 [SB95,BJ88] qu’avec des modèles de degré au plus 2 × 2 [LGB95,DP97, YBK94,GM93]. Ceci est illustré sur la figure2.16, où des surfaces de ce type sont ajustées sur des points se trouvant sur un cylindre (les points sont en réalité sur un demi-cylindre, de façon que l’on puisse encore les décrire par une surface z = f (x, y)). Dans cet exemple, tous les points ont été considérés dans l’ajustement. On voit que dans les deux cas, l’ap- proximation globale n’est pas tout à fait satisfaisante. On constate d’autre part que le modèle de degré plus élevé est plus proche du cylindre.

FIG. 2.16 – Ajustement de surfaces z = f (x, y) polynomiales sur un cylindre, de degré 2 × 2 (à gauche) et 4 × 4 (à droite).

Surfaces f (x, y, z) = 0 polynomiales

FIG. 2.17 – Surface implicite

Les surfaces algébriques — c’est-à-dire les surfaces implicites f (x, y, z) = 0 où f est un polynôme — forment une classe de surfaces plus vaste, contenant la classe des surfaces bivariées précédentes (Figure 2.17). En effet, z − f (x, y) = 0 avec f polynôme est bien un cas particulier d’équation algé- brique. En particulier, toutes les primitives du chapitre1sont contenues dans cette classe de modèles (plan, cylindre, cône et sphère sont des quadriques implicites, le tore est une tétrique implicite). En effet, les équations de ces primitives s’écrivent dans un repère propre :

32 CHAPITRE 2. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE, ÉTAT DE L’ART Plan ax + by + cz + d = 0 Sphère x2+ y2+ z2− r2_{= 0} Cylindre x2+ y2− r2_{= 0} Cône x2+ y2_{− tan}α2_z2_{= 0} Tore 4R2(x2+ y2) − [x2+ y2+ z2+ R2− r2_]2_{= 0}

Ces équations sont obtenues à partir des distances d’un point à chaque primitive (annexe A, page185). Or, une fois la rotation et la translation effectuées, ces équations s’écrivent sur la base polynomiale des quadriques :

(1, x, y, z, x2, xy, xz, y2, yz, z2)

pour la sphère, le cylindre et le cône, et sur la base polynomiale des tétriques

(1, x, y, z, x2, xy, xz, y2, yz, z2, x3, x2y, x2z, xy2, xyz, xz2, y3, y2z, yz2, z3,

x4, x3y, x3z, x2y2, x2yz, x2z2, xy3, xy2z, xyz2, xz3, y4, y3z, y2z2, yz3, z4)

pour le tore. Remarque

La base polynomiale des quadriques génère un espace vectoriel de dimension 10. Les équations du plan et de la sphère peuvent s’exprimer dans des sous-espaces de dimension strictement inférieure (base (1, x, y, z) de dimension 4 pour le plan, base (1, x, y, z, x2+

y2+ z2) de dimension 5 pour la sphère). Par contre, il n’y a semble-t-il pas d’espace plus

simple que celui des quadriques pour exprimer les équations de cylindres et de cônes quel- conques (bien que le nombre de paramètres minimal définissant ces modèles soit respec- tivement 5 et 6, inférieurs à 9, nombre de paramètres minimal définissant une quadrique quelconque) [LMM98]. De même que pour le plan et la sphère, la base polynomiale des tores est de dimension strictement inférieure à la base polynomiale des tétriques.

Une importante littérature est consacrée aux coniques (en 2D) et aux quadriques (en 3D) [AF96]. Un certain nombre de travaux ont notamment été menés sur l’ajustement de coniques en général, ainsi que sur des coniques ou des quadriques particulières [LC98,Zha96,Zha95,Tau91,Pra87]. Enfin, Taubin [TCS+94] propose également certaines équations algébriques de degré pair et élevé pour représenter des surfaces bornées pouvant avoir des formes complexes.

Autres types de surfaces implicites

On peut également utiliser des surfaces implicites non algébriques, c’est-à-dire des surfaces f (x, y, z) = 0 où f n’est pas un polynôme.

Super-quadriques La super-quadrique généralise la notion de surface algébrique implicite en in- troduisant des puissances non-entières. L’équation d’une super-quadrique est, dans un repère propre :

 x a
ε1 + y b
ε1ε_ε2 1 + z c
ε2 = 1

Ceci donne les modèles tels que les super-ellipses (2D), les super-quadriques (3D) [LJS97], les cy- lindres généralisés ([Pon88]).

2.2. TRAITEMENTS DES DONNÉES 3D À BASE DE MODÈLES 33

Modèles déformables On peut également classer les courbes et surfaces de niveaux (level set), ou modèles déformables (par EDP) dans les surfaces implicites. On trouve dans cette catégorie les notions de contours actifs, snakes, . . . Ces modèles sont notamment utilisés en imagerie médicale [HFG00].

Surfaces définies par des critères géométriques On peut par exemple définir les primitives vues au chapitre1à l’aide de caractérisations géométriques : le plan peut être défini par un produit scalaire constant, le cylindre par une distance constante (par rapport à un axe), le tore également par une distance constante (par rapport à un cercle), etc. Ceci donne lieu dans le cas général à des équations implicites non-polynomiales (voir chapitre4et annexeA).

Remarque

Ceci n’est guère employé dans la littérature. L’une des raisons est peut-être que ceci contraint à définir un type de modèle par primitive recherchée. Une autre raison est que cette approche est simple pour les surfaces simples, pour lesquelles on peut défi- nir analytiquement la distance exacte. Toutefois, plusieurs auteurs ont souligné l’inté- rêt d’utiliser le plus tôt possible le type précis de primitive que l’on cherche à extraire [LMM98,LMM97,FFE97]).

Surfaces paramétrées

Le domaine de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO) utilise abondamment des défini- tions paramétrées pour les surfaces, comme par exemple les splines, les b-splines, et les NURBS. Ces surfaces sont des surfaces d’interpolation satisfaisant certaines contraintes de régularité [Lau72]. Elles sont le plus souvent définies par des points de contrôle, sur lesquels on peut faire un ajustement [Con96]. Les splines sont parfois utilisées pour la segmentation [Lei93].

Objets catalogués

Les modèles utilisés peuvent être, comme en reconnaissance d’objets, des modèles d’objets parmi un ensemble fini et connu (c’est-à-dire un catalogue). Par exemple, le système Artisan de Carnegie Mellon University [JH97,JHOH97] (voir site Internet dont l’adresse est donnée en annexe) utilise des modèles de vannes.

Modèles CAO plus complexes

Parmi les modèles plus complexes, on trouve la b-rep (pour boundary representation), c’est- à-dire représentation par frontières, que l’on peut construire à partir d’une scène déjà segmentée [FEF97,HGB98b,HGB98a,HGB95] ; les modèles CSG (constructive solid geometry, représentation par volume et opérations ensemblistes ; ou encore des modèles CAO articulés [WFAR99,AFRW97].