Extraction d’information sur les surfaces

Les informations géométriques classiques — le plus souvent basées sur des opérateurs différen- tiels — que l’on peut extraire des données 3D peuvent servir à une classification ou une segmentation sans modèle de la scène.

n

vmax vmin

Kmin _Kmax

FIG. 2.3 – Normale et courbures locales à une surface en un point

Normales

La normale à une surface en un point est l’information locale la plus simple pour représenter la forme de la surface (Figure2.3). Une définition plus précise de cette notion est présentée à l’annexeB, page205.

La normale à la surface en un point est la plupart du temps estimée grâce au plan d’inertie des points dans un voisinage du point considéré (voir annexe B). Lorsque le voisinage n’est pas trop important par rapport aux dimensions de la surface considérée, le plan d’inertie fournit une bonne approximation du plan tangent et donc de la normale. Ceci dépend bien entendu aussi de la densité et du bruit sur les points.

Courbures

Après la normale, les informations locales qui sont naturellement introduites pour décrire la forme de la surface sont les courbures (Figure2.3). On trouve les courbures moyennes et gaussiennes (notées

H et K), ainsi que les courbures principales (notées Kminet Kmax, ou K1et K2). Une définition précise de ces quantités est présentée à l’annexeB, page205.

De même que les normales, les courbures sont des quantités invariantes du modèle utilisé pour dé- crire la surface. Elles ne dépendent donc pas, en théorie, de la représentation utilisée pour les estimer. Si les normales sont toujours estimées à peu près de la même façon, il existe plusieurs variantes pour l’estimation des courbures (voir par exemple [MV97,Sav00,SOR99]).

– Pour une image 2,5D, il est simple d’estimer les courbures puisqu’un opérateur de convolution permet d’estimer les dérivées partielles [BJ88,Dav92].

– Sur un maillage 3D, les courbures peuvent être estimées à partir des angles formés par les nor- males voisines [FFE97,SPPH99]. Garcia [GB96] introduit l’«idée» de courbure par la variance des angles de normales de triangles voisins.

– Pour un nuage de points 3D, quelques unes des méthodes existantes sont mentionnées en an- nexeB, qui présente en détail celle que nous avons utilisée.

22 CHAPITRE 2. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE, ÉTAT DE L’ART

Remarquons que cette estimation est en général fortement bruitée, et nécessite le plus souvent un lissage pour pouvoir être utilisée [TF95]. Un tel lissage peut être effectué en 2,5D par un filtre de convolution [BJ88]. Notons ici la nécessité d’un lissage qui préserve les discontinuités (de profondeur et d’orientation), d’où l’utilité de filtres adaptatifs ou multi-résolution [Bou94a].

De même que pour la normale, il est nécessaire de définir une taille de voisinage (a priori un peu plus grande que pour les normales). Ce choix de taille est critique dans l’estimation des courbures, car les valeurs obtenues peuvent varier beaucoup selon la taille. Il n’existe pas de manière simple de définir une taille appropriée.

Remarque

Certains auteurs ont remarqué qu’ils ne souhaitaient estimer que le signe de la courbure (gaussienne), et que cette estimation pouvait être plus simple et meilleure que l’estimation de la valeur de la courbure elle-même [AW98].

Sphère et image de Gauss

La normale à la surface en un point étant choisie unitaire, ce vecteur peut se représenter sur la sphère unité, appelée sphère de Gauss. L’image de Gauss (Gaussian image) d’une surface ou d’un objet est la représentation des normales de cette surface ou de cet objet sur la sphère de Gauss [dC76, chap. 3], [Hor86, chap. 16]. Le terme carte d’aiguilles (needle map) désigne la même notion [Bah97]. Nous étendons la notion d’image de Gauss d’une surface au cas d’un nuage de points. On peut de la même façon représenter les normales unitaires estimées sur un nuage de points sur la sphère de Gauss, comme l’illustre la figure 2.4. L’intérêt principal de cette représentation est qu’elle est

FIG. 2.4 – Image de Gauss d’une scène réelle

invariante par changement d’échelle et translation. De plus, elle est stable par rotation, en ce sens que la représentation subit la même rotation en 3D que la surface elle-même.

Une variante de cette représentation est l’ «image de Gauss étendue» ou EGI (extended Gaussian

image) : l’image de Gauss étendue est une image de Gauss où chaque vecteur est non plus unitaire

mais affecté d’une longueur égale à l’inverse de la courbure de Gauss au point considéré. Remarque

La courbure de Gauss en un point est la limite lorsque la taille du voisinage autour de ce point tend vers 0 du rapport de l’aire sur la sphère de Gauss et de l’aire sur l’objet [Hor86].

L’image de Gauss étendue a pour intérêt d’être une représentation bijective (à translation près) pour les objets convexes. Cependant, des méthodes permettant de retrouver l’objet à partir de l’image de Gauss étendue existent seulement dans le cas où cet objet est polyédrique [Hor86, p. 371].

2.1. TRAITEMENTS «BAS NIVEAU» DES DONNÉES 3D (SANS MODÈLES) 23

Dans la littérature, l’image de Gauss étendue a été utilisée sous une forme discrétisée, la sphère de Gauss étant approchée par un maillage [Shi87, p. 207], [Hor86].

Enfin, il existe des variantes de ce type de représentation, comme par exemple la SAI (spherical

attribute image) [HID95,Del94].

Centres de courbure d’une surface

On peut étendre la notion de centre de courbure d’une courbe de R2à une surface de R3[FLW93]. Ainsi, dans [Gou97], le centre de courbure est défini à l’aide de la normale et de la courbure maximale : c’est le point se trouvant à K_max−1 du point courant suivant la direction de la normale au point (orientée par le repère de Darboux)[Gou97, p.59].

Pour des surfaces de type cylindre, cône, ou tore, la notion intuitive de centres de courbure cor- respond à des points qui se trouvent sur l’axe (pour le cylindre et le cône), ou le cercle directeur(pour le tore). Ce fait est utilisé dans [Gou97], mais aussi dans les procédés de la section4.4 utilisant les centres de courbure. Notons toutefois que la définition faite précédemment à partir de K_max−1 ne cor- respond pas toujours à cette notion intuitive. En effet, dans le cas du tore de petit rayon r et de grand rayon R où r ≤ R ≤ 2r (ce qui est un cas tout à fait courant en pratique), les points sur le cercle di- recteur ne sont pas tous à K_max−1 du point de la surface : certains sont à K_min−1. Le passage entre les deux zones se fait lorsque Kmin+ Kmaxchange de signe. Ceci est donc lié au signe de la courbure moyenne H en ce point. Le tableau présenté à l’annexeB.2, page206indique que le changement de signe de H a lieu lorsque

cos v = R 2r

La figure2.5illustre les zones sur lesquelles la courbure moyenne H a un signe distinct. Ceci a pour effet de créer, dans la partie intérieure du virage, des centres de courbures qui se trouvent au centre du tore et non sur le cercle directeur (Figure2.5).

1/Kmin 1/Kmax

v r

R

FIG. 2.5 – Extension au cas 3D de la notion de centre de courbure, cas particulier du tore.

Quoiqu’il en soit, estimer le centre de courbure local revient à estimer la normale et la courbure locales. Le caractère bruité, en particulier de l’estimation de la courbure, se reporte spatialement sur l’estimation du centre de courbure.

Remarques

– Les centres de courbure d’un plan ou d’une surface localement plane ne sont pas définis (ils se trouvent à l’infini).

24 CHAPITRE 2. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE, ÉTAT DE L’ART

– Les centres de courbure de surfaces de révolution se trouvent sur l’axe de révolution (ceci ne permet donc pas, par exemple, de distinguer directement un cône d’un cylindre).

Autres

D’autres types de description de la forme locale existent : moments [GM93,Ald94], spin-images (Système ARTISAN de Carnegie Mellon University) [JH97,JHOH97], etc.