Triangulation d’une surface

α

₁

(x) si x∈C

₁

α

₂

(x) si x∈C

₂

.

L’applicationα est un hom´eomorphisme deC

₁

∪C

₂

tel que :

– α= id sur la fronti`ere de [c

_i

;d

_i

]×[−ε;ε] et sur la fronti`ere de [a

_i

;b

_i

]×[−ε;ε],

– α=h

⁻_i ¹

◦h

_i+1

sur la fronti`ere de [c

_i+1

;d

_i+1

]×[−ε;ε].

Posons :

˜

φ

_i

: [a

_i

;b

_i

]×[−1; 1] −→ [a

_i

;b

_i

]×[−1; 1]

x 7−→







α(x) six∈C

₁

∪C

₂

x six∈[c

i

;d

i

]×[−ε;ε]

h

⁻_i ¹

◦h

_i+1

(x) six∈[c

_i+1

;d

_i+1

]×[−ε;ε].

L’application ˜φ

_i

est alors un hom´eomorphisme de [a

_i

;b

_i

]×[−1; 1] qui co¨ıncide avec l’identit´e sur la

fronti`ere de [a

_i

;b

_i

]×[−ε;ε]. Si l’on restreint ˜φ

_i

`a ]a

_i

;b

_i

[×]−1; 1[, on obtient un hom´eomorphisme de

]a

_i

;b

_i

[×]−1; 1[.

Consid´erons alors φ

_i

la restriction de ˜φ

_i

`a ]a

_i

;b

_i

[×]−1; 1[ `a valeur dans le mˆeme ensemble.

Cette applicationφ

_i

convient. En effet d’une part elle co¨ıncide avec l’identit´e sur [c

_i

;d

_i

]×[−ε;ε] par

construction et sur ]a

i

;b

i

[×{0} parce que :

– φ

_i

=α= id sur (]a

_i

;c

_i

]∪[d

_i

;c

_i+1

]∪[d

_i+1

;b

_i

[)× {0},

– φ

_i

=h

⁻_i¹

◦h

_i+1

= id sur [c

_i+1

;d

_i+1

]× {0}, les applicationsh

_i

eth

_i+1

co¨ıncidant toutes les deux

avecγ sur [c

_i+1

;d

_i+1

]× {0}.

D’autre part, par construction l`a aussi, φ

_i

=h

⁻_i ¹

◦h

_i+1

sur [c

_i+1

;d

_i+1

]×[−ε;ε].

2

3.2 Triangulation d’une surface

Dans ce paragraphe, nous renvoyons `a [Mo77] pour plus de d´etails et pour une preuve des r´esultats

´enonc´es.

• Simplexe et complexe euclidien

– SoitV ⊆R

^m

,V estconvexe si quelque soit v et wdeux points deV,V contient le segment

vw={tv+ (1−t)w:t∈[0; 1]}.

– SoitX⊆R

^m

,l’enveloppe convexe deX est le plus petit convexe au sens de l’inclusion qui

contientX. C’est l’intersection de tous les convexes qui contiennentX.

– Soit V ={v

₀

, ..., v

_n

} un ensemble de n+ 1 points affinements ind´ependants de R

^m

(n≤m),

l’enveloppe convexe de V, not´ee v

₀

v

₁

...v

_n

, est un simplexe de dimension n de R

^m

. On note

dim(v

₀

v

₁

...v

_n

), cette dimension.

– Les points de V sont lessommets du simplexev

₀

v

₁

...v

_n

.

– L’enveloppe convexe d’un sous ensemble non vide W de V est unefacede v

0

v

1

...v

n

.

– Si W contient exactement deux ´el´ements de V, l’enveloppe convexe de W est une arˆete de

v

0

v

1

...v

n

. Une face ou une arˆete d’un simplexe sont eux mˆeme des simplexes deR

^m

.

– Uncomplexe euclidien est une collection K de simplexes dansR

^m

telle que :

1. K contient toutes les faces de tous les ´el´ements deK.

2. Siσ etτ appartiennent `aK etσ∩τ 6=∅alors σ∩τ est une face `a la fois deσ et deτ.

3. Pour tout σ ∈ K, il existe U un voisinage de σ qui n’intersecte qu’un nombre fini

d’´el´ements deK.

Ladimensiond’un complexe euclidien est la plus grande des dimensions des simplexes qui le

composent.

Remarque 3.3. — Un complexe euclidien poss`ede un nombre au plus d´enombrable d’´el´ements.

Notation :SiK est un complexe euclidien, on note|K|= [

τ∈K

τ muni de la topologie induite par

la topologie usuelle deR

^m

.

– SoitK etK

^′

deux complexes euclidiens deR

^m

. Si|K|=|K

^′

|et si pour toutσ deK

^′

, il existe

τ ∈Ktel queσest inclus dansτ, on dit queK

^′

est unsous complexedeK. On noteK

^′

< K.

– SoitK un complexe euclidien,kKk= sup

σ∈K

(diam(σ)) o`u diam(σ) = sup

x,y∈σ

d(x, y) est le diam`etre

deσ.

• Complexes euclidiens et surfaces : propri´et´es

Th´eoreme 3.4. — Soit M une surface, il existe (K

_n

)

_n∈N

une suite de complexes euclidiens de

dimension2 tels que :

1. ∀(n, m)∈N

²

,|K

_n

|=|K

_m

|,

2. ∀n∈N,K

_n+1

< K

_n

,

3. lim

n→+∞

kK

_n

k= 0,

Soit n∈ N, on dit que K

_n

est une triangulationde M. Remarquons que |K

_n

| est une vari´et´e

de dimension 2 sans bord.

Commentaire sur la preuve du th´eor`eme 3.4. – Dans [Mo77], il est d´emontrer que toute surface

admet une triangulation K. En observant pr´ecis´ement la preuve, on peut construireK de telle sorte

quekKk est inf´erieur `a 1. La suite (K

_n

) telle qu’elle est d´ecrite dans le th´eor`eme 3.4, est alors d´efinie

par r´ecurrence :

1. On poseK

₀

=K.

2. Soit n un entier naturel, supposons avoir construit complexe euclidien K

_n

. On obtient K

_n+1

en prenant une ”subdivision barycentrique” de K

_n

. Voici un sch´ema qui repr´esente K

_n+1

en

fonction deK

_n

:

Les arˆetes de K

_n

sont repr´esent´ees en trait continu, alors que les arˆetes de K

_n+1

sont les

seg-ments en tait continu qui relient les sommets de K

_n

et les milieux des arˆetes de K

_n

, ainsi que

les segments en trait pointill´e.

Pour une d´efinition pr´ecise, nous renvoyons `a la page 45 de [Mo77]. On d´emontre alors que

kK

_n+1

kest inf´erieur ou ´egale `a ²

3kK

_n

k.

Ainsi pour toutn entier naturel :

kK

_n

k ≤(²

3⁾

n

kK

₀

k ≤(²

3⁾

n

.

Ce qui d´emontre que lim

n→+∞

kK

n

k= 0.

Proposition 3.5. — Soit K un complexe euclidien tel que |K|est une vari´et´e de dimension 2.

AlorsK est l’ensemble de ses simplexes de dimension 2 et de leurs faces.

Remarque3.6. — Remarquons que dans le cadre de la proposition ci-dessus :

– |K|= [

τ∈K

dimτ=2

– Chaque simplexe de dimension 1 est inclus dans exactement deux simplexes de dimension 2

deK.

– La fronti`ere d’un simplexe de dimension 2 est l’union de ses arˆetes. Elle est de plus ´egale `a

la fronti`ere de l’int´erieur de ce simplexe. Ce qui implique que l’adh´erence de l’int´erieur d’un

simplexe co¨ıncide avec ce simplexe.

Proposition 3.7. — Soit K un complexe euclidien tel que |K|est une vari´et´e de dimension 2.

Soit x∈K. Alors [

τ∈K x∈τ

τ est un voisinage dex.

D´emonstration. — Consid´eronsF ={τ ∈E, x /∈τ} puis |F|= [

τ∈F

τ. Alors |K| \ |F|est inclus

dans [

τ∈K x∈τ

τ et contientx. Il suffit donc de d´emontrer que|F|est ferm´e pour conclure que [

τ∈K

x∈τ

τ est un

voisinage de x.

Soit y un point de l’adh´erence deF. Par d´efinition d’un complexe, il existeO un ouvert contenanty

qui rencontre seulement un nombre fini de simplexes. En particulier, il rencontre seulement un nombre

fini de simplexes appartenant `a F. Comme y appartient `a l’adh´erence deF, l’ensemble des simplexes

appartenant `a F rencontrantO est non vide.

Soit τ

₁

, ..., τ

_k

les simplexes appartenant `aF rencontrantO.

L’ouvert O\

k

[

i=1

τ

_i

est un ouvert inclus dans le compl´ementaire deF ety appartient `a l’adh´erence de

F, doncy n’appartient pas `a cet ouvert. Par cons´equent y∈

k

[

i=1

τ

i

.

Or les simplexesτ

1

, ..., τ

_k

appartiennent `a F. Donc y appartient `a F. Ainsi l’adh´erence deF co¨ıncide

avec F, ce qui prouve queF est ferm´e. ₂

Remarque3.8. — Dans le cadre de la proposition ci-dessus, six∈ |K|alors :

[

τ∈K x∈τ

τ = [

τ∈K, x∈τ dimτ=2

τ.

3.3 Construction d’une famille d´enombrable d’anneaux constituant une base de voisinages d’une

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 38-41)