Cas de l’anneau

• Appliquons le Connecting Lemma

Lemme 2.2. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique de l’anneau appartenant `a G

∞

(A) et

γ : T

¹

→ A une courbe ferm´ee essentielle invariante par f sur laquelle f ne poss`ede pas de point

p´eriodique. Soitn∈Ntel queγ(T

¹

)⊆T

¹

×]−n;n[etU un voisinage def dans Diff

¹_ω

(A).

Il existe alorsg∈ U,p∈T

¹

×]− ∞;−n[etm∈N tels queg

^m

(p)∈T

¹

×]n; +∞[.

D´emonstration. —SoitC

1

etC

2

les deux composantes connexes deA\γ(T

¹

). La courbeγ ´etant

une courbe essentielle, C

1

etC

2

ne sont pas born´ees. L’une contient donc T

¹

×]− ∞;−n[ tandis que

l’autre contient T

¹

×]n; +∞[. Supposons que c’est C

₁

qui contient T

¹

×]− ∞;−n[, C

₂

contient alors

L’id´ee est d’appliquer le Connecting Lemma au voisinage d’un point de la courbe.

Soit x ∈ γ(T

¹

). Ce point n’est pas p´eriodique puisque f ne poss`ede pas de points p´eriodiques

surγ(T

¹

). De plus, son orbite positive poss`ede une valeur d’adh´erence puisqu’elle est contenue dans le

compactγ(T

¹

). En outre, l’ensembleT

¹

×[−n;n] est un voisinage dex. D’apr`es le Connecting Lemma,

il existe N ∈ N et W un voisinage ouvert de x tels que s’il existe deux points p et q n’appartenant

pas `a

N

[

−1

k=0

f

^k

(T

¹

×[−n;n]) et s’il existen

_p

et n

_q

des entiers positifs tels que f

ⁿp

(p) et f

⁻ⁿq

(q)

n’ap-partiennent pas `a W il existe alors h∈ U et un entier m tel queh

m

(p) =q.

Cherchons donc de tels points p etq et de tels entiers entiers n

_p

et n

_q

.

D’une part le pointx appartient `a la fois `a la fronti`ere deC

₁

et `a celle deC

₂

. Les ouvertsC

₁

∩W

etC

2

∩W sont donc non vides.

D’autre part l’application f appartient `a G

∞

(A). L’ensemble des points dont les orbites positives et

n´egatives sousf sortent de tous compacts est dense dans M.

De plus, l’ensembleK =

N

[

−1

k=0

f

^k

(T

¹

×[−n;n]) est compact.

Il existe donca∈C

₁

∩W etb∈C

₂

∩W tels que l’orbite n´egative de aet l’orbite positive debsort de

K. Soit n

_a

etn

_b

deux entiers positifs tels que f

−na

(a) et f

nb

(b) n’appartiennent pas `aK (cf. sch´ema

ci-dessous).

Posons alors :

p=f

⁻ⁿa

(a) et q=f

ⁿb

(b),

n

_p

=n

_a

etn

_q

=n

_b

.

Il existe doncg ∈ U et un entier m tel queg

m

(p) =q. Il reste donc `a v´erifier que p∈T

¹

×]− ∞;−n[

etq∈T

¹

×]n; +∞[.

p=f−na(a) b a W

γ

K

T

1

×[₋n;n]

C

₁

C

₂ q=gm (p) =fnb(b) g ^f f

Or d’une part les points p=f

⁻ⁿa

(a) etq =f

ⁿb

(b) n’appartiennent pas `a K etT

¹

×[−n;n] est

inclus dans K. Doncp etq appartiennent `a T

¹

×(]− ∞;−n[∪]n; +∞[).

D’autre part, l’applicationf ne poss`ede pas de points p´eriodiques surγ(T

¹

). Ce qui implique, d’apr`es

la proposition 2.34 du chapitre 1, que f pr´eserve l’orientation de γ. Or f ´etant un diff´eomorphisme

symplectique, d’apr`es la remarque 2.29,f pr´eserve l’orientation au sens topologique. D’apr`es la

propo-sition 2.37 du chapitre 1,f pr´eserve chacune des composantes connexes de A\γ(T

¹

). Par cons´equent

f(C

₁

) =C

₁

etf(C

₂

) =C

₂

. Le pointp=f

⁻ⁿa

(a) appartient donc `aC

₁

tandis que le pointq =f

ⁿb

(b)

appartient `a C

₂

.

CommeT

¹

×]− ∞;−n[ etT

¹

×]n; +∞[ sont inclus respectivement dansC

₁

etC

₂

, le pointp appartient

`

a T

¹

×]− ∞;−n[ alors que le point q appartient `aT

¹

×]n; +∞[. ₂

Remarque 2.3. — L’hypoth`ese quef ne poss`ede pas de points p´eriodiques surγ(T

¹

) est trop

forte. En fait, nous avons seulement besoin

1. que l’application f pr´eserve l’orientation de la courbe γ de fa¸con `a ce que chacune des

compo-santes connexes du compl´ementaire de γ(T

¹

) soit invariante,

2. que f poss`ede sur la courbe au moins un point non p´eriodique sachant que cette derni`ere

hy-poyh`ese est v´erifi´ee sif appartient `aG

d

(A). En effet les points p´eriodiques de f appartenant `a

γ(T

¹

) sont tous de mˆeme p´eriode puisquef pr´eserve l’orientation de la courbe. Or sif appartient

`

aG

d

(A), ses point p´eriodiques sont non d´eg´en´er´es. Ainsi d’apr`es la proposition 1.7, l’ensemble de

ceux qui sont de p´eriode inf´erieure ou ´egale `a un entier donn´e constitue un ensemble de points

isol´es qui est un ferm´e. L’image de γ contient donc un nombre fini de points p´eriodiques. Elle

en poss`ede donc au moins un qui ne l’est pas.

Supposer quef ne poss`ede pas de points p´eriodiques surγ(T

¹

) assure de ces deux hypoth`eses `a la fois

et surtout fait le pendant avec la conclusion du lemme suivant.

Lemme 2.4. — Soit g un diff´eomorphisme symplectique de l’anneau et n ∈ N. S’il existe

p∈ T

¹

×]− ∞;−n[et m ∈N tels queg

^m

(p) ∈T

¹

×]n; +∞[ et s’il existe une courbe γ ferm´ee simple

essentielle invariante parg dont l’image γ(T

¹

) est inclus dansT

¹

×]−n;n[alorsg poss`ede des points

fixes surγ(T

¹

).

D´emonstration. —Comme dans la d´emonstration du lemme pr´ec´edent, notonsC

₁

la composante

connexe contenant T

¹

×]− ∞;−n[ et C

2

la composante connexe de A\γ(T

¹

) contenant T

¹

×]n; +∞[.

Par hypoth`ese, il existe une orbite sous f qui vient de T

¹

×]− ∞;−n[ qui va dans T

¹

×]n; +∞[. Il

existe donc un pointx∈C

₁

dont l’image parf appartient `a C

₂

.

L’applicationf ´echange donc les deux composantes connexes deA\γ(T

¹

). Par cons´equent d’apr`es la

proposition 2.37 du chapitre 1, elle renverse l’orientation de γ. Ainsi d’apr`es la proposition 2.34 du

mˆeme chapitre 1, elle poss`ede des points fixes surγ. ₂

Voici un sch´ema qui repr´esente les deux fa¸cons qu’un diff´eomorphisme symplectiquega de v´erifier

la propri´et´e suivante : “ il existep∈T

¹

×]− ∞;−n[ et m∈Ntels que g

m

(p)∈T

¹

×]n; +∞[ ” :

γ(T

1

)

p

C

2

C

1

p

f(p)

f

2

(p)

f

3

(p)

f

4

(p)

T

1

×]₋n;n[

g(p)

g

2

(p)

g

3

(p)

gadmet donc des points p´eriodiques surγ(T1).

gn’admet pas de courbes invariantes. g(C₁) =C₂ etg(C₂) =C₁.

g admet une courbe invariante.

• Construction du G

_δ

dense

Soit nun entier non nul etf un diff´eomorphisme symplectique de l’anneau A.

Consid´erons les deux propositions suivantes :

– Q

1

(f, n) : il existe un voisinageU def tel que sigappartient `aU ∩ G

∞

(A) alorsgne laisse

in-variante aucune courbe ferm´ee simple dont l’image est contenue dansT

¹

×]−n;n[ ougposs`ede

des points p´eriodiques sur toute courbe ferm´ee simple qu’il laisse invariante et dont l’image

est incluse dansT

¹

×]−n;n[.

– Q

2

(f, n) : il existe p∈T

¹

×]− ∞;−n[ et un entier m tels quef

^m

(p)∈T

¹

×]n; +∞[.

Consid´eronsO

n

l’ensemble des diff´eomorphismes symplectiques de l’anneau tels queQ

1

(f, n) ou

Q

2

(f, n) est vraie.

Nous allons montrer que :

1. pour toutn∈N

^∗

,O

n

est un ouvert dense deDiff

¹_ω

(A),

2. si f ∈ ( \

n∈N⋆

O

n

)∩ G

∞

(A) et si f laisse invariante une courbe ferm´ee simple γ alors γ est une

courbe essentielle etf poss`ede des points p´eriodiques surγ(T

¹

).

Il suffit alors de poser :

G

p

(A) = ( \

n∈N⋆

O

n

)∩ G

∞

(A).

Comme Diff

¹_ω

(A) est un espace de Baire, G

p

(A) est un G

_δ

dense de Diff

¹_ω

(A). D´emontrons donc les

deux points ci-dessus.

1. Soitn∈N

^⋆

, d´emontrons queO

n

est un ouvert dense de Diff

¹_ω

(A).

• L’ensemble O

n

est ouvert :

Soitf ∈ O

n

. Si Q

1

(f, n) est vraie, le voisinageU def donn´e par cette proposition est inclus dansO

n

.

Sinon c’est Q

2

(f, n) qui est vraie. Soit p ∈T

¹

×]− ∞;−n[ et m un entier donn´es par la proposition

Q

2

(f, n) tels quef

^m

(p)∈T

¹

×]n; +∞[. Consid´erons alors l’application :

φ: Diff

¹_ω

(A) −→ A

g 7−→ g

^m

(p)

L’application φ est continue etφ(f) =f

m

(p) appartient `a l’ouvert T

¹

×]n; +∞[. Il existe donc U un

voisinage de f tel que pour tout g ∈ U, φ(g) = g

^m

(p) appartient `a cet ouvert, ce qui signifie que

Q

2

(g, n) est vraie. Le voisinage U est donc inclus dansO

n

.

Dans les deux cas, l’ensemble O

n

est un voisinage def. Il est donc bien un ouvert de Diff

¹_ω

(A).

• Densit´e de O

n

:

SoitO un ouvert deDiff

¹_ω

(A). S’il existe f ∈ Otel queQ

1

(f, n) est vraie alors f ∈ O

n

etO ∩ O

n

6=∅.

Sinon cherchons `a l’aide du lemme 2.2 une application f dansO tel queQ

2

(f, n) est vraie.

Soitg∈ O tel queQ

1

(g, n) est fausse. Il existe donch∈ O ∩ G

∞

(A) et γ:T

¹

→Aune courbe ferm´ee

simple invariante parh tels que :

– l’image γ(T

¹

) est contenue dansT

¹

×]−n;n[,

– l’application h ne poss`ede pas de points p´eriodiques sur γ(T

¹

).

Comme h ∈ G

∞

(A), la courbe γ est une courbe essentielle. D’apr`es le lemme 2.2, il existe f ∈ O,

p∈T

¹

×]− ∞;−n[ etm∈Ntels quef

^m

(p)∈T

¹

×]n; +∞[. Ce qui signifie queQ

2

(f, n) est vraie. Par

cons´equent f ∈ O

n

etO ∩ O

n

6=∅.

L’ouvert O

n

est donc dense dansDiff

¹_ω

(A).

2. Soit f ∈( \

n∈N⋆

O

n

)∩ G

∞

(A). Supposons que f laisse invariante une courbe γ ferm´ee simple.

La courbeγ est une courbe essentielle carf ∈ G

∞

(A). Il suffit donc de d´emontrer quef poss`ede des

points p´eriodiques surγ(T

¹

).

L’ensemble γ(T

¹

) ´etant compact, il existe n ∈ N

^⋆

tel que γ(T

¹

) est inclus dans T

¹

×]−n;n[. Or f

appartient `a O

n

∩ G

∞

(A). Donc Q

1

(f, n) ouQ

2

(f, n) est vraie.

Si c’est Q

1

(f, n) qui est vraie, l’application f poss`ede des points p´eriodiques surγ(T

¹

). Sinon il existe

p∈T

¹

×]− ∞;−n[ et un entier m tels quef

^m

(p) ∈T

¹

×]n; +∞[. D’apr`es le lemme 2.4, l’application

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 65-70)