Points p´eriodiques d’un diff´eomorphisme symplectique

Soit (M, ω) une surface symplectique.

• d´efinitions

D´efinition 1.1. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M,p ∈M etk un

entier non nul.

On dit que p est un point p´eriodique de p´eriode k (ou quep est un point k-p´eriodique)

de f sif

^k

(p) =pet si k´etant strictement plus grand que1,f

ⁱ

(p)6=p pour touti∈ {1, ..., k−1}.

Remarque 1.2. — Sip est un point p´eriodique de p´eriode k alorsDf

^k

(p) est une application

lin´eaire bijective deT

_p

M.

Proposition et d´efinition 1.3. — Soitf un diff´eomorphisme symplectique d’une surfaceM,

p∈M etk un entier non nul.

Sip est un pointk-p´eriodique alors Df

^k

(p)poss`ede deux valeurs propres λetµdont le produit

est ´egal `a 1. Il y a deux cas :

– les complexesλetµsont conjugu´es et|λ|=|µ|= 1. On dit alors quepest un point p´eriodique

elliptique de f

– sinon λ etµ sont des r´eels diff´erents de 1 et−1 et µ = 1/λ. On dit alors que p est un point

p´eriodiquehyperboliquede f.

D´emonstration. — Commef est un diff´eomorphisme symplectique,Df

^k

(p) est une application

lin´eaire bijective de T

_p

M telle que pour tout (v, w) ∈ (T

_p

M)

²

, ω

_p

(Df

^k

(p)u, Df

^k

(p)w) = ω

_p

(v, w).

Donc det(Df

k

(p)) = 1. Par cons´equent, le produitλµ est ´egal `a 1.

Ainsi|λ|=|µ|= 1 si λetµsont des complexes conjugu´es. Sinonλetµ sont des r´eels et µ= 1/λ. ₂

D´efinition 1.4. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M,p ∈M etk un

entier non nul.

Sipest un pointkp´eriodique pourf et que les valeurs propres deDf

^k

(x)ne sont pas des racines

de l’unit´e, on dit quepest un point p´eriodique non d´eg´en´er´ede f.

• Quelques propri´et´es sur les points p´eriodiques d’un diff´eomorphisme symplectique

Proposition 1.5. —Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surfaceM,p∈M un point

p´eriodique def etm un entier non nul.

Le point p est un point p´eriodique elliptique [respectivement hyperbolique ou non d´eg´en´er´e] de f si

et seulement sipest un point p´eriodique elliptique [respectivement hyperbolique ou non d´eg´en´er´e] de

f

m

.

D´emonstration. — Soitkla p´eriode dep. Soitk

^′

le plus petit multiple commun deketm,p est

alors un point p´eriodique de p´eriodek

^′

/m pour f

^m

. Or :

D(f

^m

)

^k′/m

(p) =Df

^k′

(p) = (Df

^k

(p))

^k′/k

.

Par cons´equent si λetµsont les deux valeurs propres deDf

k

(p), λ

k^′/k

etµ

k^′/k

sont les deux valeurs

propres deD(f

m

)

k′/m

(p). D’o`u le r´esultat. ₂

Proposition 1.6. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M, k et m deux

entiers non nuls etp∈M un pointk-p´eriodique def.

Sipest un point p´eriodique elliptique [respectivement hyperbolique ou non d´eg´en´er´e] def,f

m

(p) est

aussi un point p´eriodique elliptique [respectivement hyperbolique ou non d´eg´en´er´e] def.

D´emonstration. — Si k est la p´eriode de p, k est aussi la p´eriode de f

m

(p). Or Df

k+m

(p) =

Df

^k

(f

^m

(p))Df

^m

(p) =Df

^m

(p)Df

^k

(p) ce qui implique :

Df

^k

(f

^m

(p)) =Df

^m

(p)Df

^k

(p)(Df

^m

(p))

⁻¹

.

AinsiDf

^k

(p) et Df

^k

(f

^m

(p)) ont les mˆemes valeurs propres. D’o`u le r´esultat. ₂

Proposition 1.7. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique etk un entier non nul.

1. L’ensemble des points p´eriodiques de p´eriode inf´erieure ou ´egale `ak de f est un ferm´e deM.

2. Soitx un point p´eriodique de p´eriodek de f non d´eg´en´er´e, le point x est isol´e parmi les points

p´eriodiques de p´eriode inf´erieure `a k.

D´emonstration. — Le premier point est tout `a fait classique. Notons Per(f, k) l’ensemble des

points p´eriodiques de p´eriode inf´erieure ou ´egale `ak. C’est l’ensemble desx∈M pour lequel il existe

un entier i≤ k tel que f

i

(x) = x. Or l’application f ´etant continue, {x ∈ M, f

i

(x) =x} est ferm´e

quelque soit l’entier i. L’ensemble Per(f, k) est donc une union finie de ferm´es.

Venons en au second point : il s’agit de trouver un voisinage dex tel que pour tout entieri≤k,

f

ⁱ

(x)6=x.

Soit i un entier strictement plus petit que k, le point x ´etant k p´eriodique, f

ⁱ

(x) 6= x. Par

continuit´e def, il existe un voisinage U dex tel que si y∈U,f

i

(y)6=y.

Pour r´egler le cas o`ui=k, travaillons en coordonn´ees au voisinage dex. Dans ces coordonn´ees,

la diff´erentielle de l’application F =f

^k

−id est ´egale `a Df

^k

(x)−Id. Or x´etant un point p´eriodique

non d´eg´en´er´e def, 1 n’est pas valeur propre deDf

^k

(x). La diff´erentielle deF enxest donc inversible.

Par cons´equent, d’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale,F est un diff´eomorphisme local. Il existe donc

un voisinage V de x tel que siy ∈V,F(y)6= 0 c’est-`a-dire f

^k

(y)6=y.

Le voisinage de x,U ∩V, ne contient donc aucun point p´eriodique de f de p´eriode plus petite

quek. ₂

• Vari´et´e stable et vari´et´e instable d’un point p´eriodique hyperbolique

Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M,k un entier non nul. Soit p ∈ M un

point k-p´eriodique hyperbolique def etU un voisinage dep.

La vari´et´e locale stablede p dans le voisinageU est d´efinie par l’ensemble suivant :

W

_U^s

(p, f) ={x∈U |f

^nk

(x)∈U pour toutn∈N et lim

n→+∞

d(f

^nk

(x), p) = 0}.

La vari´et´e locale instablede p dans le voisinageU est d´efinie par l’ensemble suivant :

W

_U^u

(p, f) ={x∈U |f

^−nk

(x)∈U pour toutn∈N et lim

n→+∞

d(f

^−nk

(x), p) = 0}.

Notation :Soitpun point k-p´eriodique hyperbolique d’un diff´eomorphisme symplectique. Soitλ

la valeur propre de Df

^k

(p) dont la valeur absolue est inf´erieure `a 1, 1/λ est alors la valeur propre de

Df

^k

(p) de valeur absolue sup´erieure `a 1.

L’espace E

s

d´esigne l’espace propre de Df

k

(p) relatif `a λ tandis queE

u

est l’espace propre de

Df

^k

(p) relatif `a 1/λ.

Soit r >0, E

^s

(r) (respectivement E

^u

(r)) d´esigne la boule de centre r dans l’espaceE

^s

(respec-tivement E

u

).

Si r >0 est suffisamment petit, si v ∈E

^s

(r) et w∈E

^u

(r), p+ (v, w) est le point de M qui est

l’image par l’application exponentielle enp du vecteur v+w∈T

_p

M.

L’ensemble not´ep+(E

s

(r)×E

u

(r)) est l’ensemble des pointsp+(v, w) o`uv∈E

s

(r) etw∈E

u

(r)

Th´eoreme1.8. —Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surfaceM etkun entier non

nul. Soit pun point k-p´eriodique hyperbolique def.

Il existe alors U un voisinage de p tel que pour tout r >0 tel que U

^′

=p+ (E

^s

(r)×E

^u

(r))⊆U, il

existe une applicationσ

^s

:E

^s

(r)→E

^u

(r)de classe C

¹

telle queσ

^s

(0) =p,(σ

^s

)

^′

(0) = 0et telle que :

W

_U^s′

(p, f) ={p+ (v, σ

^s

(v)) |v∈E

^s

(r)}.

De mˆeme il existe une application σ

^u

:E

^u

(r)→E

^s

(r) de classe C

¹

telle queσ

^u

(0) =p,(σ

^u

)

^′

(0) = 0

et telle que :

W

_U^u′

(p, f) ={p+ (σ

^u

(v), v) |v∈E

^u

(r)}.

De plus siU est suffisamment petit,W

s

U

(p, f) ={x∈U |f

nk

(x)∈U pour tout n∈N}etW

u U

(p, f) =

{x∈U |f

^−nk

(x)∈U pour tout n∈N}.

E

^u

E

^s p

W

_U^s

(f, p)

W

_U^u

(f, p)

U

′

Remarque 1.9. —Une vari´et´e stable ou instable locale d’un point p´eriodique hyperbolique est

une sous-vari´et´e de classeC

¹

de la surface M.

Une fois que l’on a d´efini la notion de vari´et´e stable et de vari´et´e instable de p alors la vari´et´e

stable globaleet la vari´et´e instable globale dep sont obtenues respectivement par :

W

^s

(p, f) = [

n∈N

f

^−nk

(W

_U^s

(p, f)),

W

^u

(p, f) = [

n∈N

f

^nk

(W

_U^u

(p, f)),

Remarquons qu’il y a d’autres fa¸cons de caract´eriser W

^s

(p, f) et W

^u

(p, f). Par exemple :

W

^s

(p, f) = {x∈M |il existe n

₀

∈N tel que∀n∈N, si n≥n

₀

alorsf

^nk

(x)∈U}

= {x∈M | lim

n→+∞

d(f

^nk

(x), p) = 0}

W

^u

(p, f) = {x∈M |il existen

₀

∈Ntel que ∀n∈N, si n≥n

₀

alorsf

^−nk

(x)∈U}

= {x∈M | lim

n→+∞

d(f

^−nk

(x), p) = 0}

La vari´et´e stable et la vari´et´e instable d’un point p ne sont pas en g´en´eral des sous-vari´et´es de

classe C

¹

. Ce sont les images deR par des immersions injectives.

Mais nous allons tout de mˆeme d´efinir la notion d’espace tangent en un point de l’une de ces

vari´et´es. Pour cela, nous allons voir que W

s

(p, f) et W

u

(q, f) sont des unions croissantes de

sous-vari´et´es de classeC

¹

de dimension 1.

L’ensemble W

_U^s

(p, f) est inclus dansf

^−k

(W

_U^s

(p, f)) ainsi pour tout entiern :

f

^−nk

(W

_U^s

(p, f))⊆f

^−(n+1)k

(W

_U^s

(p, f)).

De plus f ´etant un diff´eomorphisme, chaque ensemble f

−nk

(W

s

U

(p, f)) est une sous-vari´et´e de classe

C

¹

de M. Ainsi l’espace tangent de f

^−nk

(W

_U^s

(p, f)) en x ne d´epend pas de l’entier n tel que x ∈

f

^−nk

(W

_U^s

(p, f)). Notons aussi que l’espace tangent de f

^−nk

(W

_U^s

(p, f)) en x ne d´epend pas non plus

du voisinage U de p.

Ce qui permet de d´efinir l’espace tangent de W

^s

(p, f) en un point x, not´e T

x

W

^s

(p, f) de la fa¸con

suivante : soit n ∈ N tel que x ∈ f

^−nk

(W

_U^s

(p, f)), l’espace tangent de W

^s

(p, f) en x est l’espace

tangent def

−nk

(W

s

U

(p, f)) en x.

On proc`ede de la mˆeme fa¸con pour d´efinir l’espace tangent d’une vari´et´e instable dep.

D´efinition 1.10. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M, p et q deux

points p´eriodiques hyperboliques de f.

La sous-vari´et´e stable depet la sous-vari´et´e instable deqsonttransversessi pour toutx∈W

^s

(p, f)∩

W

u

(q, f),T

_x

W

s

(p, f) +T

_x

W

u

(q, f) =T

_x

M. (Eventuellement W

s

(p, f)∩W

u

(q, f) =∅.)

q

p

x

x∈Ws (p, f)∩Wu (q, f) :

W

s

(p, f)

W

u

(q, f)

limn→+∞f^nk(x) =p et limn→+∞f−nk (x) =q

Remarque 1.11. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique d’une surface M, p un point

p´eriodique hyperbolique de f etm un entier non nul.

Nous avons vu dans la proposition 1.5 quep est aussi un point p´eriodique hyperbolique def

^m

. Nous

pouvons aussi ajouter que la vari´et´e stable [respectivement instable] dep relativement `a f

m

co¨ıncide

avec la vari´et´e stable [respectivement instable] dep relativement `a f.

Par cons´equent sipetqsont deux points p´eriodiques hyperboliques def tels queW

^s

(p, f) etW

^u

(q, f)

sont transverses alorsW

^s

(p, f

^m

) et W

^u

(q, f

^m

) sont aussi transverses.

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 53-57)