Arcs et courbes orient´es

a-dire qu’il existe un atlas de cartes diff´erentiables dont les changements de cartes ont un jacobien

positif. Or d’apr`es [Nm92], un diff´eomorphisme entre deux ouverts deR

²

dont le jacobien est positif,

pr´eserve l’orientation au sens topologique. La surfaceM est donc orientable au sens topologique.

• Hom´eomorphisme d’une surface orient´ee pr´eservant l’orientation

D´efinition 2.27. —SoitM une surface topologique orient´ee etf un hom´eomorphisme deM. On

dit quef pr´eserve l’orientation si pour tout atlas orient´eA, l’atlas {(U, f ◦h)|(U, h)∈ A} appartient

`

a la classe d’´equivalence d’atlas orient´es d´efinie par A.

Remarque2.28. —Un hom´eomorphismef pr´eserve l’orientation d´es qu’il existe un atlasA tel

queA et l’atlas{(U, f ◦h)|(U, h)∈ A}d´efinissent la mˆeme classe d’atlas orient´es.

Remarque2.29. —Soit (M, ω) une surface symplectique etf un diff´eomorphisme symplectique

de M alorsf pr´eserve l’orientation au sens topologique.

2.7 Arcs et courbes orient´es

• Cˆot´e gauche et cˆot´e droit d’un arc du plan

Soit I =]a;b[ un intervalle de R

²

. Soit α:I →R

²

un arc continu.

SoitU un voisinage deα(I). On peut d´efinir le cˆot´e gauche et le cˆot´e droit deα(I) dansU. Pour

cela, on prolongeα `a l’aide du th´eor`eme 2.19 (qui est, rappelons le, une cons´equence du th´eor`eme de

Schoenflies), en un plongement ouverth:]a;b[×]−1; 1[→M `a valeurs dansU, pr´eservant l’orientation

et tel queh(t,0) =α(t) pour tout t∈]a;b[. La r´egionh(]a;b[×]0; 1[) est le cˆot´e droit de (α, I) dansU

alors que la r´egion h(]a;b[×]−1; 0[) est le cˆot´e gauche de (α, I) dansU.

h

−1

^a

1 ^{cˆot´e gauche} _{cˆot´e droit}

b

α(a)

α(b)

On peut v´erifier que sik est un autre prolongement deα pr´eservant l’orientation, les notions de

gauche et de droite d´efinies `a l’aide dek co¨ıncident avec celles d´efinies `a l’aide de h dans le sens o`u

si K est un compact de ]a;b[ et ε est un r´eel strictement positif qui v´erifient que k(K×]−ε;ε[) est

inclus dans h(]a;b[×]−1; 1[) alors :

k(K×]−ε; 0[)⊆h(]a;b[×]−1; 0[),

k(K×]0;ε[)⊆h(]a;b[×]0; 1[).

−1

^a

1

b

α(a)

α(b)

K ε −^ε cˆot´e droit cˆot´e droit k h k(K×]−^ε; 0[) ^k(K×]0;ε[)

De plus siβ:J →R

²

est tel queβ(J) =α(I) et tel queα

⁻¹

◦β :J →I est un hom´eomorphisme

croissant alors les cˆot´es gauches et les cˆot´es droits de (α, I) et (β, J) co¨ıncident.

• Cˆot´e gauche et cˆot´e droit d’une courbe ferm´ee simple d’une surface

Soit M une surface topologique orient´ee.

Tout d’abord g´en´eralisons au cas d’un arc continu inclus dans une carte de M.

Soit (U, h) une carte de M telle que h : U ⊆ M → h(U) ⊆ R

²

est un hom´eomorphisme qui

pr´eserve l’orientation etα:I →M un arc continu.

D’apr`es ce qui a ´et´e ci-dessus `a propos de la gauche et de la droite d’un arc, on sait ce qu’est le

cˆot´e gauche et le cˆot´e droit de (h◦α, I). Le cˆot´e gauche et le cˆot´e droit de (α, I) sont alors

respecti-vement les images r´eciproques du cˆot´e gauche et du cˆot´e droit de (h◦α, I).

On peut v´erifier que le cˆot´e gauche et le cˆot´e droit de (α, I) ainsi d´efinis ne d´ependent pas de

l’hom´eomorphismeh pourvu qu’il pr´eserve l’orientation.

Soit γ :T

¹

→M une courbe ferm´ee simple.

Soit (U

i

, h

i

)

_i∈Z/pZ

une famille finie de cartes et (a

i

;b

i

)

_i∈Z/pZ

´etant une famille de couples de points

du cercle :

– ∀i∈Z/pZ,U

_i

∩γ(T

¹

) =γ(]a

_i

;b

_i

[),

– lesh

i

:U

i

→h

i

(U

i

) sont des hom´eomorphismes pr´eservant l’orientation,

– γ(T

¹

)⊆U = [

i∈Z/pZ

U

_i

.

La gauche (respectivement la droite) de γ dans U est alors l’union des cˆot´es gauches

(respecti-vement des cˆot´es droits) des arcs (γ,]a

i

;b

i

[).

Cette d´efinition de gauche et de droite d’une courbe ferm´ee simple ne d´epend pas des cartes

(U

_i

, h

_i

) pourvu que les applications h

_i

pr´eservent l’orientation.

De plus si γ

^′

:T

¹

→M est une courbe ferm´ee simple telle queγ

^′

(T

¹

) =γ(T

¹

) et γ

⁻¹

◦γ

^′

est un

hom´eomorphisme du cercle pr´eservant l’orientation alors les cˆot´es gauches et les cˆot´es droits de γ et

de γ

′

co¨ıncident.

Remarque2.30. —Sif est un hom´eomorphisme deM qui pr´eserve l’orientation et γ :T

¹

→M

est une courbe ferm´ee simple, l’image par f de la gauche (respectivement de la droite) de γ est la

gauche (respectivement la droite) def◦γ.

• Courbe ferm´ee simple invariante par un hom´eomorphisme

Soit M une surface.

Soit γ :T

¹

:→M une courbe ferm´ee simple etf un hom´eomorphisme deM.

– On dit que f laisse invariante la courbe γ ou que la courbe γ est invariante par f si

f(γ(T

¹

)) =γ(T

¹

).

– Siγ est une courbe invariante parf, l’application f pr´eserve l’orientation de la courbeγ

siγ

⁻¹

◦f◦γ est un hom´eomorphisme du cercle pr´eservant l’orientation. Dans le cas contraire,

l’applicationf renverse l’orientation de la courbeγ.

Remarque2.31. —Soitf un hom´eomorphisme deM etγ:T

¹

→M une courbe ferm´ee simple

invariante parf. L’application f

2

=f◦f pr´eserve toujours l’orientation de la courbe γ.

Remarque 2.32. — Si f est un hom´eomorphisme de M qui pr´eserve l’orientation et γ :

T

¹

→M est une courbe ferm´ee simple invariante parf sur laquellef pr´eserve l’orientation, la gauche

(respectivement de la droite) de f◦γ co¨ıncide avec la gauche (respectivement la droite) deγ.

Voici un r´esultat que l’on obtient tr`es facilement `a partir de la proposition 1.5 :

Proposition 2.33. — Soit M une surface et f un hom´eomorphisme de M. Soit γ :T

¹

→ M

une courbe ferm´ee simple invariante par f. Sif pr´eserve l’orientation deγ et si f poss`ede des points

p´eriodiques sur γ(T

¹

) alors tous les points p´eriodiques de f sur cette courbe admettent la mˆeme

p´eriode.

D´emonstration. —L’application f pr´eserve l’orientation de γ et poss`ede des points p´eriodiques

sur γ(T

¹

). Par cons´equent, l’application γ

⁻¹

◦f ◦ γ est un hom´eomorphisme du cercle pr´esevant

l’orientation et poss´ede des points p´eriodiques. D’apr`es la proposition 1.5, tous les points p´eriodiques

deγ

−1

◦f◦γ ont la mˆeme p´eriode. Il en est donc de mˆeme pour les points p´eriodiques def appartenant

`

a γ(T

¹

). ₂

De la mˆeme fa¸con, on d´eduit de la proposition 1.6, le r´esultat suivant :

Proposition 2.34. — Soit M une surface et f un hom´eomorphisme de M. Soit γ :T

¹

→ M

une courbe ferm´ee simple invariante parf. Sif renverse l’orientation deγ alorsf poss`ede exactement

deux points fixes surγ(T

¹

). De plus, les points p´eriodiques de f surγ(T

¹

)sont ou des points fixes ou

des points de p´eriode2.

D´emonstration. — Comme f renverse l’orientation de la courbeγ, l’application γ

⁻¹

◦f ◦γ est

un hom´eomorphisme du cercle renversant l’orientation.

D’apr`es la proposition 1.6 cette application poss`ede exactement deux points fixes et ses points p´eriodiques

sont ou des points fixes ou des points de p´eriodes 2. Il en est donc de mˆeme pour l’application f sur

γ(T

¹

). ₂

• Etude des images des composantes connexes du compl´ementaire d’une courbe ferm´ee

simple d’une surface par un hom´eomorphisme d’une surface pr´eservant l’orientation

Soit f un hom´eomorphisme du plan et γ :T

¹

→R

²

une courbe ferm´ee simple invariante parf.

Le th´eor`eme de Jordan nous assure queR

²

\γ(T

¹

) poss`ede exactement deux composantes connexes

dont l’une est relativement compacte l’autre non. Par cons´equent ces composantes connexes sont

cha-cune invariante parf.

Ce raisonnement ne convient plus dans le cadre de la sph`ere ou dans le cadre de l’anneau lorsque

γ n’est pas une courbe essentielle.

Exemple 2.35. Consid´erons la sph`ereS

²

={(x, y, z)∈R

³

, x

²

+y

²

+z

²

= 1}.

Soitf la sym´etrie par rapport au plan d’´equationz= 0,f est un hom´eomorphisme de la sph`ere.

Consid´erons la courbeγ ferm´e simple de la sph`ere d´efinie par

γ : T

¹

−→ S

²

θ 7−→ (cos(θ),sin(θ),0)

Les deux composantes connexes de S

²

\γ(T

¹

) sont C

₊

= {(x, y, z) ∈ S

²

| z > 0} et C

₋

=

{(x, y, z)∈S

²

|z <0}.

La courbeγ est invariante par f et les deux composantes connexes deS

²

\γ(T

¹

) sont ´echang´ees

parf.

Exemple 2.36. Consid´erons l’anneauA={(x, y, z) ∈R

³

, x

²

+y

²

= 1}.

Soitf la sym´etrie par rapport au plan d’´equation z= 0,f est un hom´eomorphisme de l’anneau.

Consid´erons la courbeγ ferm´e simple de l’anneau Ad´efinie par

γ : T

¹

−→ A

θ 7−→ (cos(θ),sin(θ),0)

Les deux composantes connexes de A \γ(T

¹

) sont C

₊

= {(x, y, z) ∈ A | z > 0} et C

₋

=

{(x, y, z)∈A|z <0}.

La courbe γ est une courbe essentielle de A invariante parf et les deux composantes connexes

de A\γ(T

¹

) sont ´echang´ees parf.

On peut se demander ce que l’on doit supposer sur l’hom´eomorphisme f pour s’assurer que f

Remarquons que dans les deux exemples trait´ees ci-dessus, f ◦γ =γ. Le cˆot´e gauche et le cˆot´e

droit deγ co¨ıncide respectivement avec le cˆot´e gauche et le cˆot´e droit def◦γ. OrC

₊

[respectivement

C

₋

] est la composante connexe deM \γ(T

¹

) (M =S

²

ou A) qui contient le cˆot´e gauche

[respective-ment droit] deγ. Comme f ´echange C

₊

etC

₋

,f envoie le cˆot´e gauche sur le cˆot´e droit de la courbe

γ. D’apr`es la remarque 2.30, f ne pr´eserve pas l’orientation de la surface.

En r´eunissant les remarques 2.30 et 2.32, on obtient le r´esultat suivant :

Proposition 2.37. — Soit M une surface orient´ee et f un hom´eomorphisme de M pr´eservant

l’orientation. Soit γ : T

¹

→ M une courbe ferm´ee simple invariante par f sur laquelle f pr´eserve

l’orientation.

SiM\γ(T

¹

)poss`ede deux composantes connexes dontγ(T

¹

)est la fronti`ere commune alorsf pr´eserve

chacune de ces composantes connexes.

Plus pr´ecis´ement voici ce que l’on obtient en utilisant un anneau voisinage d’une courbe γ et

pour lequelγ est une courbe essentielle.

Notation : Soit γ une courbe ferm´ee simple d’un anneau A. L’ensemble A\γ(T

¹

) poss`ede deux

composantes connexes, l’une correspond au cˆot´e droit l’autre au cˆot´e gauche de la courbe γ. Notons

A

_d

la composante `a droite de γ etA

g

la composante `a gauche de γ.

Proposition 2.38. — Soit M une surface orient´ee et f un hom´eomorphisme de M pr´eservant

l’orientation. Soit γ : T

¹

→ M une courbe ferm´ee simple invariante par f sur laquelle f pr´eserve

l’orientation.

SoitA etB deux anneaux inclus dansM voisinages deγ(T

¹

) tels que B est un sous anneau essentiel

de A. On suppose queγ est une courbe essentielle de B (et donc de A) et quef(B)⊆A.

Alorsf(B

_d

)⊆A

_d

etf(B

_g

)⊆A

_g

.

B

d

B

g

A

g

A

d

f

f

f(B

g)

⊆A

d

f(B

d)

⊆A

d

γ

Remarque 2.39. — Tous les r´esultats ´enonc´es ci-dessus pour des hom´eomorphismes d’une

surface pr´eservant l’orientation sont vrais pour des diff´eomorphismes symplectiques d’une surface

symplectique, puisque d’apr`es la remarque 2.29 un diff´eomorphisme symplectique pr´eserve l’orientation

au sens topologique.

3 Construction d’une famille d´enombrable d’anneaux constituant une

base de voisinages d’une courbe simple quelconque sur une surface

orientable.

Soit M une surface topologique orient´ee.

Le but de cette partie est de construire une famille d´enombrable d’anneaux inclus dans M telle

que pour toute courbeγ ferm´ee simple de la surface et pour tout voisinage U de γ(T

¹

), il existe un

anneau de cette famille dontγ est une courbe essentielle et qui est un voisinage deγ(T

¹

) inclus dans

U. Voici les deux ´etapes de la construction :

1. Etant donn´es une courbeγ ferm´ee simple et un voisinage U de γ(T

¹

), construire un anneau A

contenu dansU dont γ est une courbe essentielle.

2. Puis `a l’aide d’une triangulation de la surface, construire une famille d´enombrable d’anneaux

dont nous montrerons pour une courbe ferm´ee simple quelconque, en nous pla¸cant dans un

anneau construit `a la premi`ere ´etape, qu’elle forme une base d´enombrable d’anneaux.

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 28-33)