Fonctions g´en´eratrices sur l’anneau

Si dans le paragraphe pr´ec´edent nous avons tent´e de d´efinir rigoureusement la notion de

fonc-tion g´en´eratrice sur un ouvert deR

²

, nous permettant de perturber localement des diff´eomorphismes

symplectiques d’une surface , dans ce paragraphe nous allons nous occuper de d´efinir la notion de

fonction g´en´eratrice sur une surface globale en l’occurence l’anneau. Ceci nous permettra de perturber

globalement des diff´eomorphismes symplectiques de l’anneau.

En fait nous cherchons seulement `a perturber des applications bien sp´ecifiques de l’anneau dont

nous connaissons une formule explicite (rotations...). Nous n’allons donc pas aller jusqu’`a d´efinir une

notion de fonction g´en´eratice de l’anneau d’une classe enti`ere d’applications symplectiques de l’anneau

comme nous l’avons fait dans le cas d’un ouvert du plan, bien que ceci pourrait ˆetre fait sur le mˆeme

mod`ele. Nous allons seulement consid´erer des fonctions g´en´eratrices d’applications bien particuli`eres,

fonctions g´en´eratrices que nous perturberons. Puis nous expliquerons comment passer d’une fonction

g´en´eratrice vers une application symplectique de l’anneau.

• Pr´eliminaires et notations

On consid`ere l’anneau A=R/Z×R muni de la forme symplectique exacte dθ∧dr.

On noteC

_ω¹

(A) l’ensemble des applicationsf de l’anneau de classeC

¹

telles quef

^∗

dθ∧dr=dθ∧dr.

Rappelons que l’application Π est le revˆetement universel de l’anneau d´efini par :

Π : R

²

→ A

(˜θ, r) 7→ (θ, r)

o`u θ={θ^˜+n:n∈Z} est la classe d’´equivalence deθ moduloZ.

Notons Al’espace d’applications de classe C

¹

de R

²

tel que si F ∈ Aalors :

F

^∗

dθ^˜∧dr=dθ^˜∧dr et il existek∈Z tel queF(˜θ+ 1, r) =F(˜θ, r) + (k,0), ∀ (˜θ, r)∈R

²

.

Puis C

ω¹

(A) l’ensemble des applications f de classe C

¹

de l’anneau telles que f

^∗

dθ∧dr=dθ∧dr.

Consid´erons enfin l’applicationI d´efinie surA`a valeurs dans les applications de classeC

¹

de l’anneau

par :

I : A −→ C

¹

(A)

F 7−→ f

o`u f est d´efinie pour tout (θ, r)∈A parf(θ, r) = Π(F(˜θ, r)), ˜θ´etant un repr´esentant deθ.

Proposition 1.14. —L’applicationI est une application continue telle que I(A) =C

_ω¹

(A).

D´emonstration. — C’est la notion de relev´e d’une fonction continue de l’anneau qui indique que

pour toute application f de l’anneau, de classe C

¹

il existe F une application de classe C

¹

du plan

telle que :

f◦Π = Π◦F.

F(˜θ+ 1, r) =F(˜θ, r) + (k,0), ∀ (˜θ, r)∈R

²

,

Rappelons que Π

^∗

dθ∧dr=dθ^˜∧dr. Ainsi :

F

^∗

dθ^˜∧dr=F

^∗

(Π

^∗

dθ∧dr) = (Π◦F)

^∗

dθ∧dr= (f◦Π)

^∗

dθ∧dr= Π

^∗

(f

^∗

dθ∧dr).

L’application Π ´etant un diff´eomorphisme local, nous obtenons l’´equivalence suivante :

Ce qui d´emontre queI(A) =C

_ω¹

(A). ₂

SiH est une application d´efinie surR

²

`a valeurs r´eelles de classe C

1

, posons :

ψ

_H

: R

²

−→ R

²

(˜θ, R) 7−→ (˜θ,^∂H

∂θ^{˜(˜θ, R))}

NotonsHl’ensemble des applications d´efinies surR

²

`a valeurs r´eelles de classeC

2

tel queH∈ H

si et seulement siψ

H

est un diff´eomorphisme et s’il existek∈Z v´erifiant :

H(˜θ+ 1, R) =H(˜θ, R) +kR, ∀(˜θ, R)∈R

²

.

Puis consid´erons l’application suivante :

J : H −→ C

¹

(R

²

)

H 7−→ F :

( _R

₂

→ R

²

(˜θ, r) 7→ (^∂H

∂R^(ψ

−1 H

(˜θ, r)),(ψ

_H⁻¹

)

₂

(˜θ, r))

• D´efinition d’une fonction g´en´eratrice d’une application symplectique de l’anneau

Voici tout d’abord une propri´et´e v´erifi´ee parJ :

Proposition 1.15. —L’applicationJ d´efinie surH, est continue et `a valeurs dansA.

De cette proposition dont nous donnons une preuve `a la fin de ce paragraphe, nous d´eduisons

facilement le corollaire suivant :

Corollaire 1.16. — L’applicationI◦J d´efinie sur H, est continue `a valeurs dansC

1

ω

(A).

Remarque1.17. —SiH∈ H et sif =I◦J(H)∈C

1

ω

(A), alors (Π◦ψ

_H

)

∗

(f

₁

df

₂

+rdθ) =dH.

De plus, si F est un relev´e de f, nous avons la relation v´erifi´ee parF etH :

F(˜θ, r) = ( ˜Θ, R) =⇒r = ^∂H

∂θ^{˜(˜θ, R) et}

˜

Θ = ^∂H

∂R^{(˜θ, R).}

D´efinition 1.18. — Soit f ∈C

1

ω

(A). S’il existe H ∈ Htel que I◦J(H) =f on dit queH est

unefonction g´en´eratricede f.

Soit f une application symplectique de l’anneau poss´edant une fonction g´en´eratrice H. Comme

dans le paragraphe pr´ec´edent nous allons perturber H : on construit _He _{dans un voisinage de H en}

topologieC

2

tout en s’assurant que_He <sub>appartient `a</sub>H. Le principal probl`eme est de s’assurer queψ

_He

est un diff´eomorphisme deR

²

, ce qui est v´erifi´e si_He _{est suffisamment pr`es deH, l’ensembleDiff}

2

(R

²

)

´etant un ouvert deC

²

(R

²

) pour la topologie C

²

forte de Whitney.

Puis on pose ˜f =I◦J(He) qui appartient `a C

1

L’application I◦J ´etant continue, si _He _{a ´et´e construit suffisamment pr`es de H, l’application ˜f}

se trouve alors dans un voisinage arbitrairement petit def.

Donnons `a pr´esent une preuve de la proposition 1.15.

Preuve de la proposition 1.15. — Pour montrer queJ est continue, consid´erons les applications :

β

₁

: H −→ Diff

¹

(R

²

)

H 7−→ ψ

_H

β

₂

: H −→ C

¹

(R

²

)

H 7−→

R

²

→ R

²

(˜θ, R) 7→ (

^∂H_∂R

(˜θ, R), R)

β

₃

: C

¹

(R

²

)×Diff

¹

(R

²

) −→ C

¹

(R

²

)

(u, v) 7−→ u◦v

−1

Or d’une part,J(H) = β

₃

(β

₂

(H), β

₁

(H)) quelque soitH ∈ H. D’autre part, β

₁

, β

₂

et β

₃

sont

conti-nues tous les espaces d’applications consid´er´es ´etant munis des topologies induites par la topologie de

Whitney (cf§1.1 sur la topologie de Whitney). L’applicationJ est donc bien continue.

Reste `a v´erifier que si H∈ H alorsF =J(H) appartient `a A.

1. F est une application du plan de classe C

¹

.

2. Comme H∈ H il existe un entier k tel que pour tout (˜θ, R)∈R

²

:

H(˜θ+ 1, R) =H(˜θ, R) +kR.

Ce qui implique tr`es facilement que :

F(˜θ+ 1, r) =F(˜θ, r) + (k,0).

3. Comme ψ

_H

(˜θ, R) = (˜θ,^∂H

∂θ^{˜(˜θ, R)) et F}◦ψ

_H

(˜θ, R) = (^∂H

∂R^{(˜θ, R), R), on en d´eduit que :}

ψ

_H^∗

(F

₁

dF

₂

+rdθ^˜) = ^∂H

∂R^dR+

∂H

∂θ^˜d

˜

θ=dH.

Donc :

F

₁

dF

₂

+rdθ^˜est une 1 forme ferm´ee.

Par cons´equent :

dF

₁

∧dF

₂

=dθ^˜∧dr.

L’applicationF appartient donc `a A. Ce qui implique que l’application J est `a valeurs dansA.

Comme dans le cas d’une perturbation locale (cf. la proposition 1.13), il est utile de pouvoir

d´eduire de certaines propri´et´es d’un ´el´ementHappartenant `aH, les propri´et´es de l’applicationI◦J(H)

dont, par d´efinition, H est la fonction g´en´eratrice.

Proposition 1.19. —Soit O un ouvert de R. Notons O l’adh´erence deO.

Soit H, G ∈ H, tel que H et G co¨ıncident sur R×O alors (ψ

_H

)

_|

R×O

= (ψ

_G

)

_|

R×O

et I ◦J(H)

co¨ıncide avec I◦J(G) sur ψ

_H

(R×O).

La d´emonstration de ce lemme est tout `a fait similaire `a la preuve de la proposition 1.13.

Donnons `a pr´esent quelques exemples d’applications symplectiques de l’anneau qui admettent

une fonction g´en´eratrice. Ces exemples seront utiles dans le prochain paragraphe lorsque il s’agira de

perturber une rotation de l’anneau...

Exemple 1.20. —A propos des rotations de l’anneau :

Soit α∈T

¹

et ˜α∈R un relev´e deα. Consid´erons les deux applications :

ρ

_α

: A → A

(θ, r) 7→ (θ+α, r) qui est la rotation de l’anneau d’angle α.

H

_α˜

: R

²

→ R

(˜θ, R) 7→ (˜θ+ ˜α)R.

Alorsψ

_Hα˜

(˜θ, R) = (˜θ, R),quelque soit (˜θ, R) ∈ R

²

.Doncψ

_Hα˜

est un diff´eomorphisme de R

²

.

De plus pour tout (˜θ, R)∈R

²

,H

_α˜

(˜θ+ 1, R) =He

_α˜

(˜θ, R) +R. Par cons´equent :

H

_α˜

∈ H.

Et il est facile de v´erifier queJ(H

_α˜

)(˜θ, r) = (˜θ+ ˜α, r),pour tout (˜θ, r) ∈ R

²

puis queI◦J(H

_α˜

) =ρ

_α

.

Ce qui signifie queH

_α˜

est une fonction g´en´eratice de la rotation d’angleα de l’anneau.

Exemple 1.21. —Une g´en´eralisation de l’exemple pr´ec´edent :

Soit g une application de classe C

²

du cercle telle queg

^′

(θ) 6= 0 pour toutθ ∈T

¹

. Consid´erons

˜

g∈C

2

(R) un relev´e deg. Soit r

₀

∈R. Consid´erons les applications :

ρ

_g

: A → A

(θ, r) 7→ (g(θ),^r−r

₀

g

′

(θ) ^+r

⁰

⁾

H

_˜g

: R

²

→ R

(˜θ, R) 7→ r

₀

(˜θ+ ˜g(0)−g˜(˜θ)) +R˜g(˜θ).

Alors ψ

Hg_˜

(˜θ, R) = (˜θ,(R −r

0

)˜g

^′

(˜θ) +r

0

), pour tout θ ∈ (˜θ, R) ∈ R

²

. Or ˜g

^′

(˜θ) 6= 0 car g est un

diff´eomorphisme du cercle. Donc, ψ

_Hg˜

est un diff´eomorphisme deR

²

d’inverse :

ψ

_H⁻¹_˜

g

: R

²

−→ R

²

(˜θ, r) 7−→ (˜θ,^r−r

₀

˜

g

′

(˜θ) ^+r

⁰

^).

De plus, pour tout ˜θ∈R, ˜g(˜θ+ 1) = ˜g(˜θ) + 1. On obtient ainsi que pour tout (˜θ, r)∈R

²

:

H

_g˜

(˜θ+ 1, R) = r

₀

(˜θ+ 1 + ˜g(0)−g˜(˜θ+ 1)) +R˜g(˜θ+ 1)

= r

₀

(˜θ+ 1 + ˜g(0)−g˜(˜θ)−1) +R(˜g(˜θ) + 1)

= H

_˜g

(˜θ, R) +R.

Par cons´equentH

_˜g

∈ H. De plus pour tout (˜θ, R)∈R

²

, ^∂H

∂R^{(˜θ, R) = ˜g(˜θ). Ainsi :}

J(H

_˜g

)(˜θ, r) = (^∂H

∂R^(ψ

−1 H

(˜θ, r)),(ψ

⁻_H¹

)

₂

(˜θ, r))

= (˜g(˜θ),^r−r

₀

˜

g

′

(˜θ) ^+r

⁰

^).

Il est alors facile de v´erifier queI◦J(H

_g˜

) =ρ

_g

. Ce qui signifie queH

_˜g

est une fonction g´en´eratrice de

l’application ρ

_g

.

Remarquons que :

(ρ

_g

)

_|T1

×{r0^}

(θ, r) = (g(θ), r

₀

),

en particulier,T

¹

× {r

₀

} est un cercle invariant parρ

_g

.

Cet exemple g´en´eralise l’exemple pr´ec´edent. En effet, si l’on noteR

_α

la rotation d’angleα sur le

cercle, on obtient queρ

_Rα

=ρ

_α

et que H

_α˜

=H

_R˜

˜

2 Perturber un diff´eomorphisme symplectique d’une surface au

voisinage d’un point

Soit (M, ω) une surface symplectique.

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 144-150)