Fonctions g´en´eratrices sur un ouvert du plan

• Pr´eliminaires et notations

SoitU un ouvert deR

²

. Les points deU sont not´es (x, y). On munitU de la forme symplectique

canonique dx∧dy.

Soit V un ouvert de R

²

contenant 0. Les points de V sont not´es (x, q). Si H est une

applica-tion d´efinie surV `a valeurs r´eelles de classe C

1

, nous noterons ^∂H

∂x ^{la d´eriv´ee partielle deH selon la}

premi`ere variable et ^∂H

∂q ^{la d´eriv´ee partielle de H selon la seconde variable.}

Pour toute application f d´efinie sur un ensembleD`a valeurs dansR

²

, nous noterons

respective-mentf

1

(u) et f

2

(u) la premi`ere et la seconde composante de f(u),u appartenant `aD.

Sif est une application d´efinie sur U `a valeurs dansR

²

, posons :

φ

_f

: U −→ R

²

(x, y) 7−→ (x, f

₂

(x, y))

SiH est une application d´efinie surV `a valeurs r´eelles de classeC

¹

, posons :

ψ

H

: V −→ R

²

(x, q) 7−→ (x,^∂H

∂x^{(x, q))}

Remarque1.6. —

1. Soit f :U → R

²

. Si φ

_f

est un diff´eomorphisme de U sur V, (φ

_f

)

⁻¹

est de la mˆeme forme que

φ

_f

: il existe g:V →R tel que (φ

_f

)

−1

(x, q) = (x, g(x, q)) quelque soit (x, q)∈V.

2. SoitH :V →Rde classeC

¹

, l’application ψ

H

co¨ıncide avec l’application φ

∂H

∂q,∂H ∂x

.

Consid´erons les espaces de fonctions suivants :

E(U, V) = {f ∈C

¹

(U,R

²

) |φ

_f

∈Diff

¹

(U, V)}

F(U, V) = {f ∈ E(U, V) |f

∗

dx∧dy =dx∧dy}

H(U, V) = {H ∈C

²

(V,R) |H(0) = 0 etψ

H

∈Diff

¹

(V, U)}

Remarque1.7. —Soit H ∈C

²

(V,R

²

) tel queH(0) = 0 alors

H∈ H(U, V)⇐⇒(x, q)∈V 7→(^∂H

∂q ^,

∂H

∂x^{)(x, q)}∈R

²

est un ´el´ement deE(V, U).

Puis consid´erons les deux applications suivantes :

Φ

_{U V}

: E(U, V) −→ C

1

(V,R

²

)

f 7−→ h:

V → R

²

(x, q) 7→ (f

₁

(φ

⁻_f¹

(x, q)),(φ

⁻_f¹

)

₂

(x, q))

Ψ

U V

: H(U, V) −→ C

¹

(V,R

²

)

H 7−→ (x, q)7→(^∂H

∂q ^,

∂H

∂x^{)(x, q)}

Enfin posonsG(U, V) = Φ

_{U V}

(F(U, V). Il est inclus dansC

¹

(V,R

²

).

• D´efinition d’une fonction g´en´eratrice

Voici tout d’abord une proposition v´erifi´ee par ce qui a ´et´e d´efini ci-dessus n´ecessaire `a la

coh´erence de la d´efinition :

Proposition 1.8. — Soit U et V deux ouverts de R

²

tels que V et simplement connexe et

contient 0.

1. Φ

U V

est un hom´eomorphisme deE(U, V) surE(V, U). De plus :

– Φ

⁻_{U V}¹

= Φ

V,U

,

– φ

_{ΦU V(f)}

=φ

⁻_f¹

pour toutf ∈ E(U, V).

En particulier,Φ

_{U V}

est un hom´eomorphisme deF(U, V) surG(U, V).

2. Ψ

_{U V}

est un hom´eomorphisme deH(U, V) surG(U, V).

De cette proposition dont nous donnons une preuve `a la fin de ce paragraphe, nous d´eduisons

facilement le corollaire suivant :

Corollaire1.9. —L’applicationS

_{U V}

= Ψ

⁻_{U V}¹

◦Φ

_{U V}

:F(U, V)→ H(U, V)est un hom´eomorphisme.

Remarque1.10. —Nous avons donc un hom´eomorphisme entreF(U, V) (inclus dans l’ensemble

des applications deU dansR

²

pr´eservant la 2-formedx∧dy) etH(U, V) (inclus dansC

²

(V,R)) donn´e

par la relation :

f(x, y) = (X, q) ⇐⇒ y= ^∂H

∂x^{(x, q) etX =}

∂H

∂q ^{(x, q).}

D´efinition 1.11. — Si f ∈ F(U, V) son image S

U V

(f) est la fonction g´en´eratrice de

l’applicationf.

Pour perturber un ´el´ement f de F(U, V), on consid`ere sa fonction g´en´eratrice H=S

_{U V}

(f) que

l’on modifie dans C

²

(V,R

²

), `a l’aide de fonctions plateaux par exemple, tout en s’assurant que l’on

reste dansH(U, V).

Une fois que l’on a trouv´eHe qui convient, on pose ˜f =S

_{U V}

(He).

Voici un tableau qui r´esume la m´ethode d´evelopp´ee ci-dessus :

perturbation

dans C

1 dx∧dy

(U,R

2

)

-f ∈C

¹

(U,R

²

) f^˜∈C

¹

(U,R

²

)

d´efinie par

tel que ( ˜f(x,g˜

₂

(x, q))) = (˜g

₁

(x, q), y)

ainsi :

f

₁

df

₂

+ydx est ferm´ee f^˜

₁

df^˜

₂

+ydx est ferm´ee

φ

_f

: (x, y)∈U →(x, f

₂

(x, y))∈V φ

_f˜

: (x, y)∈U →(x,f^˜

₂

(x, y))∈V

est unC

¹

diff´eomorphisme est unC

¹

diff´eomorphisme

?

Φ

U V 6

_Φ

−1

U V

g∈C

1

(V,R

²

) ˜g∈C

1

(V,R

²

)

d´efinie par d´efinie par

g(x, f

₂

(x, y)) = (f

₁

(x, y), y) ˜g(x, q) = (^∂_He

∂q^{(x, q),}

∂_He

∂x^{(x, q))}

ainsi : ainsi :

g

₁

dq+g

₂

dx= (φ

⁻_f¹

)

∗

(f

₁

df

₂

+ydx) est exacte g˜

₁

dq+ ˜g

₂

dx=dHe est exacte

φ

_g

: (x, q)∈V →(x, g

₂

(x, q))∈U φ

_˜g

: (x, q)∈V →(x,˜g

₂

(x, q))∈U

est unC

¹

diff´eomorphisme est unC

¹

diff´eomorphisme

?

Ψ

⁻_{U V}¹ 6

_Ψ

U V

H ∈C

²

(V,R) _He ∈C

²

(V,R)

d´efinie par

˜

g

₁

dq+ ˜g

₂

dx=dHe etHe(0) = 0 tel que

ainsi :

H(0) = 0 _He_{(0) = 0}

ψ

H

: (x, q)∈V →(x,^∂H

∂x^{(x, q))}∈U ψ

_He

: (x, q)∈V →(x,^∂_He

∂x^{(x, q))}∈U

est unC

1

diff´eomorphisme est unC

1

diff´eomorphisme

-perturbation

dans C

2

(V,R)

Preuve de la proposition 1.8. —

1. — Notons tout d’abord que Φ

_{U V}

est `a valeurs dans E(V, U). En effet si f ∈ E(U, V) et si

h= Φ

_{U V}

(f) alors h est une application de classeC

1

d´efinie surV par :

h(x, q) = (f

₁

(φ

⁻_f¹

(x, q)),(φ

⁻_f¹

)

₂

(x, q)), ∀(x, q)∈V.

Ainsi pour tout (x, q)∈V,

φ

_h

(x, q) = (x, h

2

(x, q)) = (x,(φ

⁻_f¹

)

2

(x, q)).

Or φ

_f

(x, y) = (x,(φ

_f

)

₂

(x, y)) quelque soit (x, y)∈U. Ainsi :

φ

⁻_f¹

(x, q) = (x,(φ

⁻_f¹

)

₂

(x, q)).

Par cons´equent :

φ

_h

(x, q) =φ

⁻_f¹

(x, q).

Ainsi, φ

_h

est un diff´eomorphisme deV surU. Par cons´equent, h∈ E(V, U) etφ

_{ΦU V(f)}

=φ

⁻_f¹

.

Remarquons ensuite que Φ

_{U V}

◦Φ

_{V U}

co¨ıncide avec l’identit´e surE(U, V). En effet si f ∈ E(U, V)

et sih= Φ

_{U V}

(f), alors pour tout (x, y)∈U,

Φ

_{V U}

(h)(x, y) = (h

₁

(φ

⁻_h¹

(x, y)),(φ

⁻_h¹

)

₂

(x, y))

= (f

₁

(φ

⁻_f¹

(φ

⁻_h¹

(x, y))),(φ

⁻_h¹

)

₂

(x, y)).

Or φ

⁻_f¹

=φ

_h

. Par cons´equent :

Φ

V,U

(h)(x, y) = (f

1

(x, y),(φ

_f

)

2

(x, y))

= f(x, y).

Ainsi Φ

_V,U

(Φ

_{U V}

(f)) =f. D’o`u le fait que Φ

_{U V}

:E(U, V)→ E(V, U) est une bijection d’inverse Φ

_{V U}

.

Reste donc seulement `a v´erifier que Φ

_{U V}

est continue puisqu’en permutant U etV, nous aurons alors

obtenu que (Φ

_{U V}

)

⁻¹

= Φ

_{V U}

est aussi continue.

Pour cela, consid´erons les applications :

α

₁

: E(U, V) −→ Diff

¹

(U, V)

f 7−→ φ

_f

α

₂

: E(U, V) −→ C

1

(U,R

²

)

f 7−→

U → V

(x, y) 7→ (f

₁

(x, y), y)

α

₃

: C

1

(U,R

²

)×Diff

¹

(U, V) −→ C

1

(V,R

²

)

(u, v) 7−→ u◦v

⁻¹

D’une part Φ

_{U V}

(f) =α

₃

(α

₂

(f), α

₁

(f)) pour tout f ∈ E(U, V). D’autre part,α

₁

,α

₂

etα

₃

sont

conti-nues, tous les espaces d’applications consid´er´es ´etant munis des topologies induites par la topologie

de Whitney (cf la proposition 1.3 du paragraphe 1.1 sur la topologie de Whitney). L’application Φ

_{U V}

est donc bien continue.

2. — Pour montrer que Ψ

_{U V}

est un hom´eomorphisme de H(U, V) sur G(U, V), donnons tout

d’abord par le lemme suivant une caract´erisation deG(U, V) :

Lemme 1.12. — Soit h une applicationC

¹

d´efinies sur V `a valeurs dansR

²

.

h∈ G(U, V)⇐⇒h∈ E(V, U) eth

1

dq+h

2

dx est une 1-forme ferm´ee sur V.

Preuve du lemme 1.12. — Soit h∈ E(V, U) et f = Φ

_V,U

(h)∈ E(U, V).

D’apr`es la partie 1 de la proposition 1.8,φ

_f

=φ

⁻_h¹

. Ainsif = (h

₁

◦φ

⁻_h¹

,(φ

_h

)

₂

) = (h

₁

◦φ

_f

,(φ

_f

)

₂

)). Par

cons´equent :

φ

^∗_f

(h

₁

dq+h

₂

dx) = (h

₁

◦φ

_f

)φ

^∗_f

dq+ (h

₂

◦φ

_f

)φ

^∗_f

dx

= f

₁

d(φ

_f

)

₂

+yd(φ

_f

)

₁

= f

₁

df

₂

+ydx.

Ce qui implique :

f

^∗

dx∧dy−dx∧dy = d(f

₁

df

₂

+ydx)

= d(φ

^∗_f

(h

₁

dq+h

₂

dx))

= φ

^∗

(d(h

₁

dq+h

₂

dx)).

Ainsi

f

^∗

dx∧dy=dx∧dy ⇐⇒ d(h

₁

dq+h

₂

dx) = 0.(⋆)

(⇒) Soith∈ G(U, V), il existe f ∈ F(U, V) tel queh= Φ

_{U V}

(f). Ainsi :

f ∈ E(U, V), et f

^∗

(dx∧dy) =dx∧dy.

Or d’apr`es le premier point la proposition 1.8, Φ

⁻_{U V}¹

= Φ

_V,U

. Doncf = Φ

_V,U

(h). On peut donc appliquer

(⋆) et en d´eduire que :

d(h

1

dq+h

2

dx) = 0.

CommeG(U, V)⊆ E(V, U),

h∈ E(V, U).

(⇐) R´eciproquement, soith∈ E(V, U) tel queh

1

dq+h

2

dxest ferm´ee surV. Posons :

f = Φ

_V,U

(h)∈ E(U, V).

D’apr`es (⋆), f

∗

dx∧dy=dx∧dy. Donc :

f ∈ F(U, V).

Or h= Φ

⁻_V,U¹

(f) = Φ

U V

(f). Par cons´equent :

h∈ G(U, V).

Notonsh= Ψ

_{U V}

(H) = (^∂H

∂q ^,

∂H

∂x^{). D’une part d’apr`es la remarque 1.10 on sait quehappartient}

`

a E(V, U). D’autre part,

h

₁

dq+h

₂

dx= ^∂H

∂q^dq+

∂H

∂x^dx=dH.

Ainsi,h

₁

dq+h

₂

dxest une 1-forme exacte surV. Elle est donc ferm´ee. On obtient alors par application

du lemme 1.12, que h∈ G(U, V). Par cons´equent l’application Ψ

_{U V}

restreinte `a H(U, V) est `a valeur

dansG(U, V).

L’application Ψ

_{U V}

est injective. En effet soit H

₁

et H

₂

dans H(U, V) tels que Ψ

_{U V}

(H

₁

) =

Ψ

U V

(H

2

). Alors :

∂H

1

∂q ⁼

∂H

2

∂q ^et

∂H

1

∂x ⁼

∂H

2

∂x ^.

CommeV est connexe, il existe k∈Rtel queH

₁

=H

₂

+k. OrH

₁

(0) =H

₂

(0) = 0 donck= 0. Ainsi

H

₁

=H

₂

.

D´emontrons que Ψ

U V

est surjective. Soith ∈ G(U, V). D’apr`es (⋆), la 1-forme h

1

dq+h

2

dx est

ferm´ee. OrV est un ouvert simplement connexe. Ainsi d’apr`es le lemme de Poincar´e, c’est une 1-forme

exacte. Il existe doncHe :V →Rde classe C

2

tel que :

h

₁

= ^∂He

∂q ^eth

²

⁼

∂He

∂x^.

Posons :

H(x, q) =_He_{(x, q)}−H^e(0),∀(x, q)∈V.

Cette application H v´erifie alors que H(0) = 0 et que (^∂H

∂q ^,

∂H

∂x^{) = (}

∂He

∂q ^,

∂He

∂x^{) =h.}

Or,h∈ G(U, V) et G(U, V)⊆ E(V, U).Par cons´equent :

(^∂H

∂q ^,

∂H

∂x⁾∈ E(V, U).

De plusH(0) = 0. Ainsi d’apr`es la remarque 1.7 on a bien :

H ∈ H(U, V).

Par cons´equent Ψ

_{U V}

(H) = (^∂H

∂q ^,

∂H

∂x^{) =h avec H} ∈ H(U, V).

L’application Ψ

_{U V}

est donc une bijection deH(U, V) sur G(U, V).

Le fait que Ψ

_{U V}

est continue ce d´eduit imm´ediatement de la d´efinition des topologies C

1

etC

2

de Whitney.

Reste `a v´erifier que Ψ

⁻_{U V}¹

:G(U, V)→ H(U, V) l’est aussi. Soitg∈ G(U, V), notons G= Ψ

⁻_{U V}¹

(g).

Pour toutX = (x, q)∈V,

g(x, q) = (^∂G

∂q^{(x, q),}

∂G

∂x^{(x, q)) etDG(x, q) = (}

∂G

∂x^{(x, q),}

∂G

∂q^{(x, q)),}

Dg(X) =

∂2G ∂x∂q

(X)

^∂_∂q^2G2

(X)

∂²G ∂x2

(X)

_∂x∂q^∂2G

(X)

!

etD

²

G(X) =

∂2G ∂x2

(X)

_∂x∂q^∂2G

(X)

∂2G ∂x∂q

(X)

^∂_∂q^2G2

(X)

!

.

OrG(0) = 0. Le th´eor`eme des accroissements finis permet alors de montrer queG= Ψ

⁻_{U V}¹

(g)∈ H(U, V)

d´epend continument de g∈ G(U, V) pour la topologie C

¹

forte. Ainsi Ψ

⁻_{U V}¹

est continue.

• Remonter d’une fonction g´en´eratice vers une application symplectique d’un ouvert du

plan

Soit f un ´el´ement de F(U, V) et H = S

_{U V}

(f) la fonction g´en´eratrice de f. On cherche donc `a

perturberf de fa¸con `a obtenirgv´erifiant certaines propri´et´es. L’id´ee est de modifierH. Mais comment

perturberH pour obtenir que g=S

_{U V}⁻¹

(H) v´erifie les propri´et´es d´esir´ees.

Par exemple, si U est un voisinage de 0, consid´erons f ∈ F(U, V) tel que f(0) = 0. On veut

perturberf pour obtenir une applicationg appartenant `a F(U, V) qui co¨ıncide avec l’identit´e sur un

voisinage de 0 et qui co¨ıncide avec f hors d’un autre voisinage de 0.

Comment modifier H = S

U V

(f) en _He _{pour que g = S}

−1

U V

(_He_{) v´erifie les propri´et´es ´enonc´ees}

ci-dessus.

Un autre exemple : soit f et g deux ´el´ements de F(U, V). On veut perturber f pour obtenir ˜f

tel quef co¨ıncide avec g sur un ouvert inclus dansU.

Comment modifierH =S

_{U V}

(f) en He pour que ˜f =S

_{U V}⁻¹

(He) co¨ıncide avecg sur cet ouvert.

Aussi est il n´ecessaire de pouvoir d´eduire des propri´et´es v´erifi´ees par un ´el´ement H appartenant

`

a H(U, V), certaines propri´et´es v´erifi´ees par l’application S

_{U V}⁻¹

(H) appartenant `a F(U, V) et dont H

est la fonction g´en´eratrice.

C’est le but de la proposition ci-dessous.

Notons H

0

l’application d´efinie surR

²

parH

0

(x, q) =xq.

Proposition 1.13. — Soit U et V deux ouverts de R

²

tels que V est un ouvert simplement

connexe contenant 0. SoitO un ouvert deV. Notons O l’adh´erence deO dans V.

a – Soit H ∈ H(U, V) tel que H co¨ıncide avec H

₀

sur O, alors O est inclus dans U et S

_{U V}⁻¹

(H)

co¨ıncide avec l’identit´e sur O.

b – SoitH, G∈ H(U, V)tels queHetGco¨ıncident surO, alors(ψ

H

)

_|

O

= (ψ

G

)

_|

O

etS

_{U V}⁻¹

(H)co¨ıncide

avec S

_{U V}⁻¹

(G) surψ

_H

(O).

D´emonstration. —

a – SoitH ∈ H(U, V). Posons h= Ψ

U V

(H)∈ E(V, U) etf =S

_{U V}⁻¹

(f) = Φ

V U

(h) ∈ E(U, V). Soit

(x, q)∈O. Comme O est ouvert et queH co¨ıncide avecH

₀

surO, alors :

∂H

∂q ^{(x, q) =}

∂H

₀

∂q ^{(x, q) =x et}

∂H

∂x ⁼

∂H

₀

∂x ^{(x, q) =q.}

Par cons´equent :

h(x, q) = (^∂H

∂q ^{(x, q),}

∂H

∂x^{(x, q)) = (x, q).}

Par continuit´e de h, on obtient que h co¨ıncide avec l’identit´e sur O. Ainsi pour tout (x, q) ∈ O,

φ

_h

(x, q) = (x, h

₂

(x, q)) = (x, q). Or happartenant `aE(V, U), φ

_h

est `a valeur dansU. Ainsi :

φ

_h

(O) =O⊆U.

Reste `a d´emontrer quef =S

_{U V}⁻¹

(H) est ´egale `a l’identit´e surO. Soit (x, y) ∈O. D’apr`es ce qui pr´ec`ede,

on sait queφ

_h

(x, y) = (x, y) =φ

⁻_h¹

(x, y) et que h co¨ıncide avec l’identit´e sur O. Par cons´equent pour

tout (x, y)∈O, on obtient l’´egalit´e suivante :

f(x, y) = Φ

_V,U

(h)(x, y)

= (h

₁

(φ

⁻_h¹

(x, y)),(φ

⁻_h¹

)

₂

(x, y))

= (h

₁

(x, y), y)

= (x, y)

b – Soit H, G ∈ H(U, V). Posons h = Ψ

_{U V}

(H), g = Ψ

_{U V}

(G) puis f = S

_{U V}⁻¹

(H) = Φ

_V,U

(h) et

k=S

_{U V}⁻¹

(G) = Φ

_V,U

(g). Alors het gappartiennent `a G(U, V),f etk appartiennent `a F(U, V).

Soit (x, q)∈O. Comme O est ouvert et queH co¨ıncide avecG surO, alors :

∂H

∂q^{(x, q) =}

∂G

∂q^{(x, q) et}

∂H

∂x^{(x, q) =}

∂G

∂x^{(x, q).}

Par cons´equent :

ψ

_H

(x, q) = (x,^∂H

∂x^{(x, q)) = (x,}

∂G

∂x^{(x, q)) =ψ}

^G

^{(x, q),}

h(x, q) = (^∂H

∂q^{(x, q),}

∂H

∂x^{(x, q)) = (}

∂G

∂q^{(x, q),}

∂G

∂x^{(x, q)) =g(x, q).}

Ainsi, par continuit´e de h, g, ψ

_H

et ψ

_G

sur V ,ψ

_H

et ψ

_G

d’une part,h etg d’autre part co¨ıncident

surO.

Remarquons de plus queφ

_h

=ψ

_H

etφ

_g

=ψ

_G

co¨ıncident surO.

Reste `a d´emontrer quef =S

U V

(H) est ´egal `a k=S

U V

(G) surψ

H

(O). Soit (x, y)∈ψ

H

(O) =φ

_h

(O).

Les applications (φ

_h

)

_O

et (φ

_g

)

_O

co¨ıncidant sur O, on obtient queφ

⁻_h¹

(x, y) =φ

⁻_g¹

(x, y)∈O. Comme

h etg co¨ıncident aussi surO, pour tout (x, y)∈ψ

_H

(O), on obtient l’´egalit´e suivante :

f(x, y) = Φ

_V,U

(h)(x, y)

= (h

₁

(φ

⁻_h¹

(x, y)),(φ

⁻_h¹

)

₂

(x, y))

= (g

₁

(φ

⁻_g¹

(x, y)),(φ

⁻_g¹

)

₂

(x, y))

= k(x, y).

2

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 137-144)