Lin´eariser une application symplectique d’une surface au voisinage d’un point

Soit f ∈Diff

¹_ω

(M), k∈N

^∗

etp un pointk p´eriodique pourf.

L’application tangente de f

^k

en p, not´ee Df

^k

(p), est alors un endomorphisme de T

_p

M.

Intuiti-vement, f

k

est ”proche ” de Df

k

(p) dans un voisinage de p (´evidemment cela a peu de sens et doit

ˆetre pr´ecis´e puisquef

^k

etDf

^k

(p) ne sont mˆeme pas d´efinis sur le mˆeme espace !).

En fait, il est possible de trouverg

^k

dans un voisinage arbitrairement petit de f, en topologie C

¹

, tel

quegsoit conjugu´e `a Df

k

(p) sur un voisinage depet queg co¨ıncide avecf hors d’un autre voisinage

de p.

Notation : C

1

ω

(M) ={f :M →M de classeC

1

tel quef

∗

ω=ω}.

Voici la proposition que nous nous proposons de montrer :

Proposition 2.1. — Soit (M, ω) une surface symplectique, f ∈Diff

¹_ω

(M), k∈N

^∗

etp∈M un

point p´eriodique de p´eriodek pourf.

Soit U un voisinage def dansC

1

ω

(M),U un voisinage de p dansM.

Il existe alorsV un ouvert deM contenant petg∈ U tels que :

– V ⊆U,

– g=f sur M\U,

– g

^k

est conjugu´ee `aDf

^k

(p) sur V.

Plus pr´ecis´ement, il existe W

₁

un voisinage de p contenant V, W

₂

un voisinage de 0 dans T

_p

M,

φ:W

₁

→W

₂

un diff´eomorphisme de classe C

1

tel que :

– φ(p) = 0 etφ

∗

ω

_p

=ω,

– Df

^k

(p)(φ(V))⊆W

₂

,

– g

^k

=φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φsurV (ainsi pest un point p´eriodique de p´eriode kpour g).

Avant de donner un d´emonstration compl`ete de cette proposition, nous allons simplifier le

probl`eme en consid´erant une application de classe C

¹

d´efinie sur un voisinage de 0 dans R

²

, qui

pr´eserve la 2 forme dx∧dy, qui fixe 0 et dont l’application diff´erentielle Dh(0) est l’identit´e de R

²

.

Ceci est un cas particulier de la proposition ´enonc´ee ci-dessus. Nous montrerons ainsi la

propo-sition suivante.

Proposition 2.2. — Soit M un ouvert de R

²

contenant 0 et f :M → R

²

une application de

classe C

¹

pr´eservantdx∧dy, telle quef(0) = 0,Df(0) =Id.

Soit U un voisinage def dansC

1

(M,R

²

).

Il existe alorsr >0,O un ouvert de R

²

etg∈ U pr´eservantdx∧dy tels que :

– B(0, r)⊆O⊆O⊆M,

– g=f sur M\O,

– g=id surB(0, r).

De cette proposition, nous en d´eduisons aussitˆot un corollaire. Consid´erons deux surfaces

sym-plectiques ainsi que deux applications de classeC

¹

d´efinies toutes les deux sur des ouverts de la mˆeme

surface `a valeurs dans l’autre surface. Supposons que ces deux applications co¨ıncident en un point p

et que les diff´erentielles en ce point sont ´egales. Nous pouvons alors au voisinage dep remplacer l’une

par l’autre...

Proposition 2.3. —Soit(M, α)et(N, β)deux surfaces symplectiques,p∈M etU un voisinage

de pdans M. Consid´eronsf

₁

∈C

1

(M, N) etf

₂

∈C

1

(U, N) telles que :

– f

∗

1

β=α,f

∗

2

β =α,

– f

₂

est un diff´eomorphisme sur son image,

– f

₁

(p) =f

₂

(p) etDf

₁

(p) =Df

₂

(p).

Soit U un voisinage de f

₁

dans C

1

(M, N). Il existe alors V un ouvert de M contenant p et g une

application appartenant `aU tels que :

– g

^∗

β =α.

– V ⊆U,

– g=f

2

surV etg=f

1

sur M\U.

Pour montrer cette proposition, il faut consid´erer l’application f

₂⁻¹

◦f

1

d´efinie au voisinage de

0. Cette application admet p comme point fixe et sa diff´erentielle enp est ´egale `a l’identit´e de T

_p

M.

Il s’agit alors d’appliquer dans une carte deM en p, la proposition 2.2

C’est ce r´esultat qui sert de pivot `a la d´emonstration de la proposition 2.1. Nous travaillerons

alors au voisinage def

k−1

(p).

Si nous ´etions dansR

²

, nous consid`ererions les deux applications f etL◦f

^1−k

(o`uL:x ∈R

²

→

p+Df

k

(p)(x−p)).

Ces deux applications co¨ıncident en f

^k−1

(p) et admettentDf(f

^k−1

(p)) comme diff´erentielle en

f

^k−1

(p).

La proposition 2.3 s’applique et permet de remplacer l’application f au voisinage de f

^k−1

(p),

par l’application L◦f

1−k

(p).

A condition d’avoir perturb´e sur un voisinage def

^k−1

(p) suffisamment petit (c’est-`a-dire si

l’ap-plication g obtenue co¨ıncide avecf sur des voisinages dep,...,f

^k−2

(p) et co¨ıncide avecL◦f

^k−1

(p) sur

un voisinage de f

k−1

(p)) l’application g

k

est ´egale `a L sur un voisinage de p. Ainsi g

k

co¨ıncide avec

Evidemment, sur une surface symplectique, il s’agit de lire en carte au voisinage dep...

Voici donc l’enchainement logique des trois propositions ´enonc´ees ci-dessus :

proposition 2.3

ր ց

proposition 2.2 proposition 2.1

տ ւ

←−

Preuve de la proposition 2.2. —Soit f :M →R

²

de classeC

¹

telle que f(0) = 0,Df(0) = Id et

f

∗

dx∧dy=dx∧dy.

Soit U un voisinage de f dansC

¹

(M,R

²

).

Plan de la preuve

Nous allons utiliser le formalisme des fonctions g´en´eratrices d´evelopp´e au paragraphe 1.2 de ce

chapitre pour perturberf au voisinage de 0.

Pour cela, nous allons chercher U un voisinage de 0 relativement compact, V une boule de R

²

contenant 0 tels quef

_|U

∈ F(U, V).

Puis, on consid´erera H=S

_{U V}

(f

_|U

) la fonction g´en´eratrice de f

_|U

.

Il s’agira de construireHe ∈ H(U, V) dans un voisinage convenable de H etr >0 tels que :

– B(0,2r)⊆V,

– _He _=H

₀

_{surB(0, r),(rappelons queH}

₀

_{(x, q) =xq,}∀(x, q)∈R

²

)

– He =H hors deB(0,2r).

Nous poserons ˜f =S

_{U V}

(He)∈ F

U V

⊆C

1

(U,R

²

) et O=ψ

_He

(B(0,2r)).

D’apr`es la proposition 1.13, ˜f = id surB(0, r) et ˜f =f hors de O.

On prolongera alors ˜f en une application de classe C

¹

d´efinie surM tout entier en posant :

g: M −→ R

x 7−→

_˜

f(x) si x∈U

f(x) si x /∈U

.

Comment s’assurer alors que gappartient `a U?

Pour cela il suffira d’avoir construit U

′

un voisinage de f

_|U

tel que sih∈C

1

(M,R

²

) v´erifie :

− h

_|U

∈ U

′

,

− h est de classe C

¹

− h=f hors de U





 ^alorsh∈ U.

On consid´erera alorsV =S

⁻_{U V}¹

(U

′

∩ F

U V

) voisinage deH dansH(U, V).

Le voisinage convenable de H dans lequel il faudra construire H est alors V, puisque alors ˜f

appartiendra `aU

′

et par cons´equent g appartiendra `aU.

Consid´erons donc :

φ: M −→ R

²

(x, y) 7−→ (x, f

₂

(x, y)).

L’applicationφest de classeC

1

. De plusφ(0) = 0 etDφ(0) = Id. D’apr`es le th´eor`eme d’inversion

locale, il existe U un ouvert de R

²

contenant 0, V une boule ouverte de R

²

contenant 0 de rayon η

tels queφ

_|U

est unC

¹

diff´eomorphisme deU sur V.

Ainsi f

_|U

appartient `aE(U, V).Orf pr´eserve la formedx∧dy, donc :

f

_|U

∈ F(U, V).

On note S

_{U V}

=S. Posons :

H=S(f

_|U

)∈ H(U, V).

C’est avec H que nous allons travailler pour construire, `a partir de H etH

₀

une application _He

suffisamment proche deH etr >0 de telle sorte queHe co¨ıncide avec H

₀

sur B(0, r) et avec H hors

de B(0,2r).

L’id´ee est d’utiliser une fonction plateau P qui vaut 1 surB(0, r) et 0 hors de B(0,2r) : on pose

alorsHe =P H

₀

+ (1−P)H.

Il s’agit de prendre r >0 suffisamment petit pour que_He _{soit proche de H en topologie C}

2

sur

C

²

(V,R), et pour que_He ∈ H(U, V).

CommeU est un voisinage de f dansC

1

(U,R

²

), il existe α >0 tel que :

{g∈C

¹

(M,R

²

), g=f hors deU, etkg−fk

C1,M

< α} ⊆ U.

Posons :

U

^′

={g∈C

¹

(U,R

²

),kg−fk

C1,U

< α}.

L’ensemble U

′

est alors un voisinage def

_|U

dans C

¹

(U,R

²

) tel que si g:M →R

²

v´erifient :

− g

_|U

∈ U

′

,

− g est de classe C

1

− g=f hors de U





 ^{alors g}∈ U.

Posons :

V =S(U

^′

∩ F(U, V)).

D’apr`es le corollaire 1.9, S est un hom´eomorphisme de F(U, V) sur H(U, V). Ainsi V est un

voisinage de H dans H(U, V). C’est dans ce voisinage de H que nous allons chercher _He_...

Lemme 2.4. — Il existe r ∈]0;^η

2^{[ et} He ∈ V tel que He(x, q) = H

₀

(x, q) sur B(0, r) et

e

Terminons la preuve de la proposition 2.2 avant de donner une preuve de ce lemme.

Soit He ∈ V etr >0 donn´es par le lemme 2.4. Posons :

˜

f =S

⁻¹

( ˜H)∈ F(U, V),

O =ψ

_H˜

(B(0,2r)).

Puis :

g: M −→ R

u 7−→

_˜

f(u) si u∈U

f(u) si u /∈U

Montrons quer,O etg ainsi d´efinis, v´erifient les conclusions de la proposition...

— L’application He co¨ıncide avec H

₀

sur B(0, r). Donc d’apr`es la proposition 1.13-a, ψ

_H

=

id surB(0, r),ainsiB(0, r) =ψ

H

(B(0, r)),et :

B(0, r)⊆ψ

H

(B(0,2r)) =O.

De plus r < η/2 et V est la boule de centre 0 et de rayon η, doncB(0,2r) est inclus dans V. Ainsi

ψ

_H

(B(0,2r))⊆ψ

_H

(V) =U.

Or,ψ

_H

est un hom´eomorphisme deV surU. Donc ψ

_H

(B(0,2r)) =ψ

_H

(B(0,2r)). Par cons´equent :

O=ψ

_H

(B(0,2r))⊆U.

— L’application_He _{co¨ıncide avecHsurV}\B(0,2r). Donc d’apr`es la proposition 1.13-b, ˜f =f

surU \ψ

_H

(B(0,2r)) =U\O. Or par d´efinition deg, g= ˜f surU. Par cons´equent, g=f surU \O.

g=f sur M\U. Donc :

g=f sur M\O.

— L’application _He _{co¨ıncide avec H}

₀

_{surB(0, r). Donc d’apr`es la proposition 1.13-a, ˜f = id}

surB(0, r). OrB(0, r)⊆U etf = ˜f sur U. Donc :

g= id sur B(0, r).

— L’application g est de classe C

¹

car elle l’est sur les deux ouverts M \O et U dont la

r´eunion est M tout entier puisqueO⊆U. En effetg=f surM\O etg= ˜f surU.

— D´emontrons que g ∈ U. D’une part, _He ∈ V donc ˜f = S

⁻¹

(_He₎ ∈ U

′

. Par cons´equent,

˜

g

_|U

∈ U

^′

. D’autre part, g est de classe C

¹

etg=f hors deU. Ainsi par construction deU

^′

:

g∈ U.

— Reste `a d´emontrer que g

^∗

dx∧dy = dx∧dy. D’une part, g

_|U

= ˜f ∈ F(U, V), donc

g

∗

|U

dx∧dy =dx∧dy. D’autre part, g=f surM\U etf

∗

dx∧dy=dx∧dy. Donc :

Pour avoir achev´e la preuve de cette proposition, nous devons donner la preuve du lemme 2.4.

Preuve du lemme 2.4. — Rappelons queV est la boule de centre 0 et de rayon η.

Pour tout a > 0, notons K(a) l’ensemble des applications G ∈ C

²

(V,R) tel que G(0) = 0,

G=H surV \B(0,^η

2^{) et tel que}

kG−Hk

C2,B(0,^η₂)

< a.

Sous lemme 2.5. —Il existe β >0 tel queK(β)⊆ V.

Preuve du sous lemme 2.5. — CommeV est un voisinage de H dans H(U, V), par d´efinition de

la topologieC

²

, il existe β

₁

>0, tel que :

K(β

₁

)∩ H(U, V)⊆ V.

Montrons qu’il existe β

2

>0, tel que :

K(β

₂

)⊆ H(U, V).

Rappelons ce que veut dire “ˆetre dans H(U, V)” :

G∈ H(U, V)⇐⇒G(0) = 0 etψ

_G

: (x, q)∈V 7→(x,^∂G

∂x^{(x, q)) est un diff´eomorphisme de V sur U.}

Quelque soit a >0, si G∈K(a) alors G(0) = 0. Il s’agit donc de trouver β

₂

suffisamment petit

de telle sorte que siG∈K(β

₂

) alorsψ

_G

est un diff´eomorphisme de classe C

1

de V surU.

Consid´erons l’application :

Γ : C

2

(V,R) −→ C

1

(V,R

²

)

G 7−→ ψ

G

Les espaces de fonctions consid´er´es ´etant munis de la topologie C

1

forte de Whitney, l’application Γ

est continue. De plus, Γ(H) =ψ

H

.

Or,ψ

_H

est un diff´eomorphisme deV surU. Ainsi, par la proposition 1.4, il existeW

1

un voisinage de

ψ

_H

dansC

1

(V,R

²

), tel que si :

– ψ∈ V,

– ψ=ψ

_H

hors deB(0,

^η₂

),

alorsψ est unC

1

diff´eomorphisme de V sur U.

L’application Γ ´etant continue, il existe W

2

un voisinage deH dans C

²

(V,R) tel que :

Γ(W

2

)⊆ W

1

.

L’ensemble W

2

´etant un voisinage de H dans C

²

(V,R) muni de la topologie C

²

, il existe β

₂

>0 tel

queK(β

₂

)⊆ W

2

.

V´erifions queK(β

₂

)⊆ H(U, V).

Soit G∈K(β

₂

), alors :

– l’application ψ

_G

est un diff´eomorphisme de V sur U car :

– d’une partψ

_G

∈ W

1

puisque ψ

_G

= Λ(G)∈Λ(K(β

₂

))⊆Λ(W

2

)⊆ W

1

,

– d’autre part,ψ

_G

=ψ

_H

surV \B(0,^η

2^{) carG=H surV} \B(0,^η

2^{) (cf la d´efinition deK(β}

²

^)).

DoncG∈ H(U, V). Par cons´equent :

K(β

₂

)⊆ H(U, V).

Posonsβ = min{β

₁

, β

₂

}. Nous obtenons que :

K(β)⊆ V.

Pour finir de d´emontrer le lemme 2.4, nous allons chercher_He _{dansK(β),puisqueK(β) est inclus}

dansV...

Soit P :R

²

→[0; 1] une fonction plateau de classe C

^∞

telle que :

(

P(u) = 1 si kuk ≤ ¹

2

P(u) = 0 si kuk ≥1

PosonsM = sup

X∈R2

kDP(X)ket N = sup

X∈R2

_D

2

P(X)

_.

D’une partH(0) =H

₀

(0) = 0 etDH(0) =DH

₀

(0) = 0. D’autre part, pour tout (u, v) dansR

²

,

D

²

H(0)(u, v) =D

²

H

₀

(0)(u, v) = (v, u).

De plus,H etH

₀

sont de classeC

²

. Il existe donc ν stictement compris entre 0 et ^η

2 ^{tel :}

kH−H

₀

k

_C2,B(0,ν)

< ^β

2M +N + 1^.

Posonsr = ^ν

2 ^{puis :}

e

H : V −→ R

(x, q) 7−→ P(^{(x, q)}

ν ^)H

⁰

^{(x, q) + (1}−P(^{(x, q)}

ν ^{))H(x, q)}

Montrons quer et _He _{conviennent :}

– _He _{est de classe C}

2

carH et H

₀

le sont.

– P(^{(x, q)}

ν ^{) = 0 si}k(x, q)k> ν. Donc_He _{=H hors de B(0, ν) =B(0,2r).}

– P(^{(x, q)}

ν ^{) = 1 si}k(x, q)k ≤ ^ν

2^{. Donc} _He _=H

₀

_surB(0,^ν

2^{) =B(0, r).}

– Reste `a d´emontrer que <sub>H</sub>e <sub>appartient `a</sub> V. Pour cela v´erifions que _He _{appartient `aK(β) :}

⋆ _He _{=H sur V} \B(0, ν) et ν < ^η

2^{. Donc :}

H =_He _surV \B(0, η).

⋆ H =_He _{sur V} \B(0, ν).DoncH =_He _surB(0,^η

2⁾\B(0, ν).Ainsi :

kH^e −Hk

C2,B(0,^η₂)

=kH^e −Hk

C2,B(0,ν)

.

Soit X= (x, q)∈B(0, ν),

e

H(x, q)−H(x, q) =P(^{(x, q)}

ν ^)(H

⁰

^{(x, q)}−H(x, q)).

Donc :

(DHe(x, q)−DH(x, q))(v) = ¹

ν^(H

⁰

^{(x, q)}−H(x, q))DP(^{(x, q)}

ν ^)(v)

+ P(^{(x, q)}

ν ^)(DH

⁰

^{(x, q)}−DH(x, q))(v)

(D

²

_He_(X)−D

²

H(X))(v, w) = ¹

ν

2

(H

₀

(X)−H(X))D

²

P(^X

ν ^{)(v, w)}

+ ¹

ν^DP(

X

ν ^)(v)(DH

⁰

^(X)−DH(X))(w)

+ ¹

ν^DP(

X

ν ^)(w)(DH

⁰

^(X)−DH(X))(v)

+ P(^X

ν^)(D

2

H

₀

(X)−D

²

H(X))(v, w)

En appliquant deux fois le th´eor`eme des accroissements finis, on obtient :

kH^e −Hk

C2,B(0,ν)

< β.

Donc_He ∈K(β).Ainsi _He ∈ V.

Preuve de la proposition 2.3 — Soit p∈M,f

₁

∈C

¹

(M, N) etf

₂

∈C

¹

(U, N) tels que f

₁^∗

β =α,

f

∗

2

β=α,f

₂

:U →f

₂

(U) est un diff´eomorphisme, f

₁

(p) =f

₂

(p) et Df

₁

(p) =Df

₂

(p).

Soit U un voisinage de f

₁

dansC

¹

(M, N).

Appliquons le th´eor`eme de Darboux (proposition 0.1 du chapitre 1) : soit (W, k) une carte de

N en p telle que k

^∗

dx∧dy =β. Quitte `a faire une translation, on peut supposer que k(p) = 0. On

suppose de plus queW est inclus dansU.

Nous allons utiliser la proposition 2.2.

Pour cela, nous allons consid´erer l’application φ=k◦f

₂⁻¹

◦f

₁

◦k

−1

d´efinie sur un ouvertk(O)

de R

²

, contenant 0 et contenu dansk(W).

On v´erifie alors que φ(0) = 0,Dφ(0) = Id etφ

∗

dx∧dy =dx∧dy.

On applique alors la proposition 2.2 `aφ. On construit ˜φd´efinie surk(O), V

₁

etV

₂

deux ouverts

de R

²

contenant 0 tels que :

– V

₁

⊆V

₂

⊆V

₂

⊆k(O),

– ˜φ= id sur V

₁

,

– ˜φ=φ surM\V

₂

.

Posons alors V =k

−1

(V

₁

), puis :

g: M −→ N

x 7−→

f

₂

◦k

⁻¹

◦φ^˜◦k(x) six∈O

f

₁

(x) six /∈O

.

A condition queg soit bien d´efinie( !), on obtient :

– V =k

⁻¹

(V

₁

)⊆U,

– g=f

2

surV car ˜φ= id sur V

1

=k(V),

– g=f

₁

hors deO qui est inclus dansU,

– g

^∗

β =α.

L’applicationg correspond bien `a l’application cherch´ee.

Encore faut il que cette application gsoit bien d´efinie (pour cela il ”suffit“ de s’assurer que ˜φ(k(O))⊆

k(W))et qu’elle appartienne `a U. Aussi allons nous construire ˜φdans un voisinage de φ convenable.

Commef

₂

est un diff´eomorphisme sur son image et queW est un voisinage de p inclus dansU,

f

₂

(W) est un voisinage de f

₂

(p) = f

₁

(p). Or f

₁

est continue en p. Il existe donc O ⊆W un ouvert

relativement compact deM contenant ptel que :

f

₁

(O)⊆f

₂

(W).

Consid´erons :

φ: k(O) −→ R

²

x 7−→ k◦f

₂⁻¹

◦f

₁

◦k

⁻¹

(x)

L’applicationφest une application de classeC

¹

carf

1

,f

₂⁻¹

,ketk

⁻¹

le sont (f

2

est un diff´eomorphisme

de classeC

¹

sur son image). V´erifions queφv´erifie les hypoth`eses de la proposition 2.2 :

– (Df

₂⁻¹

(f

₁

(p))) = Df

₂⁻¹

(f

₂

(p)) = (Df

₂

(p))

⁻¹

= (Df

₁

(p))

⁻¹

, car Df

₁

(p) = Df

₂

(p) et f

₁

(p) =

f

₂

(p). Donc :

Dφ(0) = Dk(p)◦D(f

₂

)

⁻¹

(f

₁

(p))◦Df

₁

(p)◦Dk

⁻¹

(0)

= Dk(p)◦Dk

⁻¹

(0)

= Id.

– f

₁^∗

β=α,f

₁^∗

β =α etk

^∗

dx∧dy =α, donc :

φ

^∗

dx∧dy = (k◦f

₂⁻¹

◦f

₁

◦k

⁻¹

)

^∗

dx∧dy

= (f

₂⁻¹

◦f

₁

◦k

⁻¹

)

^∗

α

= (f

₁

◦k

⁻¹

)

^∗

β

= (k

⁻¹

)

^∗

α

= dx∧dy.

Nous pouvons donc appliquer `a φla proposition 2.2 dans un voisinage convenable deφ.

L’ouvert φ(k(O)) est contenu dans le compact f

₂⁻¹

◦f

1

(k(O)) lui mˆeme contenu dans k(W). On

peut donc consid´erer un voisinageW de φdansC

¹

(k(O),R

²

) tel que siψ∈ W alorsψ(k(O))⊆k(W).

Posons alors :

Φ : W −→ C

1

(O, N)

ψ 7−→ f

2

◦k

⁻¹

◦ψ◦k

– Φ est d´efinie...en effet si ψ∈ V,ψ(k(O))⊆k(W) !

– Φ est continue,

– Φ(φ) = (f

₁

)

_|O

.

D’apr`es la proposition 1.5, il existe V

′

un voisinage de (f

₁

)

_|O

dans C

1

(O, N) tel que si h : M → N

v´erifie :

− h

_|O

∈ W,

− h est de classe C

¹

,

− h=f

₁

hors deO.





 ^alorsh∈ U. (⋆)

PosonsV = Φ

−1

(W). L’ensemble V est alors un voisinage deφdans C

1

(k(O),R

²

).

Appliquons donc la proposition 2.2 `aφet `aU voisinage deφ: il existe ˜φ∈ U pr´eservantdx∧dy,s >0

etO

′

un ouvert deR

²

tel que

– B(0, s)⊆O

^′

⊆O

′

⊆k(O),

– ˜φ=φ surk(O)\O

^′

,

– ˜φ= id sur B(0, s).

PosonsV =k

⁻¹

(B(0, s)). L’ensemble V est un voisinage dep.

Enfin consid´erons l’application g d´efinie par :

g: M −→ N

x 7−→

Φ( ˜φ)(x) si x∈O

f

₁

(x) si x∈M\O

Reste `a montrer que l’application g:M →N et le voisinage V de p conviennent...

— Remarquons tout d’abord que :

V =k

⁻¹

(B(0, s))⊆k

⁻¹

(O

^′

)⊆k

⁻¹

(O

′

)⊆O ⊆W ⊆U.

— L’ouvert O est inclus dans U etg=f

₁

surM \O. Donc :

g=f

₁

surM\U.

— L’application φco¨ıncide avec l’identit´e surB(0, s) et g = Φ(ψ) = f

₂

◦k

⁻¹

◦ψ◦k sur O

qui contientk

−1

(B(0, s)) =V. Donc :

g=f

₂

sur V .

— D´eontrons queg∈ U. Pour cela utilisons (⋆).

Tout d’abord,g

_|O

= Φ( ˜φ), et ˜φ∈Φ

⁻¹

(W). Donc :

g

_|O

∈ W.

Ensuite :

g=f

₁

surM\O.

De plusg est de classe C

1

car :

• g= Φ( ˜φ) estC

¹

sur O,

• g= Φ( ˜φ) =f

₁

sur O\k

⁻¹

(O

′

)

car ˜φ=φsur k(O)\O

′

et Φ(φ) = (f

1

)

_|O

• g=f

₁

sur M\O















doncg est de classe C

¹

surM \k

⁻¹

(O

′

).

Or k

⁻¹

(O

′

) est inclus dans O. La surface M est donc la r´eunion des deux ouverts O etM \k

⁻¹

(O

′

)

sur lesquelles f est C

1

. Par cons´equentg est de classe C

1

.

— Enfin g

^∗

β = α car M est la r´eunion des deux ouverts O et M \k

⁻¹

(O

′

) sur chacun

desquellesg

∗

β=α. En effet :

– sur M \k

⁻¹

(O

′

), l’application g co¨ıncide avecf

1

etf

₁^∗

β=α,

– sur O,g= Φ( ˜φ) =f

₂

◦k

⁻¹

◦φ^˜◦k. Commef

₂^∗

β=α,k

^∗

dx∧dy =α etψ

^∗

dx∧dy =dx∧dy, on

en d´eduit queg

∗

β=α sur O.

Preuve de la proposition 2.1. — Soit f ∈ Diff

¹_ω

(M), k ∈ N

^∗

et p ∈ M un point p´eriodique de

p´eriode kpour f.

Soit U un voisinage de f dansC

1

ω

(M) et U un voisinage de p dansM.

Soit (W

₁

, h) une carte de M en p telle queh

^∗

dx∧dy =ω eth(p) = 0.

Notons :

φ: W

1

−→ T

p

M

x 7−→ (Dh(p))

⁻¹

◦h(x),

L’applicationφest un diff´eomorphisme de U

^′

voisinage de psur son image qui est un ouvert deT

_p

M

contenant 0. C’est cette application qui va ˆetre la conjugaison entre l’application g que nous allons

construire et l’application Df

^k

(p) qui est un endomorphisme deT

p

M.

Nous allons appliquer la proposition 2.3 `a l’application f et `a l’applicationx 7→φ

−1

◦Df

k

(p)◦

φ◦f

^−k+1

(x) d´efinie sur un voisinage de f

^k−1

(p).

Posons W

₂

=φ(W

₁

).

L’applicationφest un C

¹

diff´eomorphisme sur son image etφ(p) = 0∈T

_p

M, donc :

– W

₁

est un voisinage de 0 dansT

_p

M,

– φest un diff´eomorphisme deW

₁

sur W

₂

,

– φ(p) = 0 etDφ(p) = Id

_TpM

,

– Comme h

^∗

dx∧dy =ω etDh(p)

^∗

dx∧dy =ω

p

, on a φ

^∗

ω

p

=ω.

L’application Df

^k

(p)◦φ:W

₁

→ T

_p

M est continue et envoie p sur 0. Il existe donc V

₁

un ouvert de

M contenant ptel que :

D

^k

(p)◦φ(V

₁

)⊆W

₂

.

De plus f

⁻¹

est continue, et p,...,f

^k−1

(p) sont des points deux `a deux distincts (k est la plus petite

p´eriode dep pourf), on peut toujours supposer que V

₁

,f(V

₁

),...,f

k−1

(V

₁

) sont deux `a deux disjoints.

Consid´erons alors l’application suivante :

Φ : f

^k−1

(V

₁

∩U) −→ M

x 7−→ φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φ◦f

^−k+1

(x).

Φ est bien d´efinie...par construction deV

₁

! V´erifions les hypoth`eses de la proposition 2.3 :

– Φ est un diff´eomorphisme sur son image.

– Φ(f

^k−1

(p)) =f(f

^k−1

(p)) car

Φ(f

^k−1

(p)) = φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φ◦f

^−k+1

(f

^k−1

(p))

= φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φ(p)

= p

= f

^k

(p) car p est kp´eriodique pourf

= f(f

^k−1

(p))

– DΦ(f

k−1

(p)) =Df(f

k−1

)(p) car

DΦ(f

^k−1

(p)) = D(φ

⁻¹

)(0)◦Df

^k

(p)◦Dφ(p)◦Df

^−k+1

(f

^k−1

(p))

= Df(f

^k−1

(p)) car Dφ(p) =D(φ

⁻¹

)(0) = id

_TpM

– Comme f

^∗

ω =ω etf

^k

(p) =p, on obtient queDf

^k

(p)

^∗

ω

_p

=ω

_p

. Orφ

^∗

ω

_p

=ω. Donc :

Φ

^∗

ω= (φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φ◦f

^−k+1

)

^∗

ω=ω.

Appliquons donc la proposition 2.3 `a f et `a Φ sur le voisinage f

^k−1

(V

₁

∩U) de f

^k−1

(p). Il existe V

^′

un ouvert de M contenant le point f

k−1

(p) et l’ouvert O ainsi qu’une application g appartenant `a U

tels que :

– V

^′

⊆f

^k−1

(V

₁

∩U),

– g= Φ surV

′

,

– g=f sur M\f

^k−1

(V

1

∩U).

Posons alors V =f

1−k

(V

′

) qui est un ouvert deM contenantp.

Il s’agit `a pr´esent de d´emontrer que l’applicationget l’ouvertV contenantpainsi construits conviennent.

— Remarquons tout d’abord que :

V =f

^1−k

(V

^′

)⊆f

^1−k

(f

^k−1

(V

₁

∩U) =V

₁

∩U ⊆U.

— L’application gco¨ıncide avec f hors de f

^k−1

(V

₁

∩U). En particulier

g=f surM \f

^k−1

(U).

— L’ensemble V est inclus dansV

₁

etDf

k

(p)(φ(V

₁

))⊆W

₂

. Par cons´equent :

Df

^k

(p)(φ(V))⊆W

₂

.

— Reste `a montrer que g

k

=φ

−1

◦Df

k

(p)◦φsurV.

L’applicationgco¨ıncide avecfhors def

^k−1

(V

₁

∩U). CommeV

₁

, ...f

^k−1

(V

₁

) sont deux `a deux disjoints,

g co¨ıncide avec f sur V

₁

∩U, ..., f

k−2

(V

₁

∩U). Par cons´equent g

k−1

est ´egale `a f

k−1

surV

₁

∩U donc

surV. Or surf

k−1

(V) (qui est ´egal `aV

′

),g= Φ =φ

−1

◦Df

k

(p)◦φ◦f

1−k

.Par cons´equent,

g

^k

=φ

⁻¹

◦Df

^k

(p)◦φsurV.

Dans le document Sur les courbes invariantes par un difféomorphisme C1-générique symplectique d’une surface (Page 150-162)