Preuve de la proposition 3.1

Rappelons que nous avons construit dans le paragraphe pr´ec´edent un G

_δ

dense not´eG

p

(M) tel

que si f appartient `a ce G

_δ

dense et poss`ede une courbe ferm´ee simple invariante γ alors f poss`ede

des points p´eriodiques surγ(T

¹

).

Voici un lemme qui s’appuie sur le r´esultat pr´ec´edent et qui ´etudie le cas o`u un diff´eomorphisme

poss`ede non seulement des points p´eriodiques sur une courbe ferm´ee simple invariante mais o`u l’on

suppose aussi que ces points p´eriodiques sont tous hyperboliques.

Lemme3.3. —Soitf un diff´eomorphisme symplectique laissant invariante une courbeγ :T

¹

→M

ferm´ee simple. Sif admet surγ(T

¹

)des points p´eriodiques qui sont tous hyperboliques alors certaines

des vari´et´es stables ou instables de ces points p´eriodiques se rencontrent et leur intersection n’est pas

transverse.

Terminons d’abord la d´emonstration de la proposition 3.1 avant de donner une preuve de ce

lemme.

Soit donc f ∈ G

t

(M)∩ G

p

(M) poss´edant une courbe γ :T

¹

→M invariante.

Commef ∈ G

p

(M),f poss´ede des points p´eriodiques surγ(T

¹

) (cf. proposition 2.1).

Si ces points sont tous hyperboliques, d’apr`es le lemme ci-dessus certaines des vari´et´es stables ou

instables de ces points p´eriodiques se rencontrent et leur intersection n’est pas transverse, ce qui

contredit le fait quef ∈ G

t

(M).

Les points p´eriodiques def appartenant `aγ(T

¹

) ne sont donc pas tous hyperboliques...ce qui implique

que certains soient elliptiques.

Il suffit donc de consid`erer le G

_δ

dense deDiff

¹_ω

(M) d´efini par :

G

h

(M) =G

t

(M)∩ G

p

(M).

Preuve du lemme 3.3. — Supposons tout d’abord quef pr´eserve l’orientation de la courbe γ.

D’apr`es la proposition 2.33 du chapitre 1, les points p´eriodiques de f appartennant `a γ(T

¹

) ont

tous la mˆeme p´eriode. Notonsk cette p´eriode commune.

Comme les points p´eriodiques def appartenant `aγ(T

¹

) sont hyperboliques, ils sont non d´eg´en´er´es. Or

d’apr`es la proposition 1.7, un point p´eriodique non d´eg´en´er´e de p´eriode donn´e est isol´e parmi les points

p´eriodiques de mˆeme p´eriode. L’ensemble γ(T

¹

) ´etant compact, l’ensemble des points p´eriodiques de

Soit (θ

_i

)

_i∈Z/mZ

une famille de points du cercle tels que pour touti∈Z/mZ,θ

_i−1

< θ

_i

< θ

_i+1

et

tels que lesx

_i

=γ(θ

_i

),i∈Z/mZ, sont les points p´eriodiques de f appartenant `a γ(T

¹

).

L’applicationγ

−1

◦f◦γ est une application du cercle pr´eservant l’orientation. D’apr`es la

propo-sition 1.5 du chapitre 1, il y a deux cas :

∀ θ∈]θ

₁

;θ

₂

[, lim

n→+∞

h

^nk

(θ) =θ

₁

et lim

n→+∞

h

^−nk

(θ) =θ

₂

,

ou

∀ θ∈]θ

₁

;θ

₂

[, lim

n→+∞

h

^nk

(θ) =θ

₂

et lim

n→+∞

h

^−nk

(θ) =θ

₁

.

En utilisant la continuit´e deγ, on en d´eduit que

∀z∈γ(]θ

₁

;θ

₂

[), lim

n→+∞

f

^nk

(z) =x

₁

et lim

n→+∞

h

^−nk

(z) =x

₂

, (1)

ou

∀ z∈γ(]θ

₁

;θ

₂

[), lim

n→+∞

h

^nk

(z) =x

₂

et lim

n→+∞

h

^−nk

(z) =x

₁

. (2)

Ainsi γ(]θ

1

;θ

2

[) est inclus dans l’intersection deW

^s

(x

1

, f) et deW

^u

(x

2

, f) si l’on est dans le cas (1)

et dans l’intersection deW

^u

(x

₁

, f) et deW

^s

(x

₂

, f) si l’on est dans le cas (2).

Or γ(]θ

₁

;θ

₂

[) n’est pas d´enombrable. D’apr`es la proposition 3.2, W

s

(x

₁

, f) et W

u

(x

₂

, f) (ou

W

^u

(x

1

, f) et W

^s

(x

2

, f)) ne se rencontrent pas transversalement.

Voici un sch´ema repr´esentant l’image d’une courbeγ ferm´ee simple invariante par un diff´eomorphisme f

qui pr´eserve son orientation et sur laquelle f poss`ede des points p´eriodiques x

₁

,x

₂

,x

₃

,x

₄

etx

₅

.

x1

x2

x3

x4

x5

γ(T

¹

)

Ainsi γ(T

¹

)⊆W

^s

(x

₁

, f)∪W

^u

(x

₂

, f)∪W

^s

(x

₃

, f)∪W

^u

(x

₄

, f)∪W

^s

(x

₅

, f).

Reste `a traiter le cas o`u f ne pr´eserve pas l’orientation de la courbe γ.

Dans ce cas, on consid`ere l’application f

2

qui, elle, pr´eserve l’orientation de la courbe γ. Les

points p´eriodiques de f appartenant `a γ(T

¹

) sont aussi les points p´eriodiques de f

²

sur γ(T

¹

) pour

laquelle ils sont aussi hyperboliques (cf. proposition 1.5).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, certaines des vari´et´es stables ou instables relativement `af

2

de ces points

p´eriodiques se rencontrent et leur intersection n’est pas transverse. Or d’apr`es la remarque 1.11, les

vari´et´es stables et instables relativement `a f etf

²

co¨ıncident. D’o`u le r´esultat.

Appendice : l’argument d’Herman

Posons A=T

¹

×[0; 1] muni de la forme symplectiqueω =dθ∧dr.

M.Herman s’int´eresse dans [He83] aux courbes ferm´ees simples invariantes par un diff´eomorphismes

symplectique deA d´eviant la verticale homotope `a l’identit´e.

Pour tous les points techniques, nous renvoyons au m´emoire d’Herman. Nous allons seulement

tenter d’expliquer la d´emarche globale d’Herman. Rappelons seulement ce qu’est un diff´eomorphisme

d´eviant la verticale.

On munit l’espace tangent de Ade sa trivialisation canonique.

Soit f un diff´eomorphisme deA, l’application tangenteDf de f au point x est donc une application

Df(x) :{x} ×R

²

→ {f(x)} ×R

²

.

Pour 0< ε < π/2,C

+

(ε) est l’ensemble des pointsxtels que l’angle entre les vecteursOx

^→

etv= (1,0)

soit compris entreπ/2−εet−π/2 +ε.

On note C

₋

(ε) =−C

₊

(ε).

θ r ε ε

_C

+

(ε)

D₊ D₋

C

−(

ε)

O v v= (0,1)

Les demi droites D

₊

etD

₋

appartiennent respectivement `a C

₊

(ε) et `aC

₋

(ε)

Soitf un diff´eomorphisme deAhomotope `a l’identit´e. On dit quef d´evie laverticale `a gauche

[respectivement`a droite] s’il existe 0< ε < π/2 tel que pour toutx∈A, on ait :

Df(x)(0,1)∈C

−

(ε) [respectivement] C

+

(ε),

Df

⁻¹

(x)(0,1)∈C

₊

(ε) [respectivement] C

₋

(ε).

On munitDiff

¹_ω

(A) de laC

¹

topologie uniforme. Pour cette topologie l’ensemble des diff´eomorphismes

qui d´evient la verticale est un ouvert.

Remarquons qu’un diff´eomorphisme d´eviant la verticale est homotope `a l’identit´e. Il pr´eserve

donc l’orientation de toutes les courbes ferm´ees simples qu’il laisse invariantes.

Voici le r´esultat d´emontr´e par M.Herman dans ce m´emoire :

Proposition 3.4. —Il existe unG

_δ

denseGde{f ∈Diff

¹_ω

(A) |f d´evie la verticale}muni de la

C

¹

topologie induite tels que si f ∈G, il n’existe pas de courbeγ :T

¹

→A ferm´ee simple essentielle

invariante parf telle queγ(T

¹

)ne rencontre pasT

¹

× {0}etT

¹

× {1}et telle quef poss`ede des points

p´eriodiques surγ(T

¹

).

Pour d´emontrer cette proposition, on utilise tout d’abord deux r´esultats de Birkhoff qui

per-mettent de d´emontrer que si un diff´eomorphisme d´eviant la verticale admet une courbeγ :T

¹

→ A

ferm´ee simple essentielle invariante alorsγ(T

¹

) est le graphe d’une application lipschitzienne du cercle.

Puis on se place dans un G

_δ

dense de {f ∈ Diff

¹_ω

(A) | f d´evie la verticale} dont les ´el´ements

v´erifient les deux propri´et´es suivantes :

a) tout point p´eriodique est non d´eg´en´er´e,

b) tout point p´eriodique hyperbolique x∈T

¹

×]0; 1[ est tel que les vari´et´es stable et instable

s’in-tersectent transversalement.

Ensuite on prend une courbe γ : T

¹

→ A ferm´ee, simple, essentielle et invariante par un

diff´eomorphismef d´eviant la verticale. On suppose quef poss`ede un point p´eriodique sur γ(T

¹

).

En utilisant le fait queγ(T

¹

) est le graphe d’une application lipschitzienne, M. Herman d´emontre

que les points p´eriodiques de f surγ(T

¹

) sont hyperboliques. Voici comment il proc`ede.

Consid´erons un r´eel K strictement positif, ainsi qu’une application φ:T

¹

→]0; 1[, lipschitzienne

de rapportK, tels que :

γ(T

¹

) ={(θ, φ(θ)) : θ∈T

¹

}.

Soit x=γ(θ) un point p´eriodique def appartenant `a γ(T

¹

). D´efinissons le cˆone tangent de γ(T

¹

) en

x. Pour cela consid´erons l’ensemble S des suites (θ

_n

, t

_n

)

_n∈N

de T

¹

×]0; +∞[ telles que :

– quelque soit l’entier natureln,θ

_n

6=θ,

– la suite (θ

_n

)

_n∈N

converge vers θdans T

¹

,

– la suite

γ(θ

_n

)−x

t

n

n∈N

converge vers un vecteur deR

²

.

Posons alors :

C

_x

γ =

lim

n→+∞

γ(θ

_n

)−x

t

_n

^{: (θ}

ⁿ

^{, t}

ⁿ

⁾

^n∈N

∈ S

.

Cet ensemble,C

x

γ, est un cˆone deR

²

(c’est-`a-dire que c’est un sous ensemble deR

²

stable par produit

par un nombre strictement positif). Il n’est pas r´eduit au vecteur nul. Pour v´erifier cela, il suffit de

prendre une suite (θ

_n

)

_n∈N

du cercle qui converge vers θet telle que quelque soit l’entier natureln,θ

_n

est diff´erent de θ, puis de poser t

n

= kγ(θ

n

)−xk. La suite

γ(θ

n

)−x

t

_n

n∈N

est alors une suite du

cercle unit´e qui, quitte `a en extraire une sous suite, converge vers un vecteur non nul car appartenant

au cercle unit´e. On dit que C

_x

γ est le cˆone tangent deγ en x. Voici deux lemmes qui concernent ce

cˆone tangent.

Lemme 3.5. — L’entierm ´etant la p´eriode dex sous f,C

_x

γ est stable parDf

^m

(x).

Preuve . — Soitu∈C

_x

γ. Il existe (θ

_n

, t

_n

)

_n∈N

une suite appartenant `aS telle que :

u= lim

n→+∞

γ(θ

n

)−x

t

_n

^.

L’ensemble γ(T

¹

) ´etant invariant par f et donc par f

^m

, il existe (θ

_n^′

)

_n∈N

une suite du cercle telle

que pour tout n∈T

¹

, f

m

(γ(θ

_n

)) =γ(θ

′

n

). Le pointx ´etant un point fixe de f

m

, la suite (γ(θ

′

n

))

_n∈N

converge vers x. Or l’application γ est continue est injective, la suite (θ

_n^′

)

n∈N

converge donc vers θ.

De plus :

lim

n→+∞

γ(θ

′ n

)−x

t

n

= lim

n→+∞

f

m

(γ(θ

_n

))−f

m

(x)

t

n

=Df

^m

(x)u.

Ce qui d´emontre que le vecteur Df

m

(x)u appartient au cˆone tangent deγ en x.

Lemme 3.6. —L’ensembleC

_x

γ est inclus dans l’ensemble{(a, b)∈R

²

|a6= 0et

b

a

≤K} ∪ {0}

qui est un cˆone deR

²

.

Preuve . — Soit u = (u

₁

, u

₂

) un vecteur appartenant `a C

_x

γ. Il existe (θ

_n

, t

_n

)

_n∈N

une suite

appartenant `a S telle que :

u= lim

n→+∞

θ

_n

−θ

t

_n

^,

φ(θ

_n

)−φ(θ)

t

_n

.

L’applicationφ´etant lipschitzienne de rapport K,

|φ(θ

_n

)−φ(θ)| ≤Kd(θ

_n

, θ).

Ainsi siu

₁

= lim

n→+∞

θ

_n

−θ

t

_n

^{est ´egal `a 0,u}

²

^{est aussi ´egal `a 0 etu est le vecteur nul. En revanche, siu}

¹

est non nul, on obtient que :

u

₂

u

₁

≤K.

Or ces deux lemmes ne peuvent ˆetre v´erifi´es si x est un point p´eriodique elliptique de f. En

effet nous avons suppos´e que tous les points p´eriodiques de f sont non d´eg´en´er´es, autrement dit

que les valeurs propres de Df

^m

(x), m ´etant la p´eriode de x, ne sont pas des racines de l’unit´e. Par

cons´equent, si x est elliptique, les it´er´es d’une demi-droite quelconque du plan parDf

^m

(x) forment

un ensemble dense deR

²

. Ils ne peuvent donc ˆetre inclus, contrairement `a ce que d´emontre les deux

lemmes pr´ec´edents, dans un cˆone deR

²

, distinct deR

²

, et qui n’est donc pas un ensemble dense. Les

point p´eriodiques def appartenant `aγ(T

¹

) ne pouvant ˆetre elliptiques, sont hyperboliques.

On d´emontre alors que l’ensembleγ(T

¹

) est une r´eunion de vari´et´es stables et instables de points

p´eriodiques hyperboliques ce qui est impossible en ayant suppos´e quef v´erifie la propri´et´e b). C’est

cette id´ee qui est largement utilis´ee et d´evelopp´ee au paragraphe 3 de ce chapitre.

Chapitre III

Etude des points p´eriodiques elliptiques sur une courbe

ferm´ee simple invariante

Rappelons que notre but est de construire un G

_δ

dense de de diff´eomorphismes symplectiques

dont les ´el´ements n’admettent aucune courbe ferm´ee simple invariante.

Nous avons d´emontr´e dans le chapitre 2, qu’il existe un G

_δ

dense de diff´eomorphismes

symplec-tiques dont les ´el´ements, s’ils admettent une courbe ferm´ee simple invariante, poss`edent au moins un

point p´eriodique elliptique sur l’image de cette courbe.

Dans ce chapitre, nous allons construire un G

_δ

dense de diff´eomorphismes symplectiques dont

les ´el´ements, s’ils laissent une courbe ferm´ee simple invariante ne poss`edent pas de points p´eriodiques

elliptiques sur l’image de cette courbe.

Il suffira donc de consid´erer l’intersection de ces deuxG

_δ

denses pour conclure.

Voici la d´emarche que nous allons adopter.

Tout d’abord, nous allons d´emontrer que si un diff´eomorphisme v´erifie avec l’un de ses points

p´eriodiques une certaine propri´et´e, la propri´et´e Γ, aucune courbe ferm´ee simple invariante par f n’a

son image qui contient ce point.

Puis nous construirons unG

_δ

dense deDiff

¹_ω

(M) dont les ´el´ements v´erifient cette propri´et´e avec

tous ses points p´eriodiques elliptiques.

Les ´el´ements de ce G

_δ

dense ne poss`edent alors aucun point p´eriodique elliptique sur les images

des courbes ferm´ees simples qu’ils laissent invariantes.

La construction de ceG

_δ

dense repose sur deux propositions assez techniques que nous d´emontrons

dans le troisi`eme paragraphe. Leur preuve repose, d’une part sur la proposition 4.1 d´emontr´ee dans

le chapitre 4 et qui permet d’entourer un point p´eriodique elliptique par une courbe ferm´ee simple de

classe C

¹

sur l’image de laquelle se trouve un nombre fini de points p´eriodiques tous hyperboliques,

d’autre part sur la proposition 2.6, d´emontr´ee lui aussi dans le chapitre 4, et qui permet de perturber

un diff´eomorphisme symplectique au voisinage d’un point de fa¸con `a modifier sa diff´erentielle en ce

point.

En tout cas ce chapitre repose largement, mˆeme si ce n’est pas visible, sur le formalisme des fonctions

g´en´eratrices d´ecrit au quatri`eme chapitre.

1 Courbe ferm´ee simple sur une surface

Soit (M, d) une surface riemannienne. Soitγ :T

¹

→M une courbe ferm´ee simple. Dans le cas o`u

M est la sph`ere ou le plan, le th´eor`eme de Jordan nous renseigne sur les caract´eristiques topologiques

des composantes connexes de M\γ(T

¹

). Qu’advient t’il dans le cas d’une surface quelconque ? Nous

allons travailler ici dans le cas o`u γ(T

¹

) est inclus dans un ouvert deM hom´eomorphe `a R

²

et tenter

de caract´eriser l’une des composantes connexes du compl´ementaire deγ(T

¹

).

Proposition et d´efinition 1.1. —Soit (M, d) une surface riemannienne.

Soit U un ouvert de M hom´eomorphe au plan et γ :T

¹

→M une courbe ferm´ee simple dont l’image

est incluse dansU, alors M\γ(T

¹

) poss`ede exactement une composante connexe, not´ee int

_U

(γ), qui

est relativement compacte et incluse dansU. De plus la fronti`ere de int

_U

(γ)est γ(T

¹

).

D´emonstration. —Consid´erons un hom´eomorphisme h:U −→R

²

.

Unicit´e. Supposons queM\γ(T

¹

) poss`ede une composante connexe, not´ee C, relativement compacte

et incluse dansU. Etudionsh(C) qui est une partie deR

²

.

• Tout d’abord, notons queh(C) est un ouvert connexe du plan inclus dansR

²

\h◦γ(T

¹

).

• De plus la fronti`ere de C est incluse dans γ(T

¹

), donc dans U. Ainsi la fronti`ere de h(C) est

contenue dans h◦γ(T

¹

). D’apr`es le sous lemme 3.12 d´emontr´e au chapitre 1, on en d´eduit que h(C)

est une composante connexe de R

²

\h◦γ(T

¹

).

• EnfinC est relativement compacte et son adh´erence est incluse dansU. Par cons´equent, h(C)

est relativement compacte dansR

²

. C’est donc la composante connexe born´ee deM\h◦γ(T

¹

). Ainsi :

h(C) = int(h◦γ).

D’o`u l’unicit´e d’une ´eventuelle composante connexe relativement compacte deX\γ(T

¹

) incluse dansU.

Existence.Il reste `a v´erifier que l’ensemble C=h

−1

(int(h◦γ)) convient.

• Tout d’abord, notons queC est un ouvert connexe deM \γ(T

¹

).

• L’ensemble int(h◦γ) est relativement compacte dans R

²

. Donc C est relativement compacte

dansU. Ainsi l’adh´erence deC dansU est compacte et co¨ıncide donc avec son adh´erence dansM. De

plus, la fronti`ere de int(h◦γ) esth◦γ(T

¹

). La fronti`ere deC dansU et donc dans M, est γ(T

¹

).

Par cons´equent, C est un ouvert connexe de M inclus dans X\γ(T

¹

) dont la fronti`ere est γ(T

¹

).

D’apr`es le sous lemme 3.12 du chapitre 1 d´eja utilis´e, il est une composante connexe de M \γ(T

¹

).

Or C est inclus dansU. C’est donc la composante connexe cherch´ee. ₂

Remarque1.2. Soitγ :T

¹

→M une courbe et U un ouvert deX v´erifiant les hypoth`eses de la

proposition ci-dessus. Sih:U →R

²

est un hom´eomorphisme, alors h(int

U

(γ) = int(h◦γ).

L’ensemble des applications continues du cercle `a valeurs dansM est not´eC

⁰

(T

¹

, M).

Soit γ et δ deux ´el´ements de C

⁰

(T

¹

, M), on note d(δ, γ) = max

_t∈T1

d(γ(t), δ(t)). L’application d est

une distance surC

0

(T

¹

, M) qui induit la topologie de la convergence uniforme.

Proposition 1.3. — Soit (M, d) une surface riemannienne.

Soit U un ouvert de M hom´eomorphe au plan et γ :T

¹

→M une courbe ferm´ee simple dont l’image

est incluse dansU. Soit x

₀

un point deint

_U

(γ).

Il existe un r´eelεstrictement positif tel que pour toute courbeδ:T

¹

→U et tout pointxappartenant

`

a U, sid(γ, δ)< ε et sid(x, x

₀

)< εalors xappartient `a int

_U

(δ).

D´emonstration. —Consid´eronsh:U −→R

²

un hom´eomorphisme tel que h(x

₀

) = 0.

Nous renvoyons au premier chapitre pour la d´efinition de l’indice d’une courbe par rapport `a un point,

ainsi que pour les propri´et´es s’y rattachant.

D’apr`es la remarque 1.2, on sait que si δ est une courbe ferm´ee simple dont l’image est incluse dans

U alors int

U

(δ) =h

⁻¹

(int(h◦δ)). Par cons´equent :

x∈int

_U

(δ) ⇔h(x)∈int(h◦δ) ⇔ind(h(x), h◦δ)6= 0. (⋆)

Sous lemme 1.4. —Il existe µ >0 tel que siδ^ˆ∈C

⁰

(T

¹

,R

²

) etu∈R

²

v´erifientd(ˆδ, h◦γ)< µ

etkuk< µ alorsu∈int(ˆδ).

Preuve . — Soitµ le r´eel d´efini par :

µ= min

t∈T1

kh◦γ(t)k

2 ^.

C’est un r´eel strictement positif car 0 n’appartient pas `a l’image deh◦γ. Soit ˆδ ∈C

0

(T

¹

,R

²

) etu∈R

²

tels qued(ˆδ, h◦γ)< µetkuk< µ. D´efinissons l’application :

F : [0; 1]×T

¹

−→ R

²

(s, t) 7−→ sδ^ˆ(t) + (1−s)h◦γ(t)

Cette application F est `a valeurs dansR

²

\ {u}car pour tout (s, t)∈[0; 1]×T

¹

:

kF(s, t)−uk =

s^ˆδ(t) + (1−s)h◦γ(t)−u

=

h◦γ(t)−u−s(h◦γ(t)−δ^ˆ(t))

≥ kh◦γ(t)k −skh◦γ(t)−δ(t)k − kuk

> 2µ−sµ−µ≥0

Or quelque soitt∈T

¹

,F(0, t) =h◦γ(t) et F(1, t) = ˆδ(t). AinsiF est une homotopie entre ˆδ eth◦γ

dansR

²

\ {u}.Ce qui d’apr`es les propri´et´es de l’indice d´emontre que :

ind(u,δ^ˆ) = ind(u, h◦γ).

Or la boule de centre 0 de rayonµ,B(0, µ), ne rencontre pash◦γ(T

¹

) et 0 appartient `a int(h◦γ). Par

cons´equent B(0, µ) est incluse dans int(h◦γ). Mais le pointu appartient `a cette boule. Il appartient

donc `a l’int´erieur deh◦γ. Ainsi ind(u, h◦γ)6= 0. Ce qui implique que ind(u,δ^ˆ)6= 0.

Or par continuit´e de l’applicationh, on a l’existence d’un r´eelεstrictement positif tel que :

– si un courbe ferm´ee simpleδ :T

¹

→U v´erified(δ, γ) < εalorsd(h◦δ, h◦γ)< µ,

– si x∈U v´erified(x, x

₀

)< ε alorskh(x)k< µ.

Dans ce cas, ind(h(x), h◦δ) = 0. Ce qui implique quex appartient `a int

U

(δ). ₂

2 Propri´et´e Γ

2.1 D´efinition de la propri´et´e Γ

D´efinition 2.1. — Soit M une surface. Soit a, b et c trois points du cercle T

¹

tels que b

appartient `a ]a;c[. Soitγ

₁

: [a;b]→M etγ

₂

: [b;c]→M deux arcs continus tels queγ

₁

(b) =γ

₂

(b). La

concat´enation deγ

₁

etγ

₂

, not´ee γ

₁

∧γ

₂

est l’arc continu d´efini sur[a;c]par :

γ

₁

∧γ

₂

: [a;c] −→ M

θ 7−→

γ

₁

(θ) siθ∈[a;b]

γ

₂

(θ)si θ∈[b;c].

D´efinition 2.2. — Soit f ∈Diff

¹_ω

(M),m ∈N

^∗

, x un point p´eriodique elliptique de f et U un

voisinage de x.

On dit que f et x v´erifient la propri´et´e Γ relativement `a U s’il existe une courbe γ : T

¹

→ U

ferm´ee simple et2n pointsx

1

, ..., x

n

, y

1

, ..., y

n

appartenant `a M tels que :

1. x appartient `a une composante connexe de M\γ(T

¹

) incluse dansU.

2. x

1

, ..., x

n

, y

1

, ..., y

n

sont des pointsm-p´eriodiques hyperboliques pourf.

3. γ(T

¹

) est la concat´enation d’arcs C

1

, γ

s

i

: [β

_i−1

;α

_i

]→ M et γ

u

i

: [α

_i

;β

_i

] → M, i ∈ Z/nZ, tels

que :

– Les pointsx

_i

ety

_i

appartiennent respectivement `a γ

_i^s

([β

_i−1

;α

_i

]) et `aγ

_i^u

([α

_i

;β

_i

]),

– les images des arcs γ

s

i

etγ

u

i

sont respectivement incluses dans W

s

(x

_i

, f) etW

u

(y

_i

, f).

4. Pour tout i ∈ Z/nZ, les vecteurs (γ

s

i

)

′

(α

_i

) et (γ

u

i

)

′

(α

_i

) d’une part et les vecteurs (γ

u

i

)

′

(β

_i

) et

(γ

^s_i+1

)

^′

(β

_i

) d’autre part sont non colin´eaires (et donc non nuls).

5. De plus, pour touti∈Z/nZ,γ

^s_i

([β

i−1

;α

i

])etγ

_i^u

([α

i

;β

i

])sont respectivement stables parf

^2m

et

f

^−2m

.

γs 1(α1) =γu 1(α1) γs 1(β3) =γu 3(β3) x1 y1 x2 y2 x3 y3

x

γs 2(α2) =γu 2(α2) γs 2(β1) =γu 1(β1) γs 3(β2) =γu 2(β2) γs 3(α3) =γu 3(α3)

U

On dit quef etxv´erifientla propri´et´eΓsi quelque soitU voisinage dex,f etxv´erifient la propri´et´e

Γ relativement `aU.

Remarque 2.3. — Si le voisinage U de x est hom´eomorphe `a R

²

et relativement compacte, la

premi`ere assertion devient : ”x∈int

_U

(γ)“.

Remarque 2.4. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique, k∈ N

^∗

et x un point p´eriodique

elliptique de p´eriodeknon d´eg´en´er´e def. SoitU un voisinage dex etnun entier strictement positif.

Sif etxv´erifient la propri´et´e Γ relativement `aU alorsf

n

etxv´erifient aussi la propri´et´e Γ relativement

`

a U.

Remarque 2.5. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique, x un point fixe elliptique non

d´eg´en´er´e de f et U un voisinage de x tels que f et x v´erifient la propri´et´e Γ relativement `a U. Soit

n un entier strictement positif et g un diff´eomorphisme symplectique. Si g

ⁿ

co¨ıncide avec f sur U

alorsx est un point p´eriodique elliptique non d´eg´en´er´e de g

ⁿ

et g

ⁿ

etx v´erifient aussi la propri´et´e Γ

relativement `a U.

2.2 Propri´et´e Γ et courbes invariantes

Proposition 2.6. — Soit f un diff´eomorphisme symplectique de M, k ∈ N

^∗

et x un point

p´eriodique elliptique de p´eriode knon d´eg´en´er´e def.

Si f et x v´erifient la propri´et´e Γ, l’image d’aucune courbe ferm´ee simple invariante par f ne

contient x.

D´emonstration. — Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons donc qu’il existeδ :T

¹

→M

une courbe ferm´ee simple invariante parf telle quexappartient `a δ(T

¹

).

Quitte `a raisonner avec l’application f

²

, nous pouvons supposer que f pr´eserve l’orientation de

γ. En effet le pointx est aussi un point p´eriodique elliptique non d´eg´en´er´e de f

2

avec lequel, d’apr`es

la remarque 2.4, il v´erifie aussi la propri´et´e Γ. De plus f

2

laisse invariante la courbe δ. Toutes les

hypoth`eses v´erifi´ees par f relativement `ax etδ sont donc aussi v´erifi´ees par f

²

qui en outre pr´eserve

dans tous les cas l’orientation deδ.

L’applicationf pr´eserve donc l’orientation de la courbeδ. D’apr`es la proposition 2.33 du premier

chapitre, tous les points p´eriodiques de f appartenant `a δ(T

¹

) ont la mˆeme p´eriode en l’occurence k

la p´eriode de x. C’est cela que nous allons contredire en utilisant quef et xv´erifient la propri´et´e Γ.

Le pointx´etant un point p´eriodique non d´eg´en´er´e def, il est isol´e parmi les points p´eriodiques de

f de p´eriode plus petite ou ´egale `ak(cf. proposition 1.7 du chapitre 2). Il existe doncU un voisinage de

xdans lequelf ne poss`ede pas de point p´eriodique de p´eriode plus petite ou ´egale `akautre que le point

x. Quitte `a r´eduire ce voisinage, on peut en outre supposer queδ(T

¹

) n’est pas inclus dans ce voisinage.

Commef etxv´erifient la propri´et´e Γ, ils la v´erifient relativement `aU. Il existe donc une courbe

γ :T

¹

→U ferm´ee simple et 2n pointsx

₁

, ..., x

_n

, y

₁

, ..., y

_n

appartenant `a M tels que :

1. x appartient `a une composante connexe de M\γ(T

¹

) incluse dans U,

2. x

₁

, ..., x

_n

, y

₁

, ..., y

_n

sont des points p´eriodiques hyperboliques pourf,

3. γ(T

¹

) est la concat´enation d’arcs C

¹

, γ

_i^s

: [β

_i−1

;α

_i

]→ M et γ

_i^u

: [α

_i

;β

_i

] → M, i ∈ Z/nZ, tels

que :

– les images des arcs γ

_i^s

etγ

_i^u

sont respectivement incluses dans W

^s

(x

_i

, f) et W

^u

(y

_i

, f).

(Les assertions 4 et 5 de la propri´et´e Γ sont inutiles pour d´emontrer cette proposition.)

U

δ

x x1 y1 x2 y2 x3 y3 y

Lemme 2.7. — l’intersection de γ(T

¹

) et deδ(T

¹

) est non vide.

Preuve . — Soit C la composante connexe deM\γ(T

¹

) qui contient x. Comme x appartient `a

δ(T

¹

),

x∈δ(T

¹

)∩C6=∅.

D’apr`es l’assertion 1 de la propri´et´e Γ, l’ensembleC est inclus dansU. Orδ(T

¹

) n’est pas inclus dans

U. Par cons´equent :

δ(T

¹

)∩(M \C)6=∅.

Or l’ensembleδ(T

¹

) est connexe. Il rencontre donc la fronti`ere deC. OrC est une composante connexe

de l’ouvert M \γ(T

¹

). Sa fronti`ere est donc incluse dans γ(T

¹

). D’o`u le fait que δ(T

¹

) et γ(T

¹

) se

rencontre.

Soit donc y∈γ(T

¹

)∩δ(T

¹

).

Par construction de la courbe γ, il existe i ∈ Z/nZ tel que y appartient `a γ

_i^s

([β

i−1

;α

i

]) ou `a

γ

_i^u

([α

_i

;β

_i

]), ce qui implique que y appartient `a la vari´et´e stable de x

_i

ou `a la vari´et´e instable de y

_i

.

Supposons que le point y appartient `a la vari´et´e stable de x

_i

, le cas o`u il appartiendrait `a la vari´et´e

instable de y

i

se traitant de la mˆeme fa¸con.

Soit l la p´eriode de x

_i

, la suite (f

^nl

(y))

_n∈N

converge vers x

_i

. Or l’image deδ est invariante par

f et contient y. Par cons´equent la suite (f

nl

(y))

_n∈N

est incluse dans δ(T

¹

). L’ensemble δ(T

¹

) ´etant

ferm´e, il contient donc le pointx

_i

qui est la limite de la suite (f

nl

(y))

_n∈N.

Mais les points x

_i

etx sont distincts car x

_i

appartient `a γ(T

¹

) ce qui n’est pas le cas de x. Et

x

_i

appartient `a U car l’image de γ est incluse dans U. Comme x

_i

est le seul point p´eriodique de f

appartenant `aU de p´eriode plus petite ou ´egale `ak, on en d´eduit que la p´eriode dex

i

est strictement

plus grande quek.

Le pointx

_i

est donc un point p´eriodique de f de p´eriode strictement plus grande que k

appar-tenant `a δ(T

¹

). D’o`u la contradiction. ₂

Remarque 2.8. Dans cette preuve, comme nous l’avons d´eja soulign´e, les point 4 et 5 de la

propri´et´e Γ n’ont aucune utilit´e. Ils interviennent seulement dans les paragraphes suivants pour la

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