Travaux ant´erieurs

Conscients des difficult´es rencontr´ees lorsqu’on rend lin´eaire le probl`eme de l’autocalibrage 3D, plusieurs auteurs ont propos´e des alternatives. G´en´eralement, le formalisme non lin´eaire est conserv´e et les auteurs se sont donc heurt´es au probl`eme de la minimisation de la fonction objectif non lin´eaire. Afin de situer notre travail dans le temps et par rapport `a ces autres propositions, le tableau 5.3 regroupe les contributions qui ont ´et´e propos´ees et dont nous avons connaissance. La colonne intitul´ee (( ´etapes des contraintes )) sp´ecifie `a quel endroit de l’algorithme les contraintes de rang de la quadrique absolue duale (QAD) et de semi-d´efinie positivit´e de l’image de la conique absolue duale (ICAD) sont impos´ees. Notons que les travaux dans [Chandraker 07b] ont ´et´e propos´es simultan´ement aux nˆotres et que les travaux de [Chandraker 07a] sont post´erieurs aux nˆotres. Ces multiples tentatives d’obtenir un algorithme d’autocalibrage 3D offrant le plus de garantie possible quant `a l’obtention d’une bonne solution montrent bien que le probl`eme est encore d’actualit´e. Nous passons maintenant en revue rapidement chacun de ces travaux.

Ann´ee R´ef´erences Type d’approche Type de

minimisation

´

Etape des contraintes 2003 [Benedetti 03,

Fusiello 04] Equations de Kruppa´

Optimisation par

intervalles Non satisfaites 2004 [Agrawal 04] Approche directe

(QAD)

Programmation

semi-d´efinie Optimisation 2007 [Bocquillon 07b] Approche directe

(QAD)

Optimisation par

intervalles Mod´elisation 2007 [Chandraker 07b] Approche directe

(QAD) Relaxations convexes Optimisation

2007 [Chandraker 07a] Approche stratifi´ee Relaxations convexes Optimisation

Tab. 5.3 – Historique des m´ethodes d’autocalibrage 3D cherchant une solution globale au probl`eme.

Dans [Benedetti 03] et [Fusiello 04], Benedetti, Fusiello et al. s’int´eressent `a l’obtention d’une so- lution garantie pour l’autocalibrage 3D. Leur formulation du probl`eme fait intervenir la fonction de coˆut de Huang-Faugeras [Luong 97], fond´ee sur les ´equations de Kruppa, pr´esent´ees dans la section 5.2.3.3. Cette fonction d´epend de cinq inconnues, qui sont les cinq param`etres internes de la cam´era. Les auteurs proposent d’utiliser l’optimisation globale par intervalles afin d’obtenir une solution ga- rantie. La fonction d’inclusion choisie s’appuie sur les formes de Taylor-Bernstein. Il s’agit des formes de Taylor, pr´esent´ees dans la section 3.1.2.2, dans lesquelles la partie polynomiale est d´evelopp´ee sur la base des polynˆomes de Bernstein. Ce d´eveloppement a pour but d’am´eliorer l’encadrement donn´e par les formes de Taylor [Neumaier 02]. Les auteurs utilisent ensuite leur propre impl´ementation de l’optimisation globale par intervalles, en utilisant l’algorithme pr´esent´e dans la section 3.3, avec les tests utilis´es habituellement (point milieu, monotonie, convexit´e et it´eration de Newton). L’algorithme converge vers le minimum global en 20 minutes environ pour des donn´ees de synth`ese (sur une machine ´equip´ee d’un processeur Pentium III 900 MHz) [Benedetti 03]. En ce qui concerne les images r´eelles, les temps de calcul varient de 30 `a 90 minutes environ. Dans la section 5.6.2.1, nous testons notre algorithme sur une des s´equences utilis´ees dans ces travaux.

Dans [Agrawal 04], Agrawal utilise l’approche directe, fond´ee sur la quadrique absolue duale. La fonction objectif non lin´eaire est adapt´ee de sorte `a pouvoir ˆetre minimis´ee par une m´ethode de (( pro- grammation semi-d´efinie )). Elle est (( surparam´etr´ee )) de sorte qu’elle puisse ˆetre rendue lin´eaire et les

contraintes de rang de la QAD et de semi-d´efinie positivit´e de l’ICAD sont impos´ees pendant la mini- misation grˆace `a la programmation semi-d´efinie. La programmation semi-d´efinie [Vandenberghe 96] est une m´ethode d’optimisation sous contraintes, dans laquelle les contraintes d’in´egalit´e sont remplac´ees par des contraintes de semi-d´efinie positivit´e. Cette m´ethode permet une convergence garantie. Des temps de calcul de quelques secondes pour obtenir la convergence vers le minimum global, `a partir de tests de synth`ese, sont rapport´es.

Dans [Chandraker 07b], Chandraker et Agarwal utilisent le formalisme lin´eaire de l’approche di- recte, c’est-`a-dire qu’ils abandonnent l’´equation non lin´eaire de (5.16) comme dans [Pollefeys 98]. Les contraintes de rang et de semi-d´efinie positivit´e sont transform´ees en contraintes d’´egalit´e et d’in´egalit´e qui sont impos´ees pendant la minimisation. Cette fois-ci, c’est une m´ethode appel´ee (( LMI (Linear Matrix Inequality) relaxations )) [Lasserre 01, Kahl 05] qui est utilis´ee. Cette m´ethode offre la garantie de la convergence. Des contraintes de chiralit´e portant sur le plan `a l’infini peuvent ´egalement ˆetre impos´ees pendant la minimisation.

Enfin, tr`es r´ecemment, dans [Chandraker 07a], Chandraker et al. utilisent sensiblement la mˆeme technique d’optimisation sous contraintes avec cette fois-ci l’approche stratifi´ee. Ils d´eterminent d’abord le plan `a l’infini de mani`ere globale, puis ils estiment les param`etres internes de la cam´era, de mani`ere globale ´egalement.

5.5.2 Notre strat´egie

La fonction objectif f que nous utilisons est la somme des carr´es des r´esidus correspondant aux ´equations (5.16). Quatre inconnues sont consid´er´ees, la distance focale α et les coordonn´ees p1, p2 et

p3 du plan `a l’infini, telles que π∞= (p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,p<sub>3</sub>,1)⊤. La boˆıte initiale est fix´ee `a un large domaine (voir

la section 5.6). Notons que nous pourrions r´eduire cette boˆıte initiale en propageant des contraintes de chiralit´e [Hartley 03, chap. 21]. Ce point est discut´e dans les perspectives.

Comme fonction d’inclusion, nous avons utilis´e l’extension naturelle f de f . Comme pour l’au- tocalibrage plan, nous avons r´ealis´e des ´etudes montrant que le meilleur rapport entre l’´evaluation symbolique et l’´evaluation num´erique de f est un d´eveloppement semi-symbolique de f , au niveau des r´esidus. Les r´esidus sont ainsi d´evelopp´es symboliquement, puis ils sont r´e´ecrits en appliquant des factorisations r´ecursives, comme dans la section 4.4.3 du chapitre 4. Nos tests ont montr´e que les factorisations doivent ˆetre faites prioritairement par rapport `a la distance focale, puis par rapport aux autres inconnues.

`

A titre d’illustration, l’expression factoris´ee du r´esidu α2_ω∗j

33−ω

∗j

22(la cinqui`eme ´equation de (5.16))

est : α2 (α2 (−(Pj32) 2 + p1(−(P j 34) 2 p1+ 2P j 31P j 34) + p2(−(P j 34) 2 p2+ 2P j 32P j 34) − (P j 31) 2 )+ ((Pj22) 2 + p1((P j 24) 2 p1− 2P j 21P j 24) + p2((P j 24) 2 p2− 2P j 22P j 24) + (P j 21) 2 − (Pj33) 2 + p3(−(P j 34) 2 p3+ 2P j 33P j 34))) + (P j 23) 2 + p3((P j 24) 2 p3− 2P j 23P j 24). (5.43)

La totalit´e de cette fonction est donn´ee en annexe.

Afin de montrer le b´en´efice de la r´e´ecriture, la figure 5.9 montre l’´evaluation de deux fonctions d’inclusion de ce r´esidu : l’extension naturelle de la forme matricielle α2ω∗₃₃j_{− ω22}∗j et celle de l’expres- sion (5.43). Dans cette figure, les fonctions d’inclusion sont ´evalu´ees `a partir de boˆıtes qui encadrent exactement le vrai plan `a l’infini et dont les intervalles pour la distance focale ont une largeur de 100 pixels (chaque boˆıte se r´eduit `a un intervalle de largeur 100 et trois intervalles de largeur nulle). Les bornes obtenues `a partir des fonctions d’inclusion factoris´ees sont significativement plus ´etroites que les bornes sans r´e´ecriture. Cet effet est consid´erablement amplifi´e quand nous consid´erons le carr´e des r´esidus et quand les param`etres du plan `a l’infini sont aussi consid´er´es comme variables dans la boˆıte. Notre impl´ementation utilise le paquetage GlobSol, comme au chapitre 4. Nous avons r´ealis´e un logiciel autonome contenant notre impl´ementation, disponible sur Internet [@Bocquillon].

0 500 1000 1500 2000 −5 0 5 10 15 20

distance focale (pixels)

résidu

Fig. 5.9 – Exemple de bornes de deux fonctions d’inclusion d’un r´esidu utilis´e dans la fonction objectif, sans factorisation (boˆıtes vides) et avec factorisations (boˆıtes hachur´ees).

5.6

R´esultats

5.6.1 Donn´ees de synth`ese

Le dispositif exp´erimental est compos´e d’une sc`ene consistant en 100 points distribu´es al´eatoirement dans une sph`ere de rayon unit´e. Les points 3D sont vus dans N images de taille 256 × 256 pixels. Les cam´eras poss`edent une distance focale α constante ´egale `a 1000 pixels et des pixels carr´es, et le point principal est situ´e au centre de l’image. Pour fixer leurs orientations, elles sont plac´ees al´eatoirement `a une distance moyenne de 2.5 ± 0.25 unit´es de l’origine de la sc`ene. Pour fixer une orientation initiale, chaque cam´era observe un point diff´erent localis´e al´eatoirement dans une sph`ere de rayon 0.1 unit´e, centr´ee `a l’origine. Ensuite, des rotations arbitraires d’une amplitude allant jusqu’`a 30 degr´es sont effectu´ees autour de chaque axe du rep`ere cam´era. Un bruit gaussien est ajout´e aux projections 2D des points 3D. Un ajustement de faisceaux projectif est utilis´e pour calculer des (( cam´eras bruit´ees )). Les cam´eras sont normalis´ees de telle sorte que la distance focale soit de l’ordre de l’unit´e.

Nous avons compar´e trois m´ethodes de r´esolution de l’approche fond´ee sur la QAD :

– La m´ethode lin´eaire (Lin), d´ecrite dans [Pollefeys 98] et dans la section 5.2.3.1. Les param`etres `a estimer sont les ´el´ements (au nombre de cinq) de la QAD Q∗

∞. Le syst`eme d’´equations lin´eaires

est r´esolu au sens des moindres carr´es par la technique de la d´ecomposition SVD. Le rang de la QAD est impos´ee apr`es cette ´etape.

– La m´ethode quasi-lin´eaire (QLin), d´ecrite dans [Triggs 97]. Les param`etres sont les ´el´ements de l’ICAD ω∗

(une inconnue) et ceux de la QAD Q∗

∞ (cinq inconnues). Comme pour Lin, le rang

de Q∗

∞ est impos´e a posteriori.

– La m´ethode non lin´eaire garantie (GNLin). Il s’agit de notre approche, d´ecrite dans la section 5.3.

La boˆıte de recherche initiale, que nous choisissons, correspond `a une distance focale comprise entre 100 et 10000 pixels et `a des composantes pi du plan `a l’infini comprises entre −109 et 109. Afin d’´evaluer

num´eriquement la qualit´e des r´esultats, nous mesurons l’erreur moyenne relative sur la distance focale et l’erreur 3D moyenne relative. L’erreur 3D moyenne est la distance moyenne entre les points 3D th´eoriques et les points 3D reconstruits, obtenus `a partir de la rectification euclidienne des points 3D

projectifs et d’un alignement (c’est-`a-dire un recalage entre la reconstruction calcul´ee et les points 3D th´eoriques). Cette erreur est exprim´ee en pourcentage de la taille de la sc`ene. Tous les r´esultats sont des moyennes sur 50 tirages.

Cas g´en´eral. Dans la premi`ere exp´erience, N est fix´e `a 10 images et le niveau de bruit varie de z´ero `a trois pixels. Comme nous l’esp´erions, l’erreur sur la distance focale (figure 5.10.a) et l’erreur 3D (figure 5.10.b) sont plus petites pour GNLin que pour Lin et QLin. Pour toutes les m´ethodes, l’erreur augmente lin´eairement avec le niveau de bruit. Pour des raisons de clart´e, les ´ecarts-types ne sont pas affich´es sur les figures. `A titre d’exemple, les ´ecarts-types de l’erreur sur la distance focale, pour un niveau de bruit de trois pixels, sont ´egaux `a 5% pour Lin, `a 2.5% pour QLin et `a 0.3% pour GNLin.

Dans la seconde exp´erience, le niveau de bruit est fix´e `a un pixel et N varie de quatre `a vingt images. Comme dans l’exp´erience pr´ec´edente, GNLin donne l’erreur la plus petite (figures 5.10.d et 5.10.e). Nous voyons aussi que quelques images (entre cinq et dix) sont suffisantes pour obtenir un r´esultat satisfaisant. Bien que le temps de calcul (figures 5.10.c et 5.10.f) n´ecessaire pour trouver le minimum global soit significativement plus grand que le temps requis par les autres m´ethodes (moins d’une seconde), il reste raisonnable. Il augmente lin´eairement avec le nombre d’images tandis qu’il est peu influenc´e par le niveau du bruit.

Afin de voir ce qui arrive pr`es des singularit´es artificielles mettant en d´efaut Lin et GLin, nous avons test´e les deux mouvements particuliers suivants.

Cam´eras fixant un point. Les cam´eras sont plac´ees comme d´ecrit pr´ec´edemment sauf que tous les centres optiques sont dans un plan. Chaque cam´era fixe un point al´eatoire dans une sph`ere de rayon r centr´ee `a l’origine. La singularit´e intervient pour r = 0. Ce dispositif exp´erimental est repr´esent´e sur la figure 5.11.a. L’erreur 3D est affich´ee sur la figure 5.12.a. Pour plus de lisibilit´e, l’´ecart-type associ´e est affich´e s´epar´ement, sur la figure 5.12.b. Nous observons que l’erreur 3D est importante pour r < 2% de la taille de la sc`ene. Notre algorithme n’est pas affect´e par la singularit´e, trouvant la solution dans tous les cas. Notons que la singularit´e existe mˆeme si les cam´eras ne sont pas dans le mˆeme plan. Nous avons ´egalement test´e ce cas de figure et nous avons obtenu des r´esultats similaires.

Axes optiques confondus. Tous les centres optiques sont align´es mais non confondus. L’origine est situ´ee sur la droite contenant les centres optiques. Toutes les cam´eras fixent l’origine, sauf une dont l’orientation est arbitraire. Il s’ensuit que tous les axes optiques, sauf un, sont confondus. Afin de s’´ecarter de cette singularit´e, les cam´eras fixent un point al´eatoire situ´e dans une sph`ere de rayon r1 centr´ee `a l’origine, et les centres optiques sont situ´es dans une sph`ere de rayon r2 centr´ee `a la

position critique. Lorsque r2 = 0 pour chaque cam´era, alors les centres optiques et l’origine sont

align´es. La figure 5.11.b illustre ce dispositif. Par souci de clart´e, nous ne montrons que les r´esultats pour r1= r2 = r. Les r´esultats pour r1 6= r2 sont similaires. L’erreur relative moyenne sur la distance

focale et l’´ecart-type associ´e sont affich´es sur les figures 5.12.c et 5.12.d. Les erreurs pour Lin et QLin sont assez importantes en dessous de 5% de la taille de la sc`ene. QLin est tr`es instable. GNLin n’est pas affect´ee par la singularit´e.

Ces r´esultats conduisent `a penser qu’il peut ˆetre dangereux d’utiliser des m´ethodes comme Lin ou QLin. Dans la prochaine section, nous examinons une s´equence d’images r´eelles, correspondant au cas (( cam´eras fixant un point )).

Singularit´es g´en´eriques. Nous avons v´erifi´e avec des simulations que les mouvements d´ecrits dans la section 5.4.2.3 ´etaient bien critiques pour le cas d’une distance focale constante.

5.6.2 Donn´ees r´eelles

5.6.2.1 Comparaison avec les r´esultats de Fusiello et al.

Puisque les auteurs de [Fusiello 04] ont propos´e au t´el´echargement les s´equences d’images utilis´ees dans leurs travaux, nous avons test´e notre algorithme sur la s´equence d’images nomm´ee valbonne, qui

0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 bruit (pixels) erreur sur α (%) GNLin Lin QLin 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 bruit (pixels) erreur 3D (%) GNLin Lin QLin 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 20 40 60 80 bruit (pixels) temps de calcul (s) GNLin (a) (b) (c) 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 nombre d’images erreur sur α (%) GNLin Lin QLin 0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 nombre d’images erreur 3D (%) GNLin Lin QLin 0 5 10 15 20 25 0 20 40 60 80 100 nombre d’images temps de calcul (s) GNLin (d) (e) (f)

Fig. 5.10 – Erreur sur la focale (a), erreur 3D (b) et temps de calcul (moyenne et ´ecart-type) (c) pour un niveau de bruit variable et 10 images. (d), (e) et (f ) : mˆemes crit`eres pour un nombre variable d’images et un niveau de bruit ´egal `a un.

est disponible sur Internet [@Valbonne]. Celle-ci est constitu´ee de cinq images de taille 512×768 pixels. Nous avons appari´e manuellement une trentaine de points visibles dans toutes les images. Pour obtenir les cam´eras projectives, nous avons utilis´e la factorisation projective de Sturm-Triggs [Sturm 96], `a l’aide du logiciel fourni par l’auteur [@Triggs], suivie d’un ajustement de faisceaux projectif, `a partir des points appari´es.

La boˆıte initiale reste fix´ee `a [102,104] pixels pour l’intervalle de la distance focale α et `_{a [−10}9,109]3 pour les intervalles des composantes pi, i = 1,...,3, du plan `a l’infini. La m´ethode non lin´eaire garantie,

GNLin, a converg´e vers le minimum global, correspondant `a α = 687 pixels et `_{a p = (0.234, − 0.106, −} 0.208)⊤

. Ces r´esultats sont des arrondis au pixel pr`es pour α et `a 10−3 _{pr`es pour les p}

i. Le minimum

global a tr`es bien ´et´e encadr´e puisque les largeurs des intervalles sont de l’ordre de 10−8_{pour l’intervalle}

αet de l’ordre de 10−₁₁

pour les intervalles pi. Rappelons que nous n’estimons qu’un param`etre interne

de la cam´era, la distance focale α = αu = αv. En revanche, Fusiello et al. estiment les cinq param`etres

internes et obtiennent donc deux distances focales, qui sont αu = 619 pixels et αv = 699 pixels. Les

auteurs comparent ces r´esultats `a d’autres obtenus pr´ec´edemment avec la m´ethode de calibrage 3D de Zhang [Zhang 00], avec laquelle αu= 681 pixels et αv = 679 pixels.

Tout d’abord, notre r´esultat pour la distance focale est coh´erent avec les r´esultats de Fusiello et ceux obtenus avec la m´ethode de Zhang. Notons tout de mˆeme que nous sommes plus proches des distances focales obtenues avec la m´ethode de Zhang. Nous avons fait l’approximation de consid´erer le point principal au centre de l’image et c’est donc normal d’avoir des r´esultats un peu diff´erents pour α. Le point principal estim´e par la m´ethode de Zhang est (u0,v0)⊤ = (259,383)⊤. Il est donc situ´e

`a une distance ´egale `a six pixels environ du centre de l’image, ce qui confirme la validit´e de notre approximation, pour cette s´equence.

L’algorithme de Fusiello et al. a converg´e en 90 minutes, alors que nous avons obtenu le minimum global en 21 secondes. Ceci peut s’expliquer par plusieurs raisons. Premi`erement, les auteurs ont

O r (a) O r1 r2 r2 r2 r2 (b)

Fig. 5.11 – Dispositifs exp´erimentaux dans les exp´eriences de synth`ese (( cam´eras fixant un point )) (a) et (( axes optiques confondus )) (b).

r´ealis´e une impl´ementation personnelle de l’algorithme d’optimisation globale par intervalles, tandis que nous avons utilis´e le paquetage GlobSol, qui a b´en´efici´e de nombreuses utilisations dans divers travaux. Ensuite, les calculs de [Benedetti 03, Fusiello 04] ont ´et´e effectu´es avec une machine ´equip´ee d’un processeur Pentium III 900 MHz, alors que nous avons utilis´e un processeur Core 2 Duo 1.7 GHz. (Remarquons que GlobSol n’a pas ´et´e con¸cu pour profiter des deux cœurs du processeur.) Une autre raison peut ˆetre la diff´erence du nombre d’inconnues, cinq dans la formulation de Fusiello et al. contre quatre dans la nˆotre. Cependant, Fusiello et al. ont r´ealis´e des efforts pour obtenir une fonction d’inclusion cens´ee fournir de meilleurs encadrements que celle que nous avons utilis´ee (une extension naturelle manipul´ee symboliquement). Une perspective de notre travail consisterait `a utiliser la fonction de coˆut de [Fusiello 04] et `a utiliser GlobSol. Mais nous pouvons nous demander si l’approche fond´ee sur les ´equations de Kruppa est un choix judicieux de m´ethode d’autocalibrage 3D, `a cause des mouvements critiques artificiels qu’elle introduit.

Enfin, il peut ˆetre utile de mentionner que la qualit´e de nos r´esultats sur cette s´equence sont tr`es d´ependants de la qualit´e de la reconstruction projective calcul´ee en amont. Ceci implique de disposer d’un nombre suffisant (au moins plusieurs dizaines) de points visibles dans toutes les images. On peut imaginer que la qualit´e (en termes d’erreur de reprojection dans les images par exemple) des donn´ees de [Fusiello 04], c’est-`a-dire les matrices fondamentales pour chaque paire de vues, est meilleure que celle des cam´eras projectives que nous calculons.

0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 rayon de la sphère (%) erreur 3D (%) GNLin Lin QLin 0 1 2 3 4 5 0 50 100 150 rayon de la sphère (%) écart−type de l’erreur 3D (%) GNLin Lin QLin (a) (b) 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 rayon de la sphère (%) erreur sur α (%) GNLin Lin QLin 0 1 2 3 4 5 0 50 100 150 200 rayon de la sphère (%)

écart−type de l’erreur sur

α

(%) GNLin Lin QLin

(c) (d)

Fig. 5.12 – (a) et (b) : erreur 3D et ´ecart-type pour un mouvement proche de la singularit´e (( cam´eras fixant un point )). (c) et (d) : erreur sur la distance focale α et ´ecart-type pour un mouvement proche de la singularit´e (( axes optiques confondus )). Toutes les distances sont exprim´ees en pourcentage de la taille de la sc`ene.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 5.13 – (a) `a (d) : quatre images d’un bˆatiment avec les points d’int´erˆet mis en correspondance. (e) : un exemple de mauvaise reconstruction, obtenue avec Lin. (f ) : une vue de dessus des 63 points 3D reconstruits avec GNLin.

5.6.2.2 Cam´eras fixant un point

Nous avons fait l’acquisition de quatre images, pr´esent´ees sur la figure 5.13, en se d´epla¸cant autour d’un bˆatiment, tel que le mouvement soit proche du mouvement (( cam´eras fixant un point )), critique pour Lin et QLin. Nous avons d´etect´e et appari´e semi-automatiquement 63 points d’int´erˆet r´epartis dans les deux plans dominants de la sc`ene (les murs des bˆatiments). Les cam´eras projectives sont calcul´ees grˆace une factorisation projective, suivie d’un ajustement de faisceaux projectif, comme dans l’´etude pr´ec´edente de la s´equence valbonne. Les m´ethodes Lin et QLin n’ont pas r´eussi `a obtenir une solution exploitable, c’est-`a-dire qu’elles ont donn´e des solutions incoh´erentes. GNLin a converg´e en 17 secondes sur un ordinateur Core Duo 1.7 GHz et a trouv´e une solution correspondant `a une distance focale ´egale `a 3604 pixels et `_{a des param`etres du plan `a l’infini p = (0.397, − 0.498, − 2.283)}⊤

. `

A partir de cette distance focale et du plan `a l’infini calcul´e, une rectification euclidienne a ´et´e effectu´ee sur les points 3D obtenus `a partir de la reconstruction projective. La figure 5.13.e montre une vue de dessus du nuage de points 3D. Le rapport entre les longueurs des deux murs a ´et´e ´evalu´e `a 1.36 `

a partir de mesures r´eelles, tandis que notre reconstruction donne un rapport ´egal `a 1.35. De plus, l’angle entre les deux plans reconstruits vaut 91.7 degr´es. Nous avons essay´e d’ajouter d’autres images