Dans le probl`eme du calibrage plan, les donn´ees sont compos´ees d’une sc`ene constitu´ee d’un plan supportant un motif de g´eom´etrie connue (de forme et de dimensions connues) et de plusieurs images de ce motif. Le but est de calibrer la cam´era, c’est-`a-dire de calculer ses param`etres internes. Le
π π∞ l∞ Ω∞ I+ I− Sc`ene Image 1 l1 ω1 Image N lN xN + ωN xN − x1 + x1 − H1 π HNπ
Fig. 4.1 – G´eom´etrie du calibrage plan.
sch´ema sur la figure 4.1 exprime la g´eom´etrie du calibrage plan. On y retrouve diverses primitives g´eom´etriques pr´esent´ees dans le chapitre 2. Nous rappelons bri`evement ces primitives. La sc`ene est constitu´ee d’un plan π, qui coupe le plan `a l’infini π∞ en la droite `a l’infini l∞. Le plan `a l’infini π∞
contient la conique absolue (CA) Ω∞, dont l’intersection avec l∞ est constitu´ee de deux points, les
points cycliques (PC) I±. Ces entit´es se projettent dans chaque image num´ero j, j = 1,..,N . Dans
l’image j, nous avons ainsi l’image de la conique absolue (ICA), ωj, l’image de la droite `a l’infini,
appel´ee la ligne de fuite du plan π, lj, et les images des points cycliques (IPC), xj±. Les IPC sont
des points complexes conjugu´es que nous notons xj±= x j
1± ix
j
2 dans la vue j. La CA Ω∞ est le lieu
de tous les PC relatifs `a tous les plans 3D. De la mˆeme mani`ere, l’ICA ω est le lieu de toutes les IPC associ´ees `a tous les plans 3D. Notons que les PC associ´es au plan π sont aussi d´efinis comme les intersections communes de tous les cercles de π et de la CA Ω∞. De mˆeme, les IPC peuvent ˆetre
d´efinies comme les intersections communes de toutes les images des cercles de π, y compris l’ICA ω. Il existe une homographie du plan de la sc`ene vers le plan image, que nous appelons homographie (( sc`ene-vers-image )). L’homographie sc`ene-vers-image relative `a la vue j est not´ee Hjπ.
Nous rappelons que la droite `a l’infini l∞du plan π et les PC I± incarnent la structure affine et la
structure euclidienne du plan π, respectivement. Puisque le plan de la sc`ene et le plan de l’image sont reli´es par une homographie, d’une part, la structure affine du plan de la sc`ene est ´egalement donn´ee,
Kj Homographies sc`ene-vers-image Hj π Espace : Projectif Affine Euclidien Image Sc`ene Param`etres internes Param`etres externes Solution : Lin´eaire Directe Directe, ambigu¨e Non lin´eaire Objet(s) g´eom´etrique(s) calcul´e(s) Application
Relation entre application et objet(s) g´eom´etrique(s) calcul´e(s)
ωj
ou ω∗j
Calibrage plan Motif connu
Correspondances entre des primitives du motif et de ses images
IPC xj
±
Correspondances de primitives entre les
vues Homographies inter-vues Hj Autocalibrage plan N vues d’une surface plane Hypoth`eses sur Kj
Fig. 4.2 – Principe du calibrage plan et de l’autocalibrage plan.
par invariance projective, par la ligne de fuite l du plan et, d’autre part, la structure euclidienne de π est aussi donn´ee par les IPC x±. Ceci veut dire que si nous pouvons calculer l dans une image,
alors nous pouvons effectuer une rectification affine de cette image et recouvrer les propri´et´es affines du plan (ou de son image) comme le parall´elisme. De mˆeme, en calculant x±, nous pouvons obtenir
une rectification euclidienne de l’image et recouvrer les propri´et´es euclidiennes que sont par exemple les angles ou les rapports de longueurs.
Le principe du calibrage plan est le suivant : `a partir du motif connu sur le plan de la sc`ene et `a partir des projections de ce motif dans les images, il est possible de calculer les IPC de ce plan, dans
chaque image. Dans chacune de ces images, les deux IPC doivent appartenir `a l’ICA, ce qui nous fournit deux ´equations par image. Un nombre suffisant d’´equations permet ainsi de calculer les ICA ωj, puis les matrices de calibrage Kj, grˆace `a la d´ecomposition de Cholesky
ωj ∼ (Kj)−⊤(Kj)−1. (4.1)
Le probl`eme se d´ecompose donc en deux ´etapes distinctes : 1. calcul de la structure euclidienne du plan (calcul des IPC) ; 2. estimation des ICA.
Notons que c’est cette d´ecomposition en deux sous-probl`emes qui rend la r´esolution du probl`eme du calibrage plan plus (( facile )) que celle du probl`eme de l’autocalibrage plan, comme nous le verrons dans la prochaine section. De tr`es nombreuses m´ethodes de calibrage plan ont ´et´e propos´ees. Le but recherch´e au travers de ces m´ethodes est `a la fois la facilit´e d’utilisation de la m´ethode en pratique et la pr´ecision des r´esultats (des param`etres internes de la cam´era). Le principe du calibrage plan est sch´ematis´e sur la figure 4.2. La lecture de ce sch´ema est identique `a celle des sch´emas similaires rencontr´es au chapitre 2. Nous d´etaillons maintenant succinctement les deux ´etapes ´evoqu´ees ci-dessus.
Calcul de la structure euclidienne. Les diff´erentes m´ethodes de calibrage plan se distinguent ici par le motif utilis´e. En effet, selon la nature de ce motif, les contraintes exprim´ees par la correspondance entre le motif et ses projections dans les images sont diff´erentes. Par cons´equent, le calcul de la structure euclidienne l’est aussi. Certains motifs se d´etectent plus facilement que d’autres dans les images. D’autres motifs apportent des contraintes plus efficaces en termes de calcul des IPC.
(a) (b)
Fig. 4.3 – Deux exemples de mires de calibrage 2D : (a) mire utilis´ee par Zhang [Zhang 00] ; (b) mire utilis´ee par Meng et al. [Meng 03] .
Pour illustrer cette partie, consid´erons la m´ethode employ´ee par Zhang [Zhang 00]. Ce dernier utilise comme motif des rectangles noirs sur un fond blanc, comme celui repr´esent´e sur la figure 4.3.a. Pour utiliser cette m´ethode, il suffit d’imprimer le motif, de le coller sur un support plan et de prendre quelques photos. Ensuite, le calcul de la structure euclidienne n´ecessite les ´etapes suivantes :
1. d´etection dans les images des coins des carr´es du damier ;
2. mise en correspondance des coins d´etect´es avec les coins (connus) du damier ; 3. estimation des homographies sc`ene-vers-image Hjπ;
4. estimation des IPC xj± dans chaque image j.
Pla¸cons-nous dans une vue quelconque, que nous notons sans indice afin d’all´eger les notations. Dans cette vue, l’homographie sc`ene-vers-image Hπ peut s’´ecrire Hπ = (h1 | h2 | h3), o`u h1, h2 et h3 sont
cette homographie, par l’expression
x±= h1± ih2. (4.2)
Selon le motif utilis´e, les IPC peuvent aussi ˆetre calcul´ees sans estimer les homographies sc`ene-vers- image. Dans [Meng 03], les auteurs utilisent le motif reproduit sur la figure 4.3.b. Celui-ci permet d’estimer dans un premier temps la ligne de fuite du plan, puis les IPC, dans un second temps, in- tersection de la ligne de fuite et de l’ellipse d´etect´ee. Les IPC peuvent ´egalement ˆetre estim´ees `a partir de cercles coplanaires [Gurdjos 06b], d’ellipses homofocales [Gurdjos 06a] ou de cercles concen- triques [Kim 05], pour ne citer que ces exemples. Toutes ces techniques font en g´en´eral intervenir des m´ethodes de r´esolution qui sont lin´eaires ou des r´esolutions directes `a partir du nombre minimum de donn´ees.
Estimation de l’ICA. Les contraintes permettant d’estimer l’ICA proviennent de l’appartenance des IPC `a l’ICA dans chaque image. Plus formellement, dans la vue j, nous avons
xj⊤± ωjx j
±= 0, (4.3)
et donc, en utilisant la relation (4.2),
h⊤
1ωh2= 0 et
h⊤
1ωh1− h⊤2ωh2= 0. (4.4)
Cette ´etape revient donc `a d´eterminer la meilleure conique passant par un ensemble de points, les IPC1. Le syst`eme d’´equations est lin´eaire et il est souvent r´esolu en utilisant la m´ethode NDLT (Normalized Direct Linear Transform) [Hartley 03, Chapitre 4]. Le nombre de contraintes n´ecessaires pour calculer une solution d´epend du nombre d’inconnues et donc des hypoth`eses faites sur les param`etres internes. Il est pratique de supposer les param`etres internes inconnus mais constants. Ainsi, Kj ∼ K et ωj ∼ ω.
Il y a donc cinq param`etres `a estimer et, puisque chaque image apporte deux ´equations, une solution peut ˆetre obtenue `a partir de deux vues et demi en th´eorie, donc `a partir de trois vues.
Nous avons vu que le probl`eme du calibrage plan peut se r´esoudre en utilisant des m´ethodes lin´eaires. Bien sˆur, des m´ethodes non lin´eaires peuvent dans un second temps ˆetre utilis´ees pour affiner les solutions.
Le calibrage plan poss`ede des mouvements critiques de cam´era, c’est-`a-dire des configurations de la cam´era pour lesquelles le probl`eme n’a pas de solution unique. Ces configurations critiques sont bien connues. Elles d´ependent de la m´ethode employ´ee. Le lecteur peut par exemple consulter [Zhang 00] ou [Sturm 99b] pour plus de d´etails.
Pour terminer cette section, mentionnons l’existence de logiciels de calibrage plan, pratiques d’uti- lisation, comme [@Bouguet], [@Tsai] ou [@J. Heikkil¨a].