Appliquer l’analyse d’intervalle ` a un probl`eme concret

Nous avons vu que d´evelopper un code en intervalles n’est pas ´evident. Au contraire, utiliser un logiciel existant est relativement facile. Consid´erons le probl`eme de l’optimisation globale par inter- valles. Autant il est ais´e de minimiser une fonction `a deux variables, comme la fonction de Rastrigin, autant il est bien plus compliqu´e de minimiser une fonction dont l’expression est complexe et qui fait intervenir un plus grand nombre de variables. Utiliser simplement l’extension naturelle de la fonction et de ses d´eriv´ees risque de ne pas suffire. Il faut alors ˆetre m´ethodique et suivre une strat´egie en utilisant au maximum les possibilit´es offertes par les logiciels disponibles. La figure 3.12 montre une strat´egie possible pour l’optimisation globale par intervalles.

3.6

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons tent´e de familiariser le lecteur avec l’analyse d’intervalle. Nous avons vu que l’analyse d’intervalle est un outil qui permet, d’une part, de faire des calculs tout en bornant l’erreur sur ces calculs. D’autre part, la capacit´e de cet outil `a encadrer des fonctions permet de r´ealiser de l’optimisation globale garantie. L’inconv´enient majeur de l’analyse d’intervalle se situe au niveau des temps de calcul. C’est pourquoi son utilisation requiert de la r´eflexion et un peu d’exp´erience afin d’adapter au mieux le probl`eme trait´e. N´eanmoins, puisque les performances des ordinateurs croissent

et qu’il est souvent possible de r´epartir les calculs sur plusieurs machines, l’analyse d’intervalle devrait ˆetre de plus en plus consid´er´ee, au moins `a titre d’essai.

Cependant, l’analyse d’intervalle n’est pas un outil universel. On ne peut pas remplacer les r´eels par des intervalles partout. L’exemple des branchements conditionnels dans un programme suffit `a s’en convaincre.

La fonction peut-elle s’´ecrire analytiquement?

Utiliser une boˆıte noire comme fonction d’inclusion dans ALIAS

Utiliser des boˆıtes noires pour les d´eriv´ees (si disponibles) Deux possibilit´es

Faire varier le param`etre du crit`ere d’arrˆet (param`etre principal)

Faire varier d’autres param`etres comme le nombre maximum d’it´erations ou le temps de calcul maximum

Que donne le r´esultat? Non Oui

Utiliser ALIAS Utiliser GlobSol

Donner l’extension naturelle de la fonction `a GlobSol

La diff´erentiation automatique de GlobSolcalcule les d´eriv´ees mais son impl´ementation n’est pas efficace pour des fonctions dont l’expression symbolique est complexe Donner l’extension naturelle de la

fonction `a ALIAS

Donner les extensions naturelles des d´eriv´ees premi`eres et secondes `a ALIAS

Le code source de la fonction et des d´eriv´ees peut ´eventuellement ˆetre g´en´er´ee avec ALIAS-Maple

Pas de minimum global trouv´e

R´eduire le domaine initial

Simplifier le probl`eme (r´eduire le nombre de variables par exemple)

Am´eliorer l’encadrement de la fonction :

R´e´ecrire l’extension naturelle pour diminuer les r´ep´etitions de variables (utiliser Maple) ; par exemple, factoriser un polynˆome avec le sch´ema de Horner

´

Etudier le comportement de la fonction d’inclusion en fonction de la taille de la boˆıte en entr´ee ; faire des graphiques avec INTLAB

Changer de fonction d’inclusion : utiliser une forme de Taylor (d’ordre 2 par exemple) ou autre ; utiliser Maple pour calculer les formes de

Taylor

Utiliser des tests suppl´ementaires d’´elimination de boˆıtes :

Consistance d’enveloppe (tester symboliquement avec ALIAS-Maple)

Tests sp´ecifiques au probl`eme

La minimisation ne se termine pas ou est trop longue

Chapitre 4

Autocalibrage plan

Dans ce chapitre, nous ´etudions le probl`eme de l’autocalibrage plan. Apr`es avoir introduit la probl´ematique, nous pr´esentons la g´eom´etrie du calibrage plan, probl`eme ´etroitement li´e `a celui qui nous concerne. Puis, nous ´etudions les fondements g´eom´etriques de l’autocalibrage plan et nous pr´esentons notre premi`ere contribution : un param´etrage minimal du probl`eme. Notre seconde contri- bution est de donner une (( solution garantie )) `a ce probl`eme, en le formulant de telle fa¸con qu’on puisse utiliser l’optimisation globale par intervalles pr´esent´ee au chapitre pr´ec´edent. Des r´esultats exp´erimentaux sont enfin pr´esent´es.

4.1

Introduction

Comme nous l’avons vu dans le chapitre 2, le calibrage d’une cam´era consiste `a d´eterminer ses param`etres internes. Le calibrage s’effectue avec un objet dont la g´eom´etrie est connue, souvent appel´e (( mire de calibrage )). La mire peut ˆetre tridimensionnelle (calibrage 3D) ou plane, c’est-`a- dire en 2D (calibrage plan). Ces derni`eres ann´ees, en vision par ordinateur, sont apparues de nom- breuses m´ethodes de calibrage dites (( flexibles )), c’est-`a-dire facile d’utilisation [Zhang 00, Meng 03, Kim 05, Gurdjos 06b, Gurdjos 06a]. Ces derni`eres restent n´eanmoins tr`es pr´ecises comme il est montr´e dans [Lavest 98]. Une pratique courante, pour calibrer une cam´era, est d’imprimer un motif pr´ed´efini, de le poser sur un support plan et de prendre quelques vues de ce motif avec la cam´era. Enfin, un logiciel traite les images acquises et d´etermine les param`etres internes de la cam´era. Les m´ethodes d’autocalibrage font un pas de plus dans la flexibilit´e. En effet, il est possible de calibrer la cam´era sans mire de calibrage, `a partir des images et de quelques hypoth`eses sur les param`etres internes de la cam´era.

Rappelons que la connaissance de la structure affine de la sc`ene observ´ee est la connaissance d’un rep`ere permettant l’existence du parall´elisme dans cette sc`ene et que la connaissance de la structure euclidienne est la connaissance d’un rep`ere permettant de mesurer des angles et des longueurs. La principale diff´erence entre le calibrage plan et l’autocalibrage plan est la suivante :

– calibrage plan : la structure euclidienne du plan de la sc`ene est connue ou accessible (elle se calcule souvent `a partir de la mire de calibrage) ;

– autocalibrage plan : la structure euclidienne du plan est inconnue ; les connaissances utilis´ees sont des correspondances de points entre les images.

Dans les probl`emes de calibrage, plan ou 3D, la structure euclidienne, du plan ou de la sc`ene, est estim´ee dans un premier temps. Elle est directement accessible `a partir des contraintes fournies par la mire et par ses projections dans les images. Dans un second temps, les param`etres internes de la cam´era sont d´etermin´es. Cette derni`ere tˆache est possible car les ´equations de calibrage ne d´ependent

que de la structure euclidienne de la mire.

Dans les m´ethodes d’autocalibrage, en revanche, la structure euclidienne est suppos´ee inconnue et dans le cas g´en´eral, aucune connaissance a priori sur la sc`ene n’est disponible, si ce n’est qu’elle est statique. Il s’agit donc de calculer les param`etres internes de la cam´era `a partir d’une s´equence d’images observant une sc`ene 3D (autocalibrage 3D) ou une sc`ene plane (autocalibrage plan). En 3D, selon la m´ethode utilis´ee, la structure euclidienne est estim´ee en mˆeme temps ou s´epar´ement des param`etres internes (voir le chapitre 5). En 2D, la d´etermination de la structure euclidienne ne peut pas ˆetre dissoci´ee du calcul des param`etres internes. Ce fait rend la r´esolution de l’autocalibrage plan plus complexe que celle de l’autocalibrage 3D. D’un autre cˆot´e, l’autocalibrage plan poss`ede des avantages, d´ecrits plus bas.

Le principe de l’autocalibrage est d’utiliser des (( entit´es absolues )) comme cibles virtuelles, contraintes g´eom´etriquement par des informations a priori ´eventuelles sur les param`etres internes ou externes de la cam´era. Ces cibles sont des entit´es imaginaires (sans r´ealit´e physique), localis´ees `a l’infini, qui d´ecrivent la structure euclidienne de l’espace plan ou 3D consid´er´e. Elles ont la propri´et´e caract´eristique d’ˆetre invariantes par les similitudes de cet espace [Hartley 03, Semple 98]. En 3D, la cible est la conique absolue. Celle-ci poss`ede une propri´et´e int´eressante : son image ne d´epend pas du mouvement de la cam´era, mais seulement de ses param`etres internes. C’est le point de d´epart de nombreuses m´ethodes d’autocalibrage 3D (voir le chapitre 5). En 2D, la cible d’autocalibrage est constitu´ee des points cycliques (aussi appel´es points absolus).

Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a l’autocalibrage plan, dont les donn´ees sont les homo- graphies inter-vues et dont les inconnues sont les param`etres internes de la cam´era et la structure euclidienne du plan, incarn´ee par les images des points cycliques, relatifs `a ce plan. Parmi les avan- tages et les inconv´enients d’autocalibrer avec un plan, nous pouvons dire que :

+ L’autocalibrage plan est tr`es flexible. Les plans sont tr`es pr´esents autour de nous, surtout dans les environnements fabriqu´es par l’homme. Il suffit de trouver un plan suffisamment textur´e (pour la mise en correspondance de primitives) et de prendre quelques vues de ce plan avec la cam´era. De plus, certaines sc`enes peuvent ˆetre assimil´ees `a des sc`enes planes. C’est le cas par exemple d’un sol observ´e de suffisamment haut pour n´egliger le relief.

+ La mise en correspondance est facilit´ee par le fait qu’une sc`ene plane ne pr´esente pas d’occulta- tion.

+ L’estimation des homographies inter-vues, qui constituent nos donn´ees, est un probl`eme bien connu et qui ne pr´esente pas de difficult´e particuli`ere, une fois la mise en correspondance de primitives g´eom´etriques effectu´ee.

– La mise en ´equation de l’autocalibrage plan conduit `a un syst`eme non lin´eaire d’´equations `a r´esoudre, contrairement au calibrage plan ou 3D et contrairement `a l’autocalibrage 3D sous certaines conditions, o`u des solutions lin´eaires ou directes existent.

– L’autocalibrage plan permet de d´eterminer les param`etres internes de la cam´era ainsi que la structure euclidienne du plan. Or, si nous voulons calibrer la cam´era dans le but d’effectuer une reconstruction euclidienne d’une sc`ene 3D, nous avons besoin de la structure euclidienne de cette sc`ene (et notamment de la localisation du plan `a l’infini) et pas seulement celle du plan consid´er´e. Dans ce cas, il vaut mieux se tourner vers une m´ethode d’autocalibrage 3D. Cela dit, une fois les param`etres internes de la cam´era estim´es, le calcul de la structure euclidienne d’une sc`ene 3D est moins complexe (voir le chapitre 5).

Puisque la g´eom´etrie de l’autocalibrage plan d´ecoule de celle du calibrage plan, nous commen¸cons par donner quelques ´el´ements de calibrage plan.