teur
Comme le souligne Mills et al. dans [Mills 98], l’analyse d’intervalle a suscit´e peu d’int´erˆet dans la communaut´e de la vision par ordinateur. C’est pourtant un outil qui paraˆıt int´eressant, notamment pour l’optimisation globale. L’analyse d’intervalle a sans doute une mauvaise r´eputation, peut-ˆetre due au faible nombre de variables qu’elle peut traiter simultan´ement en optimisation ou encore aux temps de calcul cons´equents dans ces applications. Les applications de l’analyse d’intervalle en vision par ordinateur, que nous connaissons, portent sur :
– le calibrage et la triangulation. L’analyse d’intervalle est alors utilis´ee pour r´esoudre des syst`emes lin´eaires comme nous l’avons vu dans la section 3.1.4 ;
– l’autocalibrage plan et 3D. Les fonctions de coˆut de ces probl`emes sont minimis´ees de mani`ere garantie grˆace `a l’optimisation globale par intervalles, pr´esent´ee dans la section 3.2.
3.4.1 Calibrage et triangulation
Dans [Farenzena 04] et [Fusiello 05], Farenzena et al. s’int´eressent au calibrage et `a la triangulation. Leur but est de calculer des bornes garanties sur les matrices de projection de la cam´era et ensuite sur les points 3D reconstruits. Pour cela, les coordonn´ees x = (x,y) d’un pixel d’une image acquise sont vues comme des variables inconnues mais born´ees. Chaque coordonn´ee r´eelle est ainsi remplac´ee par un intervalle. Cela revient ´egalement `a dire que l’erreur de mesure d’un point dans l’image est born´ee. Il faut ensuite propager cette erreur dans les syst`emes lin´eaires form´es pour chaque probl`eme. Dans le cas du calibrage, il faut r´esoudre le syst`eme lin´eaire xi= PXi, o`u xi sont les points mesur´es dans les
images et born´es par des intervalles, Xi sont les points 3D, r´eels et connus, de la mire de calibrage et
enfin P est la matrice de projection, dont les ´el´ements cherch´es sont des intervalles. Le syst`eme peut se mettre sous la forme AX = b. Nous avons abord´e la r´esolution de tels syst`emes dans la section 3.1.4. Pour r´esoudre ce syst`eme, les auteurs utilisent deux m´ethodes diff´erentes, que nous ne d´ecrirons pas ici : l’op´erateur de Krawcyzk et la m´ethode de Shary. Ils montrent que la m´ethode de Shary est la plus efficace, c’est-`a-dire qu’elle surestime moins l’erreur pendant la propagation de celle-ci. Pour illustrer ceci, nous avons reproduit sur la figure 3.11.a la reprojection des points 3D avec la matrice de projection P calcul´ee avec chaque m´ethode. Les points reprojet´es sont des intervalles, donc des rectangles dans l’image. Ces derniers sont plus petits pour la m´ethode de Shary, montrant ainsi sa sup´eriorit´e. Notons que le syst`eme xi = PXi est surd´etermin´e. Or, nous avons vu dans la section
3.1.4 que le syst`eme lin´eaire AX = b devait ˆetre carr´e. Habituellement, un tel syst`eme surd´etermin´e est r´esolu en cherchant la meilleure solution au sens des moindres carr´es, en utilisant par exemple la
d´ecomposition en valeurs singuli`eres ou la matrice pseudo-inverse. Ces derni`eres m´ethodes n’ont pas d’´equivalent en intervalles. Pour trouver alors cette solution et rendre le syst`eme carr´e, les auteurs cherchent la solution du syst`eme augment´e [Farenzena 04]
A I 0 A⊤ X Y = b 0 . (3.34) 0 5 10 15 0 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 0 5 10 15 0 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 (a) (b)
Fig. 3.11 – (a) Reprojection dans une image des points 3D de la mire de calibrage, pour la m´ethode de Krawcyzk (`a gauche) et la m´ethode de Shary (`a droite). (b) Boˆıtes correspondant aux points 3D reconstruits `a partir de la triangulation et pour les deux mˆemes m´ethodes.
La proc´edure et les r´esultats sont similaires pour la triangulation `a partir de deux vues. Les points 3D obtenus `a l’issue de la triangulation sont des parall´el´epip`edes que nous avons reproduits sur la figure 3.11.b. Notons que dans ces travaux, les auteurs ne discutent pas du comportement de l’algorithme en pr´esence de points aberrants.
Ces travaux sont repris et am´elior´es par les mˆemes auteurs dans [Farenzena 06]. Le param´etrage des inconnues utilis´e pour la triangulation `a deux vues est maintenant un param´etrage utilisant la contrainte ´epipolaire. De plus, la triangulation est ´etendue `a n vues. Pour r´ealiser cela, la triangulation est appliqu´ee `a chaque paire de vues, donnant pour chaque paire de points un poly`edre englob´e par un parall´el´epip`ede (l’enveloppe convexe). Ensuite, l’intersection de ces parall´el´epip`edes est effectu´ee pour calculer le r´esultat de la triangulation `a n vues, `a son tour encadr´e par un parall´el´epip`ede. Le cas des points aberrants est ´egalement ´evoqu´e. Ils peuvent ˆetre d´etect´es lorsque l’intersection des poly`edres est vide. Les auteurs ajoutent une autre contribution : ils utilisent des contraintes telles que la coplanarit´e de points, l’orthogonalit´e de segments et le parall´elisme de segments afin de r´eduire le volume des parall´el´epip`edes solutions. Ces contraintes sont propag´ees dans les intervalles grˆace `a la technique de propagation de contraintes. L’id´ee est d’´eliminer les parties des parall´el´epip`edes qui violent les contraintes ´enonc´ees. Les auteurs montrent que les tailles des boˆıtes solutions sont ainsi r´eduites d’un facteur 2 `a 7.
Telle et al. ont r´ealis´e des travaux similaires `a ceux cit´es pr´ec´edemment. Dans [Telle 03c] et [Telle 03b], ils ont ´egalement ´etudi´e le calibrage et la triangulation `a deux vues. Ils remplacent de la mˆeme mani`ere les coordonn´ees des pixels par des intervalles et propagent cette erreur born´ee dans les syst`emes lin´eaires. Pour r´esoudre ces syst`emes, les auteurs utilisent deux m´ethodes : la premi`ere est l’op´erateur de Krawcyzk, ´egalement utilis´ee par Farenzena et al. ; la seconde m´ethode est originale. Cette derni`ere consiste `a reformuler le syst`eme xi = PXi en un syst`eme lin´eaire homog`ene AX = 0.
Un tel syst`eme ne peut pas ˆetre r´esolu directement en intervalles. En effet, la r´esolution ne donne que la solution triviale [0,0]. Les auteurs ont alors d´evelopp´e une m´ethode de r´esolution pour ce syst`eme. Les
deux m´ethodes sont compar´ees et il apparaˆıt que la r´esolution du syst`eme lin´eaire homog`ene donne de meilleurs r´esultats, en termes de (( taille des points )) reprojet´es dans les images. Ces travaux sont plus d´etaill´es dans [Telle 04] et am´elior´es dans [Telle 05]. Les auteurs remarquent en effet que les points 3D sont born´es par des boˆıtes, r´esultats de l’effet enveloppant de l’analyse d’intervalle, et que cette repr´esentation n’est peut ˆetre pas la meilleure. L’id´ee g´en´erale des am´eliorations consiste `a (( paver )) les boˆıtes 3D, c’est-`a-dire `a les d´ecouper it´erativement en ´el´ements ´egaux plus petits, des (( octrees )). Chaque octree est reprojet´e dans l’image en un intervalle. Si cet intervalle a une intersection vide avec le point image mesur´e, alors il est ´elimin´e. En d’autres termes, si on consid`ere une boˆıte 3D Xi,
solution du syst`eme PXi = xi, la boˆıte Xi est divis´ee en 8 octrees, Xji, j = 1,...,8, et pour chaque
octree Xji, si PXji ∩ xi = ∅, alors Xji est ´elimin´e. L’algorithme s’arrˆete lorsqu’une pr´ecision d’octree
d´esir´ee est atteinte. Le r´esultat est alors une union d’octrees, peu manipulable en pratique. Plutˆot que de borner cette union par une boˆıte, les auteurs montrent qu’il est plus efficace, en termes de volume d’encadrement, de borner cette union par un ellipso¨ıde. Une partie de ces travaux est d´etaill´ee dans le m´emoire de th`ese de Telle [Telle 03a].
3.4.2 Autocalibrage plan et autocalibrage 3D
L’optimisation globale par intervalles a ´et´e utilis´ee pour minimiser des fonctions de coˆut dans des travaux portant sur l’autocalibrage, que nous avons publi´es en 2006 [Bocquillon 06a, Bocquillon 06b] pour l’autocalibrage plan, et en 2007 pour l’autocalibrage 3D [Bocquillon 07b, Bocquillon 07a]. Des travaux concernant l’autocalibrage 3D ont ´egalement ´et´e publi´es par Fusiello et al. en 2003 et 2004 [Benedetti 03, Fusiello 04]. Ces travaux seront largement d´etaill´es dans le chapitre 4 pour l’au- tocalibrage plan et dans le chapitre 5 pour l’autocalibrage 3D.