Position du probl`eme

Le probl`eme de l’autocalibrage plan peut ˆetre formul´e, en termes g´en´eraux, comme suit : ´

Etant donn´ee une s´equence de plusieurs vues prises par une cam´era observant une surface plane, calculer les param`etres internes de la cam´era.

Puisque ce probl`eme ne peut ˆetre dissoci´e de celui de calculer la structure euclidienne du plan, nous pouvons associer l’autocalibrage plan au calcul des param`etres internes ainsi qu’`a celui de la structure euclidienne du plan.

La figure 4.4 expose les primitives g´eom´etriques intervenant dans le probl`eme ´etudi´e. Nous retrou- vons les primitives du calibrage plan, pr´esent´ees dans la section pr´ec´edente. En plus, nous notons Hj

les homographies inter-vues, relatives `a une vue de r´ef´erence choisie arbitrairement dans une s´equence de N vues et que nous appelons (( vue-clef )) ou (( image-clef )). Ainsi, l’homographie HN _{est l’homo-}

graphie de la vue-clef (par convention la vue num´ero 1) vers la vue num´ero N . Par souci de clart´e, nous ne pr´ecisons pas les indices des primitives g´eom´etriques de la vue-clef. Dans le probl`eme de l’au- tocalibrage plan, les homographies inter-vues Hj _{sont g´en´eralement consid´er´ees comme des donn´ees}

g´eom´etriques connues. Nous supposons donc que nous disposons de ces homographies. Leur calcul s’ef- fectue habituellement `a partir de correspondances de points d’int´erˆet, d´etect´es dans les images, et il ne pose pas de probl`eme particulier. Comme nous le verrons, l’autocalibrage plan n’est possible qu’en faisant des hypoth`eses sur les param`etres internes car sinon le probl`eme est sous-d´etermin´e. Aussi, `a partir de maintenant, nous consid´erons que les param`etres internes de la cam´era sont constants. Ces hypoth`eses constituent le cadre de travail de [Triggs 98]. En termes de g´eom´etrie de plusieurs vues, la formulation du probl`eme devient :

´

Etant donn´ees les homographies inter-vues Hj_{, d´eterminer la matrice K et les images des}

points cycliques x±.

Notons qu’une fois la structure euclidienne d´etermin´ee dans une des vues, la structure euclidienne dans les autres vues s’obtient directement en transf´erant les IPC de cette vue dans les autres vues, grˆace aux homographies inter-vues.

Dans l’espace 2D, les cibles d’autocalibrage sont les points cycliques. Depuis les travaux de Triggs [Triggs 98], nous savons que l’autocalibrage 2D est possible, en utilisant la contrainte imposant que les IPC appartiennent `a l’ICA. Cette contrainte ne n´ecessite que la connaissance des homographies inter-vues induites par π. Puisqu’aucune autre invariance (g´en´erale) des IPC ne peut ˆetre exprim´ee, peu de m´ethodes d’autocalibrage 2D ont vu le jour [Triggs 98, Malis 00, Gurdjos 03, Menudet 05, Menudet 08], except´e pour des mouvements particuliers de cam´era [Knight 03, Jiang 04]. De plus, contrairement `a l’autocalibrage 3D, mˆeme avec un mod`ele simplifi´e de la cam´era, il n’existe pas de solution directe ou lin´eaire. Un tel probl`eme, consistant `a d´eterminer simultan´ement les PC et la CA (ou les IPC et l’ICA), est non lin´eaire par essence. Comme pr´ecis´e dans [Triggs 98], le param´etrage du probl`eme n´ecessite la prise en compte de quatre degr´es de libert´e pour les IPC plus cinq degr´es de libert´e pour l’ICA. Une solution peut ˆetre obtenue par optimisation locale, `a partir d’au moins cinq vues. L’initialisation des param`etres et en particulier de la distance focale, a un impact important sur la solution.

Notre id´ee initiale est de chercher un param´etrage minimal du probl`eme afin de r´eduire le nombre de param`etres `a estimer. L’int´erˆet est de pouvoir calculer une solution garantie au probl`eme de l’au- tocalibrage plan, en utilisant l’analyse d’intervalle. Nous pouvons r´eduire ce nombre de param`etres en utilisant le fait que, puisque les PC appartiennent `a la CA (et donc que les IPC appartiennent `a l’ICA), il y a une redondance dans le param´etrage du probl`eme. L’interd´ependance des param`etres dans la formulation de Triggs est une contrainte th´eorique du mod`ele. Nous pensons qu’il n’y a pas de raison qu’elle ne soit pas exactement satisfaite. En fait, Triggs a trait´e cette contrainte comme une ´equation quelconque, ce qui ne se justifie pas vraiment, comme nous le verrons plus tard. Ceci ´etant dit, notre contribution est de proposer un nouveau param´etrage minimal du probl`eme de l’autocalibrage 2D, en introduisant comme cible d’autocalibrage la (( conique duale aux points cycliques )) (CDPC), c’est-`a-dire, l’ensemble des droites isotropes2 de π, dont l’enveloppe co¨ıncide avec les PC. Dans la

section 4.3.3, nous proposons une d´ecomposition de cette matrice, fond´ee sur le fait que les PC consti- tuent l’intersection de la droite `a l’infini et de la CA. Nous montrons donc que les seules inconnues du probl`eme sont les param`etres de la structure affine du plan (donn´ee par la ligne de fuite du plan) et les param`etres internes de la cam´era. Ceci conduit a une formulation avec sept inconnues/degr´es de libert´e au lieu des neuf introduits par Triggs dans [Triggs 98]. En supposant que la distance focale est le seul param`etre interne inconnu, trois param`etres seulement doivent ˆetre estim´es (la ligne de fuite du plan peut ˆetre param´etr´ee par deux inconnues). Comme nous l’avons vu dans le chapitre 3, ce faible nombre d’inconnues est bien adapt´e `a l’optimisation globale par intervalles, et ceci nous permet d’envisager l’obtention d’une solution garantie. L’optimisation globale par intervalles a ´et´e largement utilis´ee dans les probl`emes d’optimisation et offre la garantie qu’un encadrement du minimum global a ´et´e trouv´e. Comme nous l’avons vu dans la section 3.4, l’optimisation par intervalles a ´et´e appliqu´ee avec succ`es `a l’autocalibrage 3D [Fusiello 04].

Le reste de ce chapitre est organis´e de la mani`ere suivante. Tout d’abord, en partant des ´equations de base de l’autocalibrage 2D de [Triggs 98], nous expliquons comment obtenir un param´etrage minimal du probl`eme. Nous calculons une fonction de coˆut `a partir de ce param´etrage. Ensuite, nous ´etudions comment la fonction de coˆut peut ˆetre reformul´ee pour ˆetre minimis´ee, dans un temps raisonnable, en utilisant l’optimisation globale par intervalles. Enfin, nous donnons les r´esultats obtenus avec des images simul´ees et des images r´eelles.

π π∞ l∞ Ω∞ I+ I− Sc`ene Image-clef l ω Image N lN xN + ωN xN − x+ x− Hπ HNπ HN n