4.9 Remarque sur les mouvements critiques
5.4.2 Distance focale constante inconnue
Nous consid´erons des matrices de projection (( calibr´ees )) de la forme Pj = Rj⊤ I | −tj, en ayant
justifi´e que, dans (5.30), D soit le sous-groupe des matrices diagonales propres de la forme (5.29) v´erifiant ainsi la condition (H1) ([Kahl 01, page 127] et [Sturm 02, section 3]) :
(H1) Dj11= Dj22, Dj ∈ D. (5.32)
Une condition n´ecessaire et suffisante pour garantir le cas d’une distance focale constante (suppos´ee strictement positive) est
Dj11 Dj33 = Dj22 Dj33 = Dk 11 Dk 33 = D k 22 Dk 33 , 1 ≤ j,k ≤ N. (5.33)
Si nous consid´erons que l’hypoth`ese (H1) est d´ej`a v´erifi´ee, nous pouvons nous restreindre `a une hypoth`ese qui la compl`ete pour garantir le cas d’une distance focale constante, en l’occurrence :
(H2) D j 11D j 22 (Dj33)2 = Dk 11Dk22 (Dk 33)2 , 1 ≤ j,k ≤ N. (5.34)
L’ensemble des matrices Dj v´erifiant (H1) et (H2) n’est pas un sous-groupe mais le quotient de D par
la relation d’´equivalence (H2). Nous en d´eduisons que l’ensemble des singularit´es dans le cas d’une cam´era `a distance focale constante inconnue sera n´ecessairement inclus dans celui du cas d’une cam´era `
a distance focale variable.
5.4.2.1 Positions critiques des cam´eras
Si la conique virtuelle Φ est sur π∞, alors nous comprenons bien que la condition n´ecessaire sur
les positions critiques des cam´eras est la mˆeme que celle dans le cas d’une distance focale inconnue : on montre facilement qu’il est a priori possible de voir Φ comme un cercle en tout point de l’espace, dont le centre est le point principal. La criticit´e de ce cas ne d´epend que des orientations des cam´eras. Choisissons maintenant Φ sur un plan fini π. Dans le cas d’une distance focale constante inconnue, nous affirmons la proposition suivante.
Proposition 3
Une condition n´ecessaire pour qu’une s´equence de mouvements soit critique est que les centres des N cam´eras soient dans une des trois configurations suivantes :
– (P1) `a deux positions g´en´erales (N = 2) ou
– (P2) `a trois positions diff´erentes (N = 3), co¨ıncidant avec les sommets d’un triangle rectangle, ou
Φ π Φ π (a) (b) e1 h1 e2 h2 H H E Φ π (c)
Fig. 5.7 – Mouvements critiques g´en´eriques dans le cas d’une distance focale variable. Les sch´emas (a), (b) et (c) correspondent aux mouvements critiques num´erot´es 1, 2 et 3 dans le texte. Sur la figure (c), les plans de support de la conique virtuelle Φ, de l’ellipse E et de l’hyperbole H sont orthogonaux entre eux. Les coniques E et H sont telles que les foyers e1 et e2 de E sont les sommets de H et,
r´eciproquement, les foyers h1 et h2 de H sont les sommets de E appartenant `a l’axe focal de E. L’axe
focal de H et les deux axes de E constituent des axes de sym´etrie de Φ.
Nous prouvons maintenant cette proposition.
plan de support de Φ, a pour ´equation Z = 0. La matrice de Q∗ Φ est alors Q∗ Φ= diag(d1,d2,0,d3), avec d1≥ d2 et d1,d2,d3> 0. (5.35) Ainsi, Q∗ Φ se projette en φj∗∼ PjQ∗ΦPj⊤= Rj⊤Φ∗∞jRj, (5.36) o`u la matrice Φ∗j∞= diag(d1,d2,0) + d3tjtj⊤= d1 0 0 0 d2+ d3(Yj)2 d3YjZj 0 d3YjZj d3(Zj)2 (5.37)
repr´esente la conique duale de celle obtenue par intersection du plan `a l’infini π∞ avec le j`emecˆone de
projection de Φ, de sommet tj = (Xj,Yj,Zj)⊤
. Ce sommet co¨ıncide avec le centre de la j`eme cam´era. Supposons que la position tj soit critique, c’est-`a-dire que les conditions (H1) et (H2) soient satis-
faites.
(H1) Une condition n´ecessaire et suffisante pour (H1) est que deux des valeurs propres de Φ∗j∞soient
´egales. Calculons-les formellement sous la forme des ´el´ements λj1, λj2 et λj3 du vecteur
λj = 1 2 d1 d2+ d3(Yj) 2 + d3(Zj) 2 +qd2 2 − 2d2d3(Zj)2+ 2d2d3(Yj)2+ d3 2 (Yj)4+ 2d 3 2 (Yj)2(Zj)2+ d 3 2 (Zj)4 d2+ d3(Yj)2+ d3(Zj)2− q d2 2 − 2d2d3(Zj)2+ 2d2d3(Yj)2+ d3 2 (Yj)4+ 2d 3 2 (Yj)2(Zj)2+ d 3 2 (Zj)4 . (5.38)
Dans [Kahl 01, page 134] et [Sturm 02, section 4.2.1], en d´eterminant les valeurs de Xj, Yj et Zj qui
font que cette condition soit v´erifi´ee, les auteurs obtiennent, comme lieu L(H1) des positions critiques, l’union des deux coniques centrales r´eelles d´ecrites pr´ec´edemment. Ces deux coniques sont li´ees : la premi`ere conique est une ellipse dans le plan Y Z et la seconde une hyperbole dans le plan XZ et les foyers de l’une co¨ıncident avec les sommets de l’autre (le lecteur peut se r´ef´erer `a la figure 5.7).
Dans le plan Y Z, l’ellipse obtenue par (H1) a pour matrice
L1= diag (d1d3,(d1− d2)d3,(d2− d1)d1) . (5.39)
Elle est centr´ee `a l’origine O et a comme axes de sym´etrie les axes OY et OZ.
(H2) En remarquant que Rjφ∗jRj⊤est la d´ecomposition spectrale de Φ∗j
∞, `a un facteur multiplicatif
pr`es, et, en particulier, que les ´el´ements diagonaux de φ∗j sont les valeur propres de Φ∗j∞, on d´eduit
qu’une condition ´equivalente `a (H2) est
λj1λj2/(λj3)2 = κ2, (5.40)
pour un certain r´eel fix´e κ > 0, o`u les λj1 sont les expressions formelles des valeurs propres donn´ees en (5.38).
Si nous laissons de cˆot´e (H1) et si nous imposons seulement (H2), alors en d´eveloppant λj1λj2/(λj3)2=
κ2, nous pouvons ais´ement ´etablir que le lieu L(H2) est une conique d´eg´en´er´ee dans le plan de l’ellipse,
de matrice
L2 = diag 0,d2d3, − d21κ2
et constitu´ee de deux droites parall`eles sym´etriques par rapport `a l’axe OZ.
Pour obtenir les positions critiques, nous faisons donc l’intersection de L(H1) et de L(H2), c’est-`a-
dire de l’ellipse L1et de la conique d´eg´en´er´ee L2. Puisque deux coniques ont quatre points en commun,
nous en d´eduisons que L1 et L2 se coupent aux quatre sommets d’un rectangle, dont les coordonn´ees
homog`enes sont : ±p(d1− d2)(d2− d1κ2), ± d1κ, p d2d3 ⊤ . (5.42)
Puisque d1 ≥ d2 par hypoth`ese, ces sommets ne sont r´eels qu’`a condition que d1 ≥ d2 ≥ d1κ2.
Dans le plan XZ, des r´esultats similaires peuvent ˆetre ´etablis, sauf que les quatre sommets obtenus sont r´eels `a condition que d1κ2 ≥ d1 ≥ d2. Les deux in´egalit´es mentionn´ees ci-dessus ne pouvant ˆetre
v´erifi´ees simultan´ement pour une abscisse non nulle, il y a donc au plus quatre positions (r´eelles) qui peuvent ˆetre critiques.
Deux cas particuliers sont `a consid´erer :
(C1) d1 = d2. La conique Φ est alors un cercle [Sturm 02, section 4.2.1]. Dans ce cas, dans (5.39), L1
d´eg´en`ere en un seul axe OZ (( r´ep´et´e )), tandis que, dans (5.41), la forme de L2 est inchang´ee.
L’intersection de L1et L2est compos´ee de deux points distincts sur OZ, sym´etriques par rapport
` a π.
(C2) d2/d1 = κ2. Dans ce cas, (5.42) se r´eduit aussi `a ces deux mˆemes points.
Des r´esultats similaires sont obtenus dans le plan XZ pour exactement les mˆemes conditions.
5.4.2.2 Orientations critiques des cam´eras
Pour chacune des positions critiques (P1) `a (P3) donn´ees pr´ec´edemment, nous d´eterminons les orientations critiques, c’est-`a-dire des conditions suffisantes pour que les mouvements soient critiques. Nous affirmons la proposition suivante.
Proposition 4
Pour chacune des positions critiques de cam´era (P1) `a (P3), les orientations critiques sont les mˆemes que la distance focale soit variable ou non.
Nous d´emontrons cette proposition de la mani`ere suivante.
Preuve.Dans [Kahl 01, page 127] et [Sturm 02, section 4.2.2], seules les directions vj = Rj(0,0,1)⊤
des axes optiques sont consid´er´ees. En effet, on peut facilement ˆetre convaincu que si une orientation est critique, alors elle l’est aussi pour toute rotation autour de l’axe optique ou tout changement de sens. L’´etude des directions critiques donne lieu `a deux cas, selon que Φ est un cercle, ce qui correspond au cas (C1) ´enonc´e ci-dessus, ou une ellipse. Si Φ est un cercle, alors la direction vj doit ˆetre :
(i ) orthogonale au plan de support π pour toutes les N cam´eras ou
(ii ) orthogonale pour au moins (N − 2) cam´eras et arbitraire pour au plus deux autres.
La configuration (ii ) se produit quand Φ∗∞j ∼ I, d’o`u l’on d´eduit que (H2) est satisfaite. Si Φ est une
ellipse, alors les N axes optiques doivent ˆetre tangents aux positions de L(H1). Ainsi, le fait que ces
directions soient d´etermin´ees de cette mani`ere de fa¸con unique ou dans une configuration telle que (H2) soit satisfaite termine notre d´emonstration.
Nous pouvons ainsi b´en´eficier des r´esultats de [Kahl 01, section 8.4.2] et [Sturm 02, section 5] et les adapter. ´Etant donn´ees :
– les positions critiques (P1), les orientations critiques sont : (O1a) arbitraires ou
– les positions critiques (P2) et (P3), les orientations critiques sont :
(O2) telles que les axes optiques de deux cam´eras, (( situ´ees )) `a des sommets adjacents, soient sym´etriques par rapport `a un axe de sym´etrie du rectangle mais non parall`eles, les quatre axes ne pouvant ˆetre concourants en un seul point.
Notons que l’orientation critique (O1a) concerne seulement le cas (C2), ce qui implique une criticit´e uniquement pour la structure affine.
Mouvements critiques pour une distance focale constante inconnue Ambigu¨ıt´es
SA PI
1.Toutes les cam´eras ont des axes parall`eles. ∞
2. Quatre cam´eras, avec des centres d´efinissant un rectangle ; les axes optiques sont dans le plan du rectangle et pour chaque paire de cam´eras adjacentes, les axes sont sym´etriques par rapport `a l’axe de sym´etrie du rectangle s´eparant les deux centres.
2
3. Trois cam´eras, prises parmi les quatre du cas 2 (d´efinissant ainsi un triangle rec- tangle).
2
4. Deux cam´eras, prises dans les sommets adjacents du cas 2 (les axes optiques concourent en un point fini, avec les centres ´equidistants de ce point).
∞ ∞
5.Deux cam´eras ayant des axes co¨ıncidant. 1 ∞
Tab. 5.2 – Liste des mouvements critiques pour le cas d’une distance focale constante inconnue. Le nombre d’ambigu¨ıt´es (nombre de (( fausses solutions ))) est donn´e pour la structure affine ( SA) et les param`etres internes ( PI). Le cas 1 correspond au sch´ema (a) de la figure 5.8 ; les cas 2 `a 4 correspondent au sch´ema (b) de cette mˆeme figure.
5.4.2.3 Description de tous les mouvements critiques
Les mouvements critiques, dans le cas d’une distance focale constante inconnue, sont ´enum´er´es dans le tableau 5.2 et sont sch´ematis´es sur la figure 5.8.
Tout d’abord, notons que l’ensemble des singularit´es li´e `a ce cas est bien inclus dans celui li´e au cas d’une distance focale variable inconnue. Ensuite, sauf pour des mouvements de type (( transla- tion pure )), les seuls mouvements qui sont probl´ematiques en pratique concernent p = 2 positions diff´erentes. En effet, c’est seulement dans ces cas-l`a que l’on obtient une infinit´e de solutions. Pour 2 < p ≤ 4 positions diff´erentes, d’une part, certaines ambigu¨ıt´es pourraient ˆetre lev´ees grˆace `a des hypoth`eses de chiralit´e [Hartley 03, chap. 21] et, d’autre part, il semble peu probable que les cam´eras puissent ˆetre aux positions critiques ´enonc´ees. Ceci est rassurant quant `a notre motivation de construire un algorithme d’autocalibrage avec le moins de singularit´es possibles.
Lorsque l’autocalibrage est ambigu, il y a plusieurs solutions au probl`eme, une bonne et des mau- vaises. Ces mauvaises solutions sont appel´ees (( fausses solutions )). Nous calculons maintenant le nombre de ces fausses solutions dans notre cas. En se r´ef´erant au tableau 5.2 :
1. Axes optiques parall`eles. Il existe une infinit´e de fausses coniques qui sont n´ecessairement sur π∞ et correspondent aux coniques du faisceau Ω∞+ γvv⊤, o`u v est la direction (fixe) de l’axe
optique et γ un param`etre r´eel non nul. Ainsi, toute valeur est admissible pour la distance focale. 2. Positions co¨ıncidant avec p sommets adjacents4 d’un rectangle, et axes optiques orient´es selon (O2). Notons que si p < 4, on compl`ete par des cam´eras (( virtuelles )) pour se ramener au cas 4. Si p = 2 sommets ne sont pas adjacents, les axes optiques des cam´eras sont parall`eles, et on se ram`ene au cas de l’item 1.
Φ π Φ π (a) (b) (c)
Fig. 5.8 – Mouvements critiques g´en´eriques dans le cas d’une distance focale constante inconnue. Le sch´ema (a) correspond au cas 1 du tableau 5.2 ; le sch´ema (b) correspond au cas 5 et le sch´ema (c) correspond aux cas 2 `a 4 de ce mˆeme tableau.
d’un rectangle.
p > 2 : il y a une double fausse solution, car π peut couper le rectangle selon un de ses deux axes de sym´etrie (si p = 3, il s’agit d’un triangle rectangle, ce qui d´etermine le sommet manquant).
p = 2 : il existe un faisceau de plans de support d’un rectangle (( virtuel )) `a partir des deux sommets donn´es, son axe passant par ceux-ci. Il y a donc une infinit´e de fausses solutions.
3. Deux positions et des axes co¨ıncidants. Il y a une fausse solution pour la structure affine car π peut ˆetre le plan coupant orthogonalement, en son milieu, le segment reliant les deux positions. Il y a une infinit´e de fausses solutions pour la distance focale, car on se trouve aussi dans le cas de l’item 1.
4. Deux positions et des axes arbitraires. Il y a une fausse solution pour la structure affine5, qui
est celle de l’item 3.
5. Ceci est conforme avec le fait que le probl`eme de l’estimation du mouvement entre deux cam´eras calibr´ees, `