Travaux antérieurs

Le problème de la réflexion d’une onde interne sur une paroi inclinée

connaît une première effervescence à partir de 1966, date à laquelle Phillips

([Phi66]) popularise les propriétés originales de réflexion des ondes internes

évoquées en §1.2.4. On peut par exemple citer les travaux de Wunsch et

Cacchione ([Wun68,Wun69,CW74]). L’étude de ce problème, relativement

complexe, a avancé par à-coups depuis presque cinquante ans, avec il me

semble une transmission difficile des résultats d’une étape à l’autre.

Les prédictions de Thorpe (1987)

Steve Thorpe ([Tho87]) est à notre connaissance le premier à avoir

ap-porté une contribution significative à l’étude des interactions ondes-ondes se

produisant lors de la réflexion d’ondes internes sur une paroi inclinée. Plus

précisément, comme nous l’avons évoqué en §2.1.2, il s’est intéressé aux

in-teractions non-linéaires entre une onde plane incidente et sa réflexion, puis

entre l’onde plane incidente et l’onde née de la première interaction, et ainsi

de suite.

Pour des raisons de facilité d’interprétation des résultats, il se place dans

un repère tourné d’un angleα, dont l’axe desx est parallèle à la paroi, l’axe

desz perpendiculaire, vers le haut et l’origine des axes à la base de la paroi.

Dans ce repère tourné, la relation de dispersion sans rotation devient :

(k

²_x

+k

_z²

)ω

²

= (k

_x

cosα−k

_z

sinα)

²

N

²

, (5.1)

kx etkz étant les coordonnées du vecteur d’onde dans le repère tourné.

Le nombre d’interactions possibles étant a priori très grand, il

n’uti-lise pas directement le formalisme décrit en §2.1 mais adopte une démarche

itérative. Il part d’une onde forçante incidente et de sa réflexion, dont les

fonctions de courant s’écrivent :

ψ

_i

=A

_i

sin(k

_x,i

x+k

_z,i

z−ωt), (5.2)

ψ

_r

=A

_r

sin(k

_x,r

x+k

_z,r

z−ωt), (5.3)

avecA

_r

=−A

_i

=−A,k

_x,i

=k

_x,r

=k

_x

,

k

_z,i

= 2k

_x

^{sin 2θ}−sin 2α

sin

²

θ−sin

²

α^, (5.4)

k

_z,r

=−2k

_x

^{sin 2θ+ sin 2α}

sin

²

θ−sin

²

α^, (5.5)

θétant à nouveau l’angle de propagation des rayons par rapport à

l’horizon-tale. On peut vérifier queψ

_i

+ψ

_r

=cteen z= 0, expression de la condition

5.1. Introduction 109

d’imperméabilité à la paroi. Dans le cas sous-critique (θ > α), k

_z,i

> 0 et

kz,r <0.

D’après ce que nous avons vu en §2.1.1, l’interaction non-linéaire de ces

deux ondes va mener à la création de deux autres, forcées, qui s’écrivent :

ψ

₂

=A

₂

sin(2k

_x

x+ (k

_z,i

+k

_z,r

)z−2ωt), (5.6)

ψ

0

=A

0

sin((kz,i−kz,r)z), (5.7)

les coefficients A

₂

et A

₀

étant proportionnels au carré de l’amplitude de

l’onde incidente.

Le signal ψ

₀

de fréquence temporelle nulle correspond à un écoulement

moyen stationnaire forcé, parallèle à la paroi et qui traverse donc les

iso-pycnes, en contradiction avec la conservation matérielle du champ de

den-sité. Mais Thorpe ([Tho87, §2.3, l. 11]) fait remarquer que dans un cadre

lagrangien, cet écoulement est bien nul, en d’autres termes que la moyenne

temporelle de la vitesse d’une particule que l’on suit dans son mouvement –

soumise aux champs des ondes incidente et réfléchie – est nulle.

L’onde ψ

₂

de fréquence2ω est quant à elle produite par le forçage

non-linéaire mais ne peut pas se propager en tant que telle, ne respectanta priori

pas la relation de dispersion. De plus, elle ne s’annule pas en z = 0 et ne

satisfait donc pas la condition d’imperméabilité à la paroi. Pour y remédier,

l’auteur introduit une autre onde décrite parψ

′

2

=−A

₂

sin(2k

_x

x+m

₂

z−2ωt)

et appelée “onde libre” car satisfaisant la relation de dispersion (5.1). Après

calculs, cela donne :

m

₂

=−

2k

_x

sinαcosα+ 2 sinβp

1−4 sin

²

β

4 sin

²

β−sin

²

α ^. (5.8)

Cette dernière onde est introduite de façon ad hoc afin que la somme ψ

₂

+

ψ

^′₂

satisfasse la condition d’imperméabilité. Elle n’est donc pas un résultat

des interactions non-linéaires entre les deux ondes “primaires”. L’auteur ne

précise pas le mécanisme physique qui pourrait générer cette onde.

En insérant ψ

_i

+ψ

_r

dans l’équation de propagation non-linéaire (1.21),

Thorpe calcule A

₂

dans le cas oùω < N, ce qui donne :

ψ

₂

+ψ

₂^′

= ^3A

2

k

2

x

sin

²

2θ sin 2α

8ω(sin

²

θ−sin

²

α)D^[sin(2k

^x

^{x+ (k}

^z,i

^+k

^z,r

^)z−2ωt)

−sin(2k

_x

x+m

₂

z−2ωt)], (5.9)

avec D = 4 sin

4

θ−(7 sin

2

α+ 1) sin

2

θ+ 4 sin

2

α. L’annulation du

dénomi-nateur permet de distinguer deux singularités : la singularité critique pour

α = θ et une autre singularité pour D = 0. On peut montrer que cette

dernière condition est réalisée quand I

₂

=m

₂

−k

_z,i

−k

_z,r

= 0, c’est à dire

lorsque l’onde forcée devient libre et donc que l’onde incidente, sa réflexion

et l’onde forcée forment une triade résonante (cf. figure5.1).

x

z

(a)θ= 11°

x

z

(b)θ= 12,17°

Figure5.1 – Pour une paroi de pente10%, tracé des caractéristiques pour une onde

plane incidente et sa réflexion (tirets bleus), de l’onde de fréquence2ω forcée par

l’interaction (ligne rouge continue) et de l’onde libre correspondante (tirets verts

épais). (a) Cas proche d’une résonance. (b) Résonance : ondes libre et forcée se

superposent.

LorsqueD= 0(ouI

₂

= 0), le dénominateur s’annule mais le numérateur

aussi, ψ

₂

et ψ

₂^′

étant alors en opposition de phase. On peut montrer que

la solution ne diverge pas mais la recherche des zéros du dénominateur de

la fonction d’onde permet toujours de détecter pour quelle configuration on

peut avoir une triade résonante entre l’onde incidente, réfléchie et l’onde à

fréquence2ω. À ce stade, on peut d’ailleurs remarquer que la configuration

sous-critique ne peut donner lieu à une telle résonance, soit analytiquement

([JM09]), soit géométriquement (figure 5.2).

Thorpe va ensuite plus loin en étudiant les interactions entre les multiples

rayons incident, réfléchi et créés par les interactions résonantes. En se limitant

aux fréquences inférieures ou égales à 3ω, il détermine que les résonances

possibles sont :

– entre l’onde incidente et l’onde libre de fréquence 2ω, qui produit une

onde de fréquenceωet de nombre d’onde vertical kz,r, caractérisée par

I

₂^′

=k

_z,r

−m

₂

+k

_z,i

(=−I

₂

) = 0,

– entre l’onde incidente et l’onde forcée de fréquence2ω, qui produit une

onde libre de fréquence 3ω et de nombre d’onde vertical m

3

,

caracté-risée par I

₃⁽¹⁾

= m

₃

−2k

_z,i

−k

_z,r

= 0, m

₃

satisfaisant la relation de

dispersion (3ω)

2

(9k

2

x

+m

2

3

) = (3k

_x

cosα−m

₃

sinα)

2

N

2

,

– entre l’onde incidente et l’onde libre de fréquence 2ω, qui produit une

onde libre de fréquence 3ω et de nombre d’onde vertical m

₃

,

caracté-risée par I

₃⁽²⁾

=m

₃

−m

₂

−k

_z,i

= 0.

5.1. Introduction 111

(a) (b)

Figure5.2 – Construction géométrique du vecteur d’onde forcé par l’onde incidente

et sa réflexion sur-critique (a) et sous-critique (b). La ligne en pointillés longs

exprime la conservation de la projection des vecteurs d’onde incidents et réfléchis

contre la paroi. On voit que dans le cas sous-critique, le vecteur d’onde forcé à 2ω

est plus vertical que le rayon incident à ω et ne satisfait donc pas la relation de

dispersion : il ne peut pas y avoir résonance dans ce cas. D’après Louis Gostiaux.

Les courbes I

₂

= 0,I

₃⁽¹⁾

= 0 etI

₃⁽²⁾

= 0 sont tracées en figure 5.3.

À partir de maintenant, nous revenons dans le référentiel initial. kx,i,

k

_z,i

, etc. sont désormais les quantités projetées sur les axes perpendiculaire

et parallèle à la gravité.

Travaux de Tabaei et al. (2005) et contestations

Tabaei, et al. ([TAL05]) ne considèrent plus une onde plane mais un

rayon de profil quelconque et abandonnent l’introduction d’une deuxième

onde pour satisfaire la condition d’imperméabilité. Par conséquent, les

so-lutions forcées de [TAL05] traversent la paroi inclinée. De plus, comme

re-marqué par Jiang et Marcus [JM09], ils prédisent des interactions pouvant

être résonantes menant à la création de rayons forcés qui ne peuvent pas

satisfaire la relation de dispersion, dont un exemple est fourni en figure 5.2.

Par une simulation numérique directe (donc indépendante de leurs calculs

analytiques) de réflexion d’un rayon gaussien sur une paroi inclinée, [TAL05]

montre qu’un rayon de fréquence2ωest en effet créé mais que son amplitude

est très faible. Les expériences de Peacock et Tabaei [PT05] ne montrent pas

ce rayon, probablement trop faible pour que leur système de mesure puisse

le détecter.

Un autre travail nous vient du groupe de Harry Swinney de l’Université

du Texas à Austin (non publié à ce jour). Leur travail expérimental montre

0 5 10 15 20 25 30

0

2

4

6

8

10

12

18 20 19

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

A B C

θ (°)

α

(°)

I

2

= 0

I

3 (1)

= 0

I

3 (2)

= 0

cas critique

Figure 5.3 – Courbes où les couples (α, θ) satisfont les différentes conditions de

résonance. Les courbesI

₃⁽¹⁾

= 0etI

₃⁽²⁾

= 0diffèrent notablement de [Tho87, Fig. 6].

Une vérification par tracé de caractéristiques ne semble pas indiquer de résonances

dans les parties manquantes. Les croix numérotées localisent les expériences que

nous avons menées, les croix lettrées celles de Louis Gostiaux en 2006 ([Gos06,

§8.3]).

que pour des rayons, l’amplitude de la vorticité à fréquence2ω est maximisée

lorsque la largeur du rayon de fréquence 2ω émis est égale à la largeur du

rayon incident. Ils prétendent que ces observations ne s’accordent pas avec

[TAL05], qui lui prédit une émission maximale lors de la réflexion critique

(nous n’avons pas trouvé de telle affirmation dans [TAL05]).

Dans le document Réflexions et réfractions non-linéaires d'ondes de gravité internes (Page 119-123)