Conditions aux limites

Par défaut, le domaine est périodique dans les deux directions

horizon-tales. Toutes nos simulations vont être bidimensionnelles (∂

_y

= 0) et ne

comporteront qu’une cellule dans la direction y. Ainsi, la périodicité sera

conservée dans cette direction et le domaine sera équivalent à un domaine

d’extension infinie selony, avec notamment des vitesses permises au travers

du plan (0,e

x

,e

z

).

Surface

Pour toutes les simulations de ce travail de thèse, la frontière supérieure

du domaine est une surface libre linéaire. Surface libre car un toit rigide est

instable dans toutes les configurations testées et linéaire car appliquer une

surface libre non-linéaire n’est pas prévu en configuration non-hydrostatique.

Cette surface libre est un point délicat en termes de stabilité : si

l’ampli-tude de son déplacement est trop forte (typiquement un pas de grille vertical,

même si c’est en termes de pression qu’il faudrait raisonner), le code explose.

Ainsi, il faut veiller à ce que le flux net aux frontières soit minimisé.

(a) (b) (c)

Figure3.2 – Rayons d’ondes internes sans rotation créées par forçage appliqué sur

la paroi gauche. La quantité affichée est la vitesse verticalew, avecxen ordonnées

et z en abscisse (unités arbitraires). (a) Forçage sur les trois champs u, w et T.

(b) Forçage sur uniquementuetT. (c) Forçage sur uniquementuetw.

Forçage

Le forçage est toujours appliqué à la frontière est ou ouest (ou les deux) et

peut avoir des formes relativement arbitraires. On parle de condition ouverte

à la frontière (OBC pour Open Boundary Condition) dans le sens où on peut

faire “traverser” du fluide à la frontière, à condition de le prescrire. Ainsi, à

contre-courant de l’intuition de beaucoup

4

, activer cette option sans rien

prescrire d’autre empêche tout fluide de traverser la frontière, les valeurs des

vitesses par défaut étant toutes nulles.

La première partie de ce travail de thèse, relatée en §4, s’est intéressée aux

attracteurs d’ondes internes. Le forçage est barotrope (uniforme suivant la

verticale) et la présence d’une frontière inclinée présente sur toute la hauteur

du domaine empêche de compenser le flux de la frontière verticale par un flux

sur la frontière opposée. Heureusement, l’amplitude est suffisamment faible

pour ne pas poser de problèmes numériques. La continuation de ce travail,

présentée en annexeB, utilise elle un forçage en onde interne de mode-1, qui

élimine le problème numérique.

Inspiré ensuite par le générateur d’ondes internes créé pendant la thèse de

Louis Gostiaux (cf. §3.2.2), des structures de forçages un peu plus élaborées

ont été implémentées, à savoir des ondes planes d’étendues spatiales modulées

ou non, plus ou moins grandes, comme utilisé en §5 et §6. Dans ce cas,

appliquer le forçage à tous les champs accessibles, à savoir u, v, w et T,

améliore grandement la qualité du signal de sortie, y compris lorsque par

exempleu≫w(cf.Fig.3.2). Ceci est relativement simple grâce aux relations

de polarisation (1.49) et à l’équation d’état (3.4).

Vers la fin de cette thèse, de nouveaux forçages, plus élaborés, ont été

définis, qui sont utilisés en §7 et avec des amplitudes de forçages désormais

complexes. Ils ont permis dans un premier temps de reproduire un rayon

de Thomas et Stevenson, la vitesse u s’écrivant par exemple (cf.

3.1. Modélisation numérique des ondes internes 69

sion1.40) :

u=Uℜ(Atse

−iωt

) =U[ℜ(Ats) cosωt+ℑ(Ats) sinωt], (3.12)

avec U un facteur de normalisation de l’amplitude et _ℜ et _ℑ identifiant

les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe. Les autres champs

se déduisent encore une fois des relations de polarisation. C’est ce type de

forçage qui sera décrit plus précisément en §7.2et utilisé en §7.3.

Le fait d’introduire une amplitude complexe permet de modéliser des

si-gnaux comprenant plusieurs composantes déphasées entre elles. Ainsi, nous

verrons en §7.4qu’on peut reproduire le forçage complet d’une marée avec ses

différentes composantes (barotrope, rayons, modes. . .) car ce forçage pourra

toujours s’écrire sous la forme _|A(z)|^e

^{i(φ(z)−ωt)}

^{, sans limitation sur la}

struc-ture verticale de la phaseφ(z) et de l’amplitude _|A(z)|^{. Il s’agit de la forme}

la plus élaborée de forçage que je vais appliquer et n’est pas implémentée

par défaut dans le code.

Parois et topographies

Dans l’intérieur du domaine, le schéma en volumes finis est

rigoureuse-ment équivalent à un schéma en différences finies. L’avantage des volumes

finis apparaît dans le traitement de la topographie ([AHM97]). Ce traitement

a été historiquement une autre avancée du MITgcm, en tout cas pour ce qui

est des codes à coordonnées z(cellules ou grilles à angles droits).

Deux méthodes ont été utilisées, schématisées en figure 3.3. La première,

utilisée en §4, est appelée méthode des cellules arasées. Elle consiste à

mo-difier la forme des cellules en leur faisant épouser la forme (plane par

mor-ceaux) de la topographie. Les développeurs du code, jugeant cette méthode

trop coûteuse, l’ont remplacé au cours de cette thèse par la méthode des

cel-lules partielles, plus légère et aux performances comparables. Cette méthode

consiste à laisser aux cellules leur forme parallélépipédique mais à réduire

leur hauteur de manière à ce que le fond de la cellule soit à la hauteur

ap-proximative de la topographie. Dans les deux cas, la réduction du volume et

éventuellement des surfaces des faces est traitée en modifiant les flux entre

cellules et la production des sources.

Soit une topographie définie par la courbe z = −h(x). Le code prévoit

deux types de conditions à cette limite : non-glissement, définie parv|

z=−h

=

0et glissement sans frottement, définie par v·∇h|

z=−h

= 0 et∂

_n

v

_t

= 0, où

∂

_n

est la dérivée normale à la paroi et v

_t

la vitesse tangentielle à la paroi.

La première condition consiste à ne pas négliger la couche limite visqueuse

contre une paroi. Cette couche limite visqueuse a une épaisseur typiqueδ

_ν

=

p

ν/ω. Si le pas de grille ne permet pas de la résoudre, alors une condition

de glissement sans frottement doit être préférée. Dans une expérience de

laboratoire,ν = 10

−6

m

2

.s

−1

,ω ≈0,1 − 1 rad.s

−1

et donc δ

_ν

≈1 − 3mm,

Figure3.3 – Différents traitements des topographies pour une pente de topographie

hypothétique en pointillés. Haut : traitement “pré-MITgcm”, où une case est

consi-dérée comme faisant partie de la topographie ou non. Milieu : cellules partielles.

Bas : cellules arasées. Adapté de [AHM97, Fig. 8]

ce qui est l’ordre de grandeur des plus petits pas de grille que nous utiliserons.

Ainsi, la condition de glissement sans frottement sera toujours choisie.

Couche-éponge

Elle est destinée à absorber les mouvements des ondes à l’opposé de

la frontière où le forçage est appliqué. Elle consiste en une zone en fin de

domaine où un terme G est ajouté au membre de droite de l’équation de

Navier-Stokes. Si le domaine a une longueur totale L et la couche-éponge

une longueurℓ, alors ce terme s’écrit, pour L−ℓ≤x≤L:

G(x, z) = ^α

^ob

α

_ob

τ

_b

+ (1−α

_ob

)τ

_in

^(u

^ob

^(z)−u(x, z)), (3.13)

avecτ

_b

un temps de relaxation relatif à la frontière,τ

_in

un temps de relaxation

relatif à la limite de la couche-éponge à l’intérieur du domaine et u

_ob

(z) la

valeur deu(x, z)prescrite enx=Lvial’optionOBC. Le paramètreα

_ob

quant

à lui a pour définition :

α

_ob

= ^x−L+ℓ

ℓ ^. (3.14)

La couche-éponge ne s’applique pas à v ni à w mais un terme similaire

à F existe pour la température, qui s’applique aussi à l’équation pour la

quantité de mouvement et donc à la flottabilité.

3.2. Étude expérimentale des ondes internes 71

Dans le document Réflexions et réfractions non-linéaires d'ondes de gravité internes (Page 78-82)