Dynamique linéaire des ondes internes

Figure 1.4 – Décomposition du vecteur de rotation terrestre _Ω à une latitude λ

sur le repère cartésien (O,e

x

,e

y

,e

z

).

ce qui correspondra à des études en Golfe de Gascogne (cf. §7). Les valeurs

def aux latitudes 44°N et 47°N sont respectivement de1,01×10

⁻⁴

rad.s

−1

et

1,06×10

−4

rad.s

−1

, soit une variation de 5% que nous négligerons. C’est ce

qu’on appelle l’approximation du plan-f

⁴

.

1.2 Dynamique linéaire des ondes internes

1.2.1 Équation de propagation

Les mécanismes décrits en §1.1.1et §1.1.2correspondent aux mécanismes

de base des ondes de gravité internes et des ondes inertielles

5

,

respective-ment. Ces deux types d’ondes sont les deux visages des ondes internes et nous

allons voir en quoi elles se rejoignent. Nous allons supposer que le fluide

étu-dié est incompressible, non visqueux, non diffusif et que les approximations

traditionnelle et de plan-f s’appliquent. Tout d’abord, la condition

d’incom-pressibilité s’écrit :

∇·v = 0, (1.9)

ce qui permet d’écrire l’équation de conservation de la masse comme :

∂

_t

ρ+v·∇ρ= 0. (1.10)

Enfin, l’équation de Navier-Stokes s’écrit :

ρ[∂

_t

v+ (v·∇)v] =−∇P −ρfe

_z

×v+ρbe

_z

, (1.11)

4. L’approximation de niveau supérieur consiste à prendre en compte les variations

d’ordre 1 defautour d’une valeurf

0

. Dans ce cas, on écrit traditionnellement le paramètre

de Coriolis commef=f

0

+βy, d’où le nom d’approximation du plan-β, que l’on emploie

généralement pour des modélisations couvrant plusieurs milliers de km.

avecb=−(ρ−ρ)g/ρ la flottabilité et P l’écart à la pression hydrostatique.

Nous allons supposer notre étude bidimensionnelle dans le sens où∂y = 0

(ce qui n’implique pasv= 0). Nous allons aussi considérer que la densité ne

varie que très peu du fait des mouvements du fluide et donc que la densité

peut être remplacée par sa moyenne ρ

0

, à l’exception des fluctuations de

densité incluses dans b(on a donc b=−(ρ−ρ)g/ρ

₀

). Cette approximation

est dite de Boussinesq ([Bou03]).

Nous allons prendre le rotationnel de l’équation (1.11). Il est utile de se

rappeler que le rotationnel d’un gradient est nul, que

(v·∇)v =∇(kvk

²

/2) +̟×v, (1.12)

où̟=∇×v est la vorticité du fluide, que l’identité de Lagrange dit que

A×(B×C) = (A·C)B+ (A·B)C, (1.13)

et enfin de garder en tête l’équation (1.9) pour le calcul du terme de

Corio-lis. On obtient ainsi l’équation de Helmholtz avec rotation et forcée par la

flottabilité :

∂

_t

̟+ (u·∇)̟−(̟·∇)u=f ∂

_z

v−(∂

_x

b)e

_y

. (1.14)

Comme on peut le voir, la flottabilité est portée pare

y

et nous allons donc

projeter l’équation (1.14) dans cette direction. Restera une équation pour v

afin de fermer le système. Les équations [(1.14)_·e

y], [(1.11)

_·e

y] et [

g(1.10)/ρ

₀

]

deviennent donc, respectivement :

∂

_t

̟

_y

+ (u∂

_x

+w∂

_z

)̟

_y

=f ∂

_z

v−∂

_x

b, (1.15)

∂tv+ (u∂x+w∂z)v=−f u, (1.16)

∂

_t

b+ (u∂

_x

+w∂

_z

)b+N

²

w= 0, (1.17)

avec N

²

= −(g/ρ

0

)(∂ρ/∂z) sous l’approximation de Boussinesq et ̟y =

̟·e

y.

La relation d’incompressibilité (1.9) s’écrit∂

_x

u+∂

_z

w= 0et permet

d’af-firmer qu’il existe une fonction de courantψtelle que(u, w) = (∂zψ,−∂xψ).

On peut donc passer de quatre (u, v, w, b) à trois (ψ, v, b) inconnues en

re-marquant que ̟

_y

=∂

_z

u−∂

_x

w=∇

2

ψ et écrire les équations (1.15)–(1.17)

comme suit :

∂

_t

∇

²

ψ−J(ψ,∇

²

ψ) =f ∂

_z

v−∂

_x

b, (1.18)

∂

_t

v−J(ψ, v) =−f ∂

_z

ψ, (1.19)

∂

_t

b−J(ψ, b)−N

²

∂

_x

ψ= 0, (1.20)

où J est le déterminant jacobien défini pour deux fonctions ζ

₁

et ζ

₂

par

1.2. Dynamique linéaire des ondes internes 19

+f ∂

_z

(1.19)₋∂

_x

(1.20), on obtient finalement l’équation de propagation des

ondes internes :

∂

_tt²

∇

²

ψ+N

²

∂

²_xx

ψ+f

²

∂

_zz²

ψ=

∂

_t

J(ψ,∇

²

ψ)−∂

_x

J(ψ, b) +f ∂

_z

J(ψ, v). (1.21)

On peut remarquer que les jacobiens contiennent tous les termes

non-linéaires et exclusivement eux. Ainsi, le membre de gauche de l’équation

pré-cédente correspond à l’équation de propagation linéaire des ondes internes.

Dans le cas d’une onde plane de la forme

(ψ, v, b) = ( ˜ψ,v,˜ ^˜b)e

^i(kxx+kzz−ωt)

+c.c., (1.22)

où k

_x

=k·e

x,

k

_z

=k·e

z,

ω est la fréquence de l’onde et c.c. le complexe

conjugué, tous les jacobiens s’annulent. Ainsi, une onde plane linéaire est

aussi solution des équations non-linéaires, quelle que soit son amplitude.

1.2.2 Relation de dispersion et vitesses de propagation

Nous partons donc d’une onde plane décrite par l’équation (1.22), que

nous injectons dans l’équation (1.21) pour obtenir la relation de dispersion

des ondes internes :

k

²

ω

²

=k

_x²

N

²

+k

²_z

f

²

, (1.23)

avec k = kkk

²

^{le module du vecteur d’onde. Il est possible de définir un}

angle θ tel que (sinθ,cosθ) = (|k

_x

|,|k

_z

|)/k, l’angle entre le vecteur k et la

verticale. Dans ce cas, la relation de dispersion peut se réécrire :

ω

²

=N

²

sin

²

θ+f

²

cos

²

θ. (1.24)

Par la suite, nous allons supposer ω > 0. On peut alors remarquer que

min(N,|f|)≤ω≤max(N,|f|). Ainsi, un forçage oscillant donnera naissance

à des ondes propagatives si sa fréquence est comprise entre ces deux extrêmes

et à des ondes évanescentes sinon.

La relation de dispersion lie la fréquence à l’angle de propagation des

ondes par rapport à la verticale (ou l’horizontale) et non pas au module du

vecteur d’onde comme pour les ondes usuelles

6

. On retrouve l’anisotropie

décrite qualitativement en §1.1. La relation de dispersion ne comportant que

des carrés, si l’angle θla satisfait, alors₋θ,π−θetθ−π la satisfont aussi.

La vitesse de groupe se définit comme le gradient de la fréquence dans

l’espace des nombres d’ondes [Gil82, §6.6] :

c

g

=∇

_k

ω = ^∂ω

∂k

_x

^e

^x

⁺

∂ω

∂k

_z

^e

^z

^. (1.25)

Elle est donc perpendiculaire aux isocontours deωdans l’espace des nombres

d’ondes, qui sont eux-mêmes des isocontours pour le rapport k

_x

/k

_z

. Ainsi,

si un vecteurksatisfait la relation de dispersion, il est perpendiculaire à c

g,

d’où la particularité parfois énoncée de dire que les ondes internes ont leur

vitesse de groupe perpendiculaire à leur vitesse de phase

7

. Les expressions

pour les vitesses de phase et de groupe sont finalement :

(c

_φ

, c

_φx

, c

_φz

) =

ω

k^,

ω

k

_x

^,

ω

k

_z

=

p

N

2

sin

²

θ+f

2

cos

2

θ

k

1,sgn(k

_x

)

sinθ ^,

sgn(k

_z

)

cosθ

(1.26)

c

_g

= ^(N

2

−f

²

)k

_x

k

_z

ωk

4

kz

−k

_x

= ^(N

2

−f

²

) sin 2θ

2ωk

sgn(kx)×cosθ

−^sgn(k

_z

)×sinθ

,

(1.27)

La table 1.1 résume ces résultats et fournit une représentation des

configu-rations dek et c

_g

dans les quatre cadrans. On y voit notamment que θ est

aussi l’angle entre c

_g

et l’horizontale. Enfin, on peut remarquer que pour

ω=N ouf,θ=π/2 ou 0 respectivement etc

g

= 0. On peut donc réduire

la condition de propagation des ondes à min(N,|f|)< ω <max(N,|f|).

Pour une onde plane et d’après la relation d’incompressibilité,

∇·v =k·v= 0. (1.28)

Ainsi, la structure du champ de vitesse est cisaillée, avec des mouvements

des particules fluides induites par l’onde perpendiculaires à la propagation

de la phase, alignés avec les isophases des ondes on encore alignés avec la

vitesse de groupec

_g

(cf.figure1.5). La version linéarisée de l’équation (1.21)

est :

∂

_tt²

∇

²

ψ+N

²

∂

²_xx

ψ+f

²

∂

_zz²

ψ= 0. (1.29)

7. Bien que cette manière de dire soit pédagogiquement intéressante, elle est quelque

peu abusive. En effet, elle implique que la vitesse de phase soit un vecteur c

φ

porté

park. On serait ainsi tenté de définir par exemplec

φx

, la vitesse de phase selon x, par

c

φ

·e

x

. Or ceci n’est pas la vitesse de déplacement de la phase selon x, qui est plus

grande quec

φ

=kc

φ

k. Tout est question de conventions et celle utilisée ici est telle que

les définitions dec

φ

,c

φx

etc

φz

(scalaires) sontω/k,ω/k

x

etω/k

z

, respectivement. Dans

ce cas,c

2

φ

6=c

2 φx

+c

2

φz

et la vitesse de phase n’est donc pas un vecteur, au contraire dek

1.2. Dynamique linéaire des ondes internes 21

En supposant que la fonction de courant peut s’écrire ψ(x, z, t) =

ψ

0

(x, z)e

−iωt

, la dernière équation devient :

(N

²

−ω

²

)∂

_xx²

ψ

₀

+ (f

²

−ω

²

)∂

_zz²

ψ

₀

= 0. (1.30)

qui est une équation aux dérivées partielles dont les courbes caractéristiques

ont pour équation z±xp

(ω

2

−f

2

)/(N

2

−ω

2

) =cte. Pour une onde plane,

ces caractéristiques coincident avec les lignes isocontour deψ

₀

inclinées d’un

angle θ = arctan((ω

²

−f

²

)/(N

²

−ω

²

)) avec l’horizontale. Ainsi, nous

par-lerons de caractéristiques pour parler de lignes telles qu’en tout point, les

vecteursv etc

g

y sont tangents.

Figure 1.5 – Structure d’une onde interne de gravité plane (adapté de [Gos06,

Fig. 1.2]). Pour une onde inertielle plane, le vecteurk est opposé.

La relation de dispersion des ondes internes est illustrée en figure1.6pour

f = 0, où l’on voit un cylindre oscillant émettre des ondes de gravité internes.

Dans ce cas, la relation de dispersion devient ω =Nsinθ,θ correspondant

à quatre couples(k

_x

, k

_z

). Pour chaque fréquence telle que ω < N, on a bien

émission de quatre rayons d’ondes internes dans quatre directions formant

une “croix de Saint-André”, chaque branche de la croix étant portée par un

vecteur c

g

différent. La mise en évidence expérimentale de ce phénomène

a été réalisée pour la première fois par Görtler [Goe43] et redécouverte par

Mowbray et Rarity [MR67]. La figure 1.6(e)montre un cas oùω > N et où

les ondes sont évanescentes. Nous reviendrons au cas de l’émission par un

objet en §1.3.

Il est intéressant de relier ce comportement des ondes de gravité internes

à ce qui a été dit en §1.1.1. En effet, quand ω → 0, on se rapproche du

mouvement non-oscillant, qui est horizontal (confinement vertical des

mou-vements). Or, les rayons ainsi que les mouvements fluides deviennent plus

horizontaux, ceux-ci étant alignés avec c

g. Au contraire, lorsque

ω → N,

les mouvements de fluide deviennent plus verticaux et se rapprochent du

cas des oscillations à la fréquence N. Ainsi, les deux mouvements décrits

en §1.1.1 (non-oscillant et oscillation à fréquence N) constituent les deux

types “extrêmes” de mouvements possibles pour les ondes de gravité internes

propagatives.

(a)ω/N = 0,49 (b)0,56 (c)0,65 (d)0,78 (e) 1,03

Figure 1.6 – Illustration de la relation de dispersion pour différentes valeurs du

rapport ω/N (f = 0). Un objet cylindrique oscille verticalement dans une solution

stratifiée en sel caractérisée par N = 3,9 rad.s

−1

et le dispositif est observé sur le

côté. Les oscillations du fluide sont visualisées par interférométrie de moiré (tiré

du site internetwww.gfd-dennou.org).

En procédant par analogie et en s’appuyant sur la section 1.1.2, on peut

voir que dans le cas où N = 0 etf 6= 0, l’inverse se produit : les basses

fré-quences impliquent des rayons plus verticaux (confinement latéral) alors que

les hautes fréquences impliquent des rayons plus horizontaux et des

trajec-toires quasi-circulaires. Dans le cas oùN etf sont tous les deux non-nuls, le

comportement des ondes internes consiste en un subtil mélange de ces deux

types de comportements et l’objet de la table1.1a pour objet d’en dégager

quelques aspects simples.

1.2.3 Considérations énergétiques

En supposant que tous les termes non-linéaires peuvent être négligés et

les hypothèses de Boussinesq et d’incompressibilité satisfaites, on obtient,

via l’opération (1.11)_·v+b(1.17)/N

²

:

ρ

₀

2

∂(kvk

2

+b

2

/N

2

)

∂t ^+∇·(Pv) = 0. (1.31)

On remarque que cette équation exprime la conservation de l’énergie :

∂(ec+ep)

∂t ^+∇·Π= 0, (1.32)

avec e

_c

= ρ

0k

vk

²

/2 et e

_p

= ρ

₀

b

²

/(2N

²

) les énergies volumiques cinétique

et potentielle et Π = Pv le vecteur de flux d’énergie transportée par le

champ d’ondes internes, appelé ainsi par analogie avec le vecteur de Poynting

rencontré en électromagnétique.

En supposant que la fonction de courant s’écritψ= ˜ψsin(kxx+kzz−ωt),

on obtient :

(u, w) = (k

_z

,−k

_x

) ˜ψcos(k

_x

x+k

_z

z−ωt),

(v, b) = (f k

_z

,−N

²

k

_x

)^ψ˜

1.2. Dynamique linéaire des ondes internes 23

qui sont des relations de polarisations qui seront généralisées en §1.4. Les

équations (1.19) et (1.20) ont été utilisées pourvetb. Ainsi, on peut simplifier

l’écriture des énergies volumiques :

e

_c

= ^ρ

⁰

^ψ˜

2

2

k

²

cos

²

(k

_x

x+k

_z

z−ωt) +^f

2

k

_z²

ω

2

sin

²

(k

_x

x+k

_z

z−ωt)

(1.34)

e

_p

= ^ρ

⁰

^N

2

k

²_x

ψ^˜

²

2ω

2

sin

²

(k

_x

x+k

_z

z−ωt). (1.35)

On peut remarquer que dans le cas particulier oùf = 0, il y a équipartition

de l’énergie : < e

_c

>=< e

_p

>, où<·>représente la moyenne dans l’espace

et/ou le temps. Dans tous les cas, l’énergie volumique macroscopique se

simplifie remarquablement :

e

_m

=e

_c

+e

_p

= ^ρ

⁰

^k

2

_ψ˜

2

2 ^. (1.36)

Enfin, par définition, le vecteur de Poynting peut se réécrire :

Π=e

_m

c

g

= ^ρ

⁰

^(N

2

−f

2

)k

_x

k

_z

ψ^˜

2

2ωk

2

k

_z

−kx

. (1.37)

1.2.4 Réflexion contre une paroi inclinée

Comme remarqué pour la première fois par Phillips ([Phi66]), une

ma-nière de voir à quel point la relation de dispersion des ondes internes les rend

particulières est d’examiner leur réflexion contre une paroi inclinée d’un angle

α (6= 0 ouπ/2) par rapport à l’horizontale. En effet, comme représenté en

figure 1.7, la conservation de la fréquence lors de la réflexion entraîne que

l’angle de propagation des rayons par rapport à cet axe de symétrie est

conservé, au lieu de l’angle par rapport à la paroi pour les ondes usuelles.

Pour caractériser la réflexion, la comparaison deθetαamène à définir deux

premières catégories de réflexions :

– les réflexions sur-critiques (cf. figure 1.7(a)) : θ > α,

– les réflexions sous-critiques (cf. figure 1.7(b)) : θ < α.

La terminologie fait référence à une criticalité se produisant pour θ = α.

Dans ce cas, une extrapolation des figures 1.7(a) et 1.7(b) permet de se

rendre compte que l’onde réfléchie est censée se propager le long de la paroi,

avec une longueur d’onde nulle et donc une amplitude infinie du fait de

la conservation du flux d’énergie. De plus l’équation (1.27) implique pour

k→ ∞, la vitesse de groupe devient nulle et les ondes réfléchies ne peuvent

plus se propager. Enfin, elles ne peuvent pas non plus se propager vers la

source des ondes incidentes car cela impliquerait que leur vecteur d’onde soit

égal et opposé au vecteur d’onde incident. Nous sommes donc en présence

(a) Réflexion sur-critique (b) Réflexion sous-critique

Figure1.7 – Les deux types de réflexions focalisantes d’une onde interne sur une

paroi inclinée d’un angleαpar rapport à l’horizontale. Les vecteursc

_g,i

etc

_g,r

sont

respectivement les vitesses de groupe incidentes et réfléchies. Les réflexions

défoca-lisantes sur- et sous-critiques sont obtenues respectivement en inversant les vitesses

de groupe dans les figures (a) et (b). Les flèches superposées aux caractéristiques

représentent les vitesses dans le faisceau.

d’une singularité faisant l’objet de travaux de recherches

8

n’entrant pas dans

le cadre de cet exposé.

Ensuite, pour chaque cas sur ou sous-critique, deux cas de figures peuvent

se produire :

– la réflexion est focalisante (cf. figure1.7) : après réflexion, les longueurs

d’ondes sont contractées,

– la réflexion est défocalisante (cf. figure 1.7, en inversant les vitesses de

groupe) : après réflexion, les longueurs d’ondes sont dilatées.

Le coefficient de contraction de la longueur d’onde transverse incidenteλ

_i

se

déduit d’un calcul géométrique dont les éléments sont présentés en figure1.8

et qui est égal à :

ℵ= ^λ

ⁱ

λ

_r

⁼

sin(θ+α)

sin(θ−α)

^. (1.38)

On voit notamment que pour le cas critiqueθ=α, on a bien une contraction

infinie de la longueur d’onde.

Cela donne donc2×2 = 4cas de figures, les cas sur- et sous-critiques

pou-vant chacun se sous-diviser en réflexions focalisante et défocalisante. L’objet

de la Partie II est d’étudier en détail quelques conséquences frappantes de

ces propriétés de réflexion.

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