La transformée de Hilbert

La transformée de Hilbert a été introduite dans la communauté des ondes

internes par Mercieret al.([MGD08]).

Soit une onde plane décrite par ψ= ˜ψe

i(kxx+kzz−ωt)

. Si k

_z

<0, sa phase

se propage vers le haut. À partir d’un champ Fb(x, z, ω) issu d’un filtrage

harmonique, la transformée de Hilbert permet de séparer les composantes se

propageant vers le haut des composantes se propageant vers le bas en suivant

ces quelques étapes :

1. transformation de Fourier rapide (FFT) deFb(x, z, ω) selon z : on

ob-tient une grandeur _F(x, k

_z

, ω),

2. pour sélectionner les ondes se propageant vers le haut (le bas) :

F+(

₋)

(x, k

_z

, ω) =F(x, k

_z

, ω) ∀k

_z

<0 (>0),

F+(

−)

(x, kz, ω) = 0 ∀kz>0 (<0),

3. FFT inverse de _F+(

₋₎

(x, k

_z

, ω) selon k

_z

: on obtient une grandeur

b

F

₊₍₋₎

(x, z, ω) ne comportant que les ondes de Fb se propageant vers

le haut (le bas).

Cette méthode peut sembler grossière (et elle l’est si on la compare à

la méthode originale décrite en [MGD08]) mais elle permet d’obtenir des

résultats très convenables, comme le montre la figure3.10.

3.3. Deux outils de filtrage des données 83

(a) Vitesses horizontales brutes (en mm.s

−1

).

(b) Vitesses horizontales filtrées harmoniquement à la

fréquence de forçage.

x (cm) kz (rad/cm) 0 50 100 150 200 250 −2 0 2 −5 0 5

(c) FFT selon la verticale du champ précédent.

x (cm) kz (rad/cm) 0 50 100 150 200 250 −2 0 2

(d) Annulation de la FFT pour k

z

>0.

x (cm) kz (rad/cm) 0 50 100 150 200 250 −2 0 2

(e) Annulation de la FFT pourk

z

<0.

(f) FFT inverse du champ affiché ci-dessus. (g) FFT inverse du champ affiché ci-dessus.

(h) Somme des champs affichés en (f) et (g).

Figure 3.10 – Filtrage harmonique et transformée de Hilbert sur des données

ex-périmentales (expérience 24 de la §5) de réflexions d’ondes planes sur une paroi

inclinée (matérialisée par un trait noir). Sont affichées les parties réelles des

gran-deurs mentionnées.

Deuxième partie

Réflexion d’ondes internes

contre une paroi solide

Chapter 4

Numerical simulation of a

two-dimensional internal wave

attractor

Résumé Les attracteurs d’ondes (de gravité) internes peuvent se former

dans des bassins fermés possédant des frontières non-parallèles ou

non-per-pendiculaires à la direction de la gravité. De tels attracteurs ont été

étu-diés d’un point de vue théorique, au travers d’expériences de laboratoires et

à l’aide de simulations numériques linéaires. Dans le présent chapitre, des

simulations numériques bidimensionnelles d’un attracteur d’ondes internes

sont décrites. Le code employé est le MITgcm, un code linéaire et

non-hydrostatique. Tout d’abord, l’expérience de laboratoire de Hazewinkelet al.

(J. Fluid Mech., 2008) est reproduite et un très bon accord avec les données

expérimentales est obtenu. Nous proposons ensuite de modéliser la largeur

de l’attracteur en nous basant sur quelques idées simples. Ce modèle prédit

que cette largeur doit évoluer en puissance 1/3 du paramètres sans

dimen-sion mesurant le rapport entre les effets visqueux et les effets de flottabilité.

Lorsque l’attracteur est fortement focalisant, sa largeur doit aussi évoluer

en puissance 1/3 de la distance longitudinale. L’analyse des données

numé-riques pour deux attracteurs différents donne en efffet des valeurs de cet

exposant proche de 1/3, dans une marge de 30%. Enfin, nous étudions les

effets non-linéaires associés à l’attracteur.

Cet article ([GSP08]) est paru sous la référence suivante : N.Grisouard,

C. Staquet et I. Pairaud : Numerical simulation of a two-dimensional

internal wave attractor. J. Fluid Mech., 614 :1-14 (2008).

4.1 Introduction

Stably stratified fluids are encountered in geophysics and astrophysics,

examples being the oceanic thermocline, the stratosphere and the radiative

zone of the Sun. From a mechanical point of view, any non-horizontal motion

in these fluids yields a restoring force, namely the buoyancy force, which

generates internal gravity waves. (The Coriolis force due to the rotation

of the system –such as a star– may also act as a restoring force.) These

waves are dispersive with a very specific dispersion relation: their frequency

depends upon the angle θ of the wave vector with respect to the gravity

vector. In an unlimited medium with a constant stable gradient of density,

the dispersion relation is indeed ω = Ncosθ, where ω is the frequency of

the waves and N is the buoyancy frequency (whose square is proportional

to the stable gradient of density). As a consequence, phase and energy

propagate perpendicularly to each other (e.g. Lighthill [Lig78]). As first

noted by Phillips [Phi66], the peculiar form of the dispersion relation leads

to a peculiar wave reflexion at a wall inclined with respect to the gravity

vector: because ω is preserved upon reflexion, the angle θ is preserved as

well which leads to focusing or defocusing of the waves after reflexion.

In closed domains, multiple reflections with more focusing than

defocus-ing at the boundaries can lead to the formation of a wave attractor, namely

a part of the domain where almost all the wave-induced energy is

concen-trated, as shown by Maas & Lam [ML95]. From a mathematical point of

view, the existence of the attractor stems from the fact that the linear

equa-tions of moequa-tions are spatially hyperbolic (when a harmonic time-dependence

is imposed) while boundary conditions must be satisfied on the walls of the

closed domain. The problem is therefore ill-posed in the absence of viscosity.

Singular solutions, distinct from the usual (regular) normal modes, may arise

which eventually converge toward an attractor as time elapses. The

introduc-tion of viscosity regularizes the equaintroduc-tion, which becomes elliptic (Rieutord

et al. [RGV01]). But the attractor appears again in the viscous solution

when viscosity effects are low enough with respect to restoring effects. This

was shown by Rieutord & Valdettaro [RV97] in the astrophysical context

for a rotating shell. As analyzed by Rieutord & Noui [RN99] and Ogilive

[Ogi05], these results are valid whether the restoring force is the buoyancy

force or the Coriolis force in a rotating system. These works ensure that

the structure and dynamics of a wave attractor can be studied numerically

by solving directly the viscous equations of motions, provided the viscosity

is low enough. From a practical point of view, this implies that the grid

size should be much smaller than the thickness of the attractor, namely the

resolution should be high enough to satisfy this requirement.

Most studies on internal wave attractors are theoretical, focusing on the

derivation of analytical models for the attractors, with and without viscosity.

Experimental work was performed recently, starting with laboratory evidence

of an internal wave attractor in a trapezoidal stably-stratified water tank

(Masset al. [MBSL97]). The data of the latter experiment were reanalysed

by Lam & Maas [LM08] and further experimental studies were performed by

Hazewinkelet al. [HvDM08] (hereafter referred to as simply [HvDM08]).

4.2. Laboratory and numerical set-ups 89

Dans le document Réflexions et réfractions non-linéaires d'ondes de gravité internes (Page 93-100)