Traitement et analyse des résultats en composante horizontale

Afin d’évaluer la précision horizontale du positionnement relatif temporel, nous avons effectué un test de déplacement horizontal d’une antenne GNSS en utilisant une table rectangulaire de dimensions 1.230 m X 0.690 m et une petite tablette (chariot mobile) de dimensions 0.300 m X 0.300 m qui a servi de support d’antenne et a permis, avec ses quatres roulements à billes, de déplacer horizontalement l’antenne GNSS le long des bordures de la table (Figure 3.1). Les dimensions de la table ont été mesurées avec un ruban de précision de ±1 mm.

La table a été posée sur trois trépieds (Figure 1.3) et mise au niveau à l’aide d’un niveau muni d’une nivelle tubulaire. Un récepteur GNSS (Trimble R8) a été placé sur un point de référence (n°1402) à 2 m de distance de la table afin de permettre le traitement en PPK utilisé comme une deuxième solution de comparaison. Les dimensions de comparaison qui ont été utilisées sont celles de la table en soustrayant les dimensions de la tablette soit 0.930 m X 0.390 m, puisque l’antenne est placée au centre de la tablette mobile.

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Figure 3.1 : Table et tablette mobile, avec leurs dimensions, utilisées lors du test de la Table (20 juin 2016)

La session d’observations a duré approximativement 8 min, pendant laquelle nous avons effectué 9 tours (8 tours dans le sens anti-horaire et 1 tour en sens horaire) en déplaçant l’antenne sur les côtés de la table tout en s’arrêtant quelques secondes sur chaque coin de celle-ci. Le temps de traitement avec le logiciel TRP a été de 1 min.

Dans le but de représenter graphiquement la table avec ses dimensions et son orientation exactes, nous avons premièrement calculé, à partir de la série temporelle de la solution PPK, les moyennes des coordonnées des quatre coins de la table. Ensuite, nous avons déterminé les deux directions correspondant aux deux côtés longitudinaux de la table, ce qui nous a permis par la suite de calculer un azimut moyen (donnant l’orientation de la table). Enfin, à partir de cette orientation, des dimensions exactes et de la moyenne des coordonnées (de la solution PPK) d’un des coins de la table, nous avons calé notre table (lignes en bleu à la Figure 3.2) sur le même graphique et nous l’avons utilisé comme première solution de comparaison (nommée Table calée).

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La Figure 3.2 illustre les déplacements horizontaux calculés par la solution TRP (courbe en rouge) en utilisant les observations GPS sur la fréquence L1 ainsi que ceux calculés par la solution PPK (courbe en vert) en utilisant le logiciel commercial TBC de la société Trimble avec les deux fréquences L1 et L2 et les deux constellations GPS et GLONASS. La courbe bleue représente la Table calée.

Figure 3.2 : Déplacement horizontal (m) avec les solutions TRP (GPS-L1) brute, PPK et Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

La Figure 3.2 montre une dérive au niveau du déplacement horizontal calculé par la solution TRP. Cela est dû aux variations temporelles des erreurs systématiques affectant les signaux GPS et qui varient linéairement avec le temps sur de courts intervalles (cf. section 2.2). Cette dérive se manifeste de façon significative sur les graphiques des deux composantes Nord et Est (Figure 3.3 et Figure 3.4). Les quatre lignes bleues de ces deux figures correspondent aux coordonnées exactes des quatres coins de la table calée.

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Il faut noter qu’après le calage de la table avec son orientation et ses dimensions exactes, nous avons utilisé les coordonnées de ses quatre coins afin de les comparer avec les coordonnées correspondantes calculées à partir des séries temporelles des solutions TRP et PPK.

Figure 3.3 : Déplacement Nord (m) avec les solutions TRP (GPS-L1) brute, PPK et Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

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Figure 3.4 : Déplacement Est (m) avec les solutions TRP (GPS-L1) brute, PPK et Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

Nous constatons, à partir des Figures 3.3 et 3.4, que la dérive due à la variation temporelle des erreurs GPS présente un écart approximatif de 40 cm, pour les deux composantes Nord et Est, à la dernière époque de la session d’observations. Dans le but d’améliorer la solution TRP brute avec les solutions de comparaison, nous avons estimé et enlevé la pente (section 2.3) due aux variations temporelles des erreurs systématiques pour toute la session d’observations, précisément, depuis l’époque à laquelle l’antenne a commencé à se déplacer jusqu’à la fin de la session, et ce pour tous les traitements TRP réalisés dans cette section.

La Figure 3.5 présente le déplacement horizontal calculé par la solution TRP après l’enlèvement de la pente (courbe en rouge), la solution PPK (courbe en vert) et Table calée (courbe en bleu). Nous constatons un rapprochement significatif de notre nouvelle solution TRP avec les deux autres solutions.

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Figure 3.5 : Déplacement horizontal (m) avec les solutions TRP (GPS-L1), en enlevant la pente, et PPK ainsi que la solution Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

Afin de comparer notre solution TRP et la solution PPK à la Table calée, nous avons identifié les époques des séries temporelles TRP et PPK sur lesquelles l’antenne a été immobile. Ensuite, nous avons effectué les différences entre les coordonnées de chaque coin de la Table calée et les coordonnées correspondant aux époques identifiées. Par exemple, pour le premier coin de la table, les différences ont été calculées entre les coordonnées de ce coin de la Table calée (en composantes Nord et Est) et les coordonnées de toutes les époques des séries temporelles TRP et PPK, où l’antenne a resté immobile, correspondant à ce même coin (un total de 3623 époques ont donc été comparées). Enfin, la moyenne ainsi que l’écart-type de ces différences ont été utilisés comme indicateurs statistiques de comparaison des deux solutions TRP et PPK à la solution Table calée (Tableau 3.1). Soulignons que les solutions TRP et PPK à chaque époque ne peuvent pas être comparées aux coordonnées de points intermédiaires le long du parcours sur la table car le déplacement manuel n’était pas toujours effectué à vitesse constante.

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Par contre, pour la comparaison entre les solutions TRP et PPK, nous avons calculé les différences, à chaque époque, pour toute la durée de la session d’observations, entre les déplacements horizontaux, en composante Nord et en composante Est, calculés par les deux solutions (les deux séries temporelles) et avons utilisé l’écart- type de ces différences et le coefficient de corrélation comme indicateurs statistiques de la relation entre ces deux solutions (pour un total de 4361 époques).

Composante Nord

La Figure 3.6 présente les résultats graphiques obtenus des trois solutions pour la composante Nord. Les résultats statistiques sont affichés aux Tableaux 3.1 et 3.2.

Figure 3.6 : Déplacement Nord (m) avec les solutions TRP (GPS-L1), en enlevant la pente, et PPK ainsi que la Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

À partir de cette figure, nous remarquons visuellement une forte concordance entre la solution TRP et les autres solutions.

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Tableau 3.1 : Moyenne et écart-type (m) des différences entre les solutions TRP/PPK et la Table calée, composante Nord

PPK TRP

Moyenne (m) 0.002 0.005

Écart-type (m) 0.002 0.005

Nombre de

solutions 3623 3623

Tableau 3.2 : Écart-type (m) et coefficient de corrélation (%) des différences entre les solutions PPK et TRP (GPS-L1), composante Nord

Écart-type (m) Coef. de corrélation (%) Nombre de solutions Différences (TRP-PPK) 0.005 99.9 4361

La moyenne et l’écart-type des différences entre les composantes Nord des coordonnées des quatre coins de la solution TRP et Table calée sont de 0.005 ±0.005 m et de 0.002 ±0.002 m entre la solution PPK et Table calée (Tableau 3.1). L’écart-type des différences ainsi que le coefficient de corrélation entre les solutions TRP et PPK pour la composante Nord sont de ±0.005 m et 99.9%, respectivement (Tableau 3.2). Cela montre une similitude fondamentale entre les solutions TRP et PPK, et également entre la solution TRP et Table calée.

Le nombre de solutions correspond au nombre des différences (valeurs) utilisées pour le calcul de ces statistiques.

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Composante Est

Concernant la composante Est, la Figure 3.7 présente le déplacement horizontal, suivant cette composante, calculé par les trois solutions. Comme pour la composante Nord, les composantes Est des coordonnées des quatre coins de la Table calée ont servi de comparaison des séries temporelles des solutions, PPK et TRP.

Figure 3.7 : Déplacement Est (m) avec les solutions TRP (GPS-L1), en enlevant la pente, et PPK ainsi que la Table calée pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

Le Tableau 3.3 rapporte les résultats statistiques obtenus des différences des coordonnées, aux quatre coins de la table, entre la solution TRP et Table calée ainsi qu’entre la solution PPK et Table calée, toutes en composante Est. La moyenne et l’écart-type calculés de ces différences sont de -0.004 ±0.005 m pour TRP et -0.003 ±0.002 m pour PPK.

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Tableau 3.3 : Moyenne et écart-type (m) des différences entre les solutions TRP/PPK et la Table calée, composante Est

PPK TRP

Moyenne (m) -0.003 -0.004

Écart-type (m) 0.002 0.005

Nombre de

solutions 3623 3623

Le Tableau 3.4 rapporte l’écart-type obtenu des différences entre la solution TRP et la solution PPK ainsi que le coefficient de corrélation entre les deux solutions. L’écart-type calculé entre les deux solutions montre une forte similitude avec un écart-type de seulement 0.003 m. Cette similitude est confirmée par le coefficient de corrélation de 99.9%. Le nombre des différences entre les deux solutions utilisées pour le calcul de ces statistiques est de 4361.

Tableau 3.4 : Écart-type (m) et coefficient de corrélation (%) des différences entre les solutions PPK et TRP (GPS-L1), composante Est

Écart-type (m) Coef. de corrélation (%) Nombre de solutions Différences (TRP-PPK) 0.003 99.9 4361

D’après les résultats des Tableaux 3.3 et 3.4, nous remarquons aussi une forte concordance entre la solution TRP et les autres solutions de comparaison dans la composante Est.

En comparant ces résultats avec les résultats de la composante Nord, nous constatons que les résultats en composante Est sont pratiquement semblables que

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ceux de la composante Nord pour le cas du TRP par rapport à la table calée, -0.004 ±0.005 m pour la composante Est contre 0.005 ±0.005 m pour la composante Nord. Pour le TRP par rapport au PPK, écart-type de ±0.003 m pour la composante Est contre ±0.005 m pour la composante Nord.

La différence des écarts-types calculés en composante Nord et en composante Est est expliquable par la légère différence entre les valeurs des NDOP et EDOP (équation 2.11) durant toute la session d’observations (Figure 3.8). Nous avons constaté aussi un nombre stable de satellites GPS (8 satellites) durant toute la session d’observations.

La racine carrée du facteur de variance a posteriori 𝜎₀ calculé époque par époque (équation 2.9), enregistre une moyenne et un écart-type de 0.002 ±0.001 m dans ce test. Ce qui reflète une grande qualité des mesures de différences de phase L1 de la solution TRP (Figure 3.9).

Figure 3.8 : Valeurs des NDOP et EDOP lors du test de la table pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

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Figure 3.9 : Valeurs de la racine carrée du facteur de variance a posteriori (m) du test de la table, TRP (GPS-L1), pour une durée de 7.79 min, de 17:35:58.0 à 17:43:45.2, 20 juin 2016, Semaine GPS 1902, temps GPS

D’après l’analyse de ces résultats du premier test, nous pouvons conclure que la solution TRP démontre sa capacité à determiner les déplacements horizontaux sur un intervalle de 8 min avec une précision meilleure que 5 mm par rapport à la méthode relative PPK et une précision de 4 mm par rapport à la solution Table calée. Afin d’atteindre cette précision, l’enlèvement de la dérive de l’effet sur les déplacements des erreurs GNSS variant avec le temps s’est avèré essentiel.

Finalement, nous pouvons conclure que la solution TRP constitue une solution GPS optimale qui est capable de détecter des courts déplacements horizontaux sur un court intervalle de temps (ici environ 8 minutes) en utilisant un seul récepteur monofréquence (traité sur L1 seulement) et exclusivement avec les éphémérides transmises.

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